bs期权定价公式如何求导

Black-Scholes期权定价模型

一、Black-Scholes期权定价模型的假设条件

Black-Scholes期权定价模型的七个假设条件如下：

1. 风险资产（Black-Scholes期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S。S遵循几何布朗运动，即

dSS??dt??dz。

??dt其中，dz为均值为零，方差为dt的无穷小的随机变化值（dz，称为

标准布朗运动，?代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），?为股票价格在单位时间内的期望收益率，?则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。?和?都是已知的。

简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化?，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即?dz，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。

2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。

3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。

4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖

第七章布莱克-舒尔斯期权 定价公式的扩展Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

主要内容

布莱克-舒尔斯期权定价模型的缺陷 交易成本 波动率微笑和波动率期限结构 随机波动率 不确定的参数 跳跃扩散过程

Copyright@Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

B-S模型的缺陷

交易成本的假设 波动率为常数的假设 不确定的参数 资产价格的连续变动

Copyright@Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

交易成本的影响

规模效应和交易成本差异化 。 即使是同一个投资者，在调整过程中， 持有同一个合约的多头头寸和空头头寸， 价值也不同 。

Copyright@Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University

H-W-W交易成本模型基本假设：

投资者投资于欧式期权的组合而不仅仅

彩虹期权及其定价

科学合理地对矿产资源资产进行估价是实施矿产资源资产有偿取得和转让制度的关键和前提。目前，对矿产资源资产价值进行估价采用的方法主要是收益现值法。在实际运用中，收益现值法假定贴现率不变和无法考虑矿山企业经营者在经营管理中的灵活性——延迟生产经营、缩小或扩大生产经营规模等，这些缺陷导致它容易低估矿产资源资产价值。因此，建立能考虑和处理矿山经营者在经营管理中的灵活性的矿产资源资产估价方法是非常必要的。 1.彩虹期权定义

彩虹期权是涉及两种或两种以上不确定性的衍生品，而一般的期权预测相对的是简单的、只涉及到一种不确定性的期权，这个不确定性也一般是标的资产的价格。彩虹期权可以在N个标的资产中选择最好或最坏的买入或卖出。该期权中涉及到的资产数目即为彩虹颜色的数目。该期权的定价对不同篮子的相关系数非常敏感，因此需要特别考虑。彩虹期权常常被一些工业标准模型（如BS模型）对各自独立的篮子进行定价，并且需要有一个相关系数矩阵用来应用到不同模型的随机性驱动因素。较低等级的案例会有相对简单的测算办法，但一般的案例均需要使用蒙特卡洛模拟法。

彩虹期权一般用于评估自然资源的储量，此时它接触到两个不确定性，即价格和数量。彩虹期权还具有如下两个特点：

1、彩

I.基本函数的导数 01.?C???0；

02.?x?????x??1；

03.?sinx???cosx； 04.?cosx????sinx；

05.

?tanx???sec2x； 06.?cotx????csc2x；

07.?secx???secxtanx； 08.?cscx????cscxcotx；09.?ax???axlna； 10.?ex???ex；

11.?log1ax???xlna； 12.?lnx???1x；

13.

?arcsinx???11?x2；

14.?arccosx????11?x2；15.?arctanx???11?x2； 16.

?arccotx????11?x2。

II.和、差、积、商的导数 01.?u?v???u??v?； 02.?Cu???Cu?； 03.?uv???u?v?uv?； 04.??u??u?v?uv??v???v2(v?0)。

III复合函数的导数 若y?f?u?,u???x?，则

dydx?dydududx 或 y??x??f??u????x?。

? 计算极限时常用的等价无穷小

12limsinx?x limtanx?x lim?1?cosx??x

x?0x?0x

I.基本函数的导数 01.?C???0；

02.?x?????x??1；

03.?sinx???cosx； 04.?cosx????sinx；

05.

?tanx???sec2x； 06.?cotx????csc2x；

07.?secx???secxtanx； 08.?cscx????cscxcotx；09.?ax???axlna； 10.?ex???ex；

11.?log1ax???xlna； 12.?lnx???1x；

13.

?arcsinx???11?x2；

14.?arccosx????11?x2；15.?arctanx???11?x2； 16.

?arccotx????11?x2。

II.和、差、积、商的导数 01.?u?v???u??v?； 02.?Cu???Cