求不定方程的整数解

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求不定方程整数解的常用方法

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求不定方程整数解的常用方法

摘要:不定方程,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制的方程或方程组.因此,要求一个不定方程的全部的解,是相当困难的,有时甚至是不可能或不现实的.本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判别式、因式分解等有关理论,求得一类不定方程的正整数解.通过一些具体的例子,给出了常用的不定方程的解法,分别为分离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等.

关键字:不定方程;整数解;整除性

1引言

不定方程是数论的一个分支,有悠久的历史与丰富的内容,与其他数学领域有密切联系,是数论中的重要的、活跃的研究课题之一,我国对不定方程的研究以延续了数千年,“百钱百鸡问题”等一直流传至今,“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理,学习不定方程,不仅可以拓宽数学知识面,而且可以培养思维能力,提高数学的解题技能.

中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段.在此阶段要注重培养学生的思维能力,开发学生智力,因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可少的.让学生做题讲究

方程整数解问题

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方程整数解问题 姓名 学号

1. 因式分解法 例1. 例2.

练习1.求方程2xy?5?4y?x的正整数解

2. 变量分离法

求方程x2?y2?868的正整数解 求方程xy?x?y?6的整数解

4是整数,则整数a的取值为 a?14 若代数式是正整数,则整数a的取值为

a?1引例1.若代数式例3.

练习2.已知方程xy?3x?5y?77,x,y为整数,则满足条件得所有对(x,y)的组数为

第 1 页 共 5 页

求方程2(x?y)?xy?7的正整数解

3. 选取主元法(△法) 例4.

已知a2x2?(3a2?8a)x?2a2?13a?15?0(其中a为非负整数)至少有一整数根,

则a=

変题1.若两个实根都是整数,则a= 変题2.若a是整数,则a= 例5.

设关于x的二次方程(k2?6k?8)x2?(2k2?6k?4)x?k2?4的两根都是整数,求

满足条件的所有整数k的值。

変题1.若改整数k为实数

同余法解不定方程(1)

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同余法解不定方程

1.求证:方程x?2xy?5z?3?0无整数解.

证明:由x?2xy?5z?3?0得(x?y)?y?5z?3. 由于0?0 (mod5); 0?0 (mod5); 12?1 (mod5); 14?1 (mod5); 22?4 (mod5); 24?1 (mod5); 3?4 (mod5); 3?1 (mod5); 42?1 (mod5); 44?1 (mod5).

因此,对任意的整数y都有y?5z?3?2或3 (mod5).

但,对任意的整数x,y,都有(x?y)?0或1或4 (mod5).故,原方程无整数解. 2.求证:方程x1?x2???x14?1999无整数解.

证明:由于对任意整数k,都有(2k?1)?16k(k?1)?8k(k?1)?1?1 (mod16), 对任意整数k,都有(2k)?16k?0 (mod16). 因此,对任意整数x,都有x?0或1 (mod16).

所以,对任意整数x1,x2,?,x14,都有x1?x2???x14?0,1,2,?,14 (mod16).

不定方程

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六年级奥数 不定方程

【知识要点】

如果一个方程(组)的未知数的个数多于方程的个数,那么这个方程(组)就叫做不定方程(组)。 不定方程是数论中最古老的一个分支,它的研究在我国已延续了数千年,至今仍是令人感兴趣的课题。 不定方程的内容非常丰富,但在小学数学竞赛中,我们主要讨论二元一次不定方程,形如ax±by=c(a、b、c为已知的整数)的方程,我们称为二元一次不定方程,又称丢番图方程,以纪念生于公元三世纪的希腊数学家丢番图,他写了一本关于这类方程的书。

一个不定方程一般总有无穷多组解,但小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。不定方程通常利用不等式及整除性来求解。 例1.

求3x+4y=23的自然数解。

练习一

1、 求3x+2y=25的自然数解。

2、 求4x+5y=37的自然数解。

3、 求5x-3y=16的最小自然数解。

例2

求下列方程组的正整数解。

5x+7y+3z=25 3x-y-6z=2

练习2

求下面方程组的自然数解。

1、 4x+3y-2z=7 2、 7x+9y+11z=68

3x+2y+4z=21 5x+7y+9z=52

不定方程和解不定方程应用题经典

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1

不定方程

———研究其解法

方程,这个词对于同学们来说,再熟悉不过了,它在数学中占了很大的一个板块,许多题目都可以通过方程来得到答案,那么自然而然,它的解法就尤为重要了。 然而,我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程,因为它往往有多个或无数个解,他的解法相对较多较难,以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程,其特点是往往有不唯一的解。 二、不定方程的解法 1、筛选试验法

根据方程特点,确定满足方程整数的取值范围,对此范围内的整数一一加以试验,筛去不合理的值。

如:方程x﹢y﹢z = 100共有几组正整数解?

解:当x = 1时y﹢z = 99,这时共有98个解:(y,z)为(1,98) (2,97)??(98,1)。 当x = 2时y﹢z = 98,这时共有97个解:(y,z)为(1,97) (2,96)??(97,1)。 ??

当 x = 98时,y﹢z = 2,这时有一个解。

∵ 98﹢97﹢96﹢??﹢1=

98?99= 4851 2∴ 方程x﹢y﹢z = 100共有4851个正整数解。

2、表格记数法

如:方程式4x﹢7 y =55共有哪些正

不定方程和解不定方程应用题经典

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不定方程

———研究其解法

方程,这个词对于同学们来说,再熟悉不过了,它在数学中占了很大的一个板块,许多题目都可以通过方程来得到答案,那么自然而然,它的解法就尤为重要了。 然而,我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程,因为它往往有多个或无数个解,他的解法相对较多较难,以下就是关于不定方程的一些问题。

一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程,其特点是往往有不唯一的解。 二、不定方程的解法 1、筛选试验法

根据方程特点,确定满足方程整数的取值范围,对此范围内的整数一一加以试验,筛去不合理的值。

如:方程x﹢y﹢z = 100共有几组正整数解?

解:当x = 1时y﹢z = 99,这时共有98个解:(y,z)为(1,98) (2,97)??(98,1)。 当x = 2时y﹢z = 98,这时共有97个解:(y,z)为(1,97) (2,96)??(97,1)。 ??

当 x = 98时,y﹢z = 2,这时有一个解。

∵ 98﹢97﹢96﹢??﹢1=

98?99= 4851 2∴ 方程x﹢y﹢z = 100共有4851个正整数解。

2、表格记数法

如:方程式4x﹢7 y =55共有哪些正

求不定积分的若干方法讲解

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四川师范学院2011届毕业生论文

目录

中文摘要…………………………………………………………………………3 Abstract…………………………………………………………………………4 1 引言……………………………………………………………………………6 2 直接积分法…………………………………………………………………6 2.1原函数和不定积分的定义……………………………………………6 2.2直接积分法的运用方法………………………………………………6 3 换元积分法…………………………………………………………………7 3.1 第一换元积分法………………………………………………………7

3.1.1 第一换元积分法的定义与分析…………………………………………7 3.1.2 第一换元积分法的运用…………………………………………………7

3.2 第二换元积分法………………………………………………………10

3.2.1 第二换元积分法的定义和分析………………………………………10 3.2.2 第二换元积分法的运用………………………………………………10

3.3 换元积分法中值得注意的问题……………………………………1

不定方程选讲

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不定方程选讲

一、一次不定方程(组)

1.求不定方程x+y+z=2007正整数解的个数。 2.求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解。 3.解不定方程11x+15y=7。 4.解不定方程50x+45y+36z=10。

?5x+7y+2z=24,

5.解不定方程组?

?3x-y-4z=4.

6.解不定方程6x+15y+21z+9w=30。

7.求有多少个正整数对(m,n),使得7m+3n=102004,且m︱n。(04年日本数学奥林匹克) 二、二次不定方程及其常用解法

8.求满足方程2x2+5y2=11(xy-11)的正整数数组(x,y)。 9.解不定方程14x2-24xy+21y2+4x-12y-18=0。 10.解不定方程3x2+5y2=345。

11.解不定方程x2-5xy+6y2-3x +5y-11=0。 12.求方程xy-2x+y=4的整数解。

35

13求能使等式 + =1成立的所有正整数m,n。

mn14.求方程2xy-2x2+3x-5y+11=0的整数解。 15.求方程3xy+y2-6x-2y=2的整数解。 16.求方程x2+y= x2y-1000的正整数解。 17.求所有的整数对(x,y),使得x3 = y3+2y2 +1。

不定方程选讲

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不定方程选讲

一、一次不定方程(组)

1.求不定方程x+y+z=2007正整数解的个数。 2.求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解。 3.解不定方程11x+15y=7。 4.解不定方程50x+45y+36z=10。

?5x+7y+2z=24,

5.解不定方程组?

?3x-y-4z=4.

6.解不定方程6x+15y+21z+9w=30。

7.求有多少个正整数对(m,n),使得7m+3n=102004,且m︱n。(04年日本数学奥林匹克) 二、二次不定方程及其常用解法

8.求满足方程2x2+5y2=11(xy-11)的正整数数组(x,y)。 9.解不定方程14x2-24xy+21y2+4x-12y-18=0。 10.解不定方程3x2+5y2=345。

11.解不定方程x2-5xy+6y2-3x +5y-11=0。 12.求方程xy-2x+y=4的整数解。

35

13求能使等式 + =1成立的所有正整数m,n。

mn14.求方程2xy-2x2+3x-5y+11=0的整数解。 15.求方程3xy+y2-6x-2y=2的整数解。 16.求方程x2+y= x2y-1000的正整数解。 17.求所有的整数对(x,y),使得x3 = y3+2y2 +1。

2018国考行测技巧:同余特性巧解不定方程

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2018国考行测技巧:同余特性巧解不定方程

在行测考试中的数学运算中,我们常常会碰到一些要求解多元不定方程的题目,一些简单的不定方程我们可以通过尾数、奇偶性、整除、特值或者直接代入解出,而遇到稍微复杂一点的方程,以上方法就不易使用了。接下来中公教育专家将通过详细介绍帮助大家进一步的理解同余特性解方程的方法和本质,以便大家能够灵活的利用同余特性解方程。 一、同余系

整数a除以整数b,得到正余数为c,c±kb(k为自然数)均为a除以b的余数。,属同余系。例:-2,1,4,7都属于16÷3的余数。 二、同余特性

性质一:余数的和决定和的余数

例:13÷4…1,21÷4…1,余数的和为2,和为13+21=34,34÷4…2,所以说余数的和决定和的余数。 性质二:余数的差决定差的余数

例:15÷4…3,22÷4…2,余数的差为-1,差为22-15=7,7÷4…3(相当于余-1),所以说余数的差决定差的余数。 性质三:余数的积决定积的余数

例:30÷4…2,18÷4…2,余数的积为4,积为30×18=540,540÷4…0,余数为0,余数的积为4,4÷4…0,所以说余数的积决定积的余数,而不是等于。 性质四:余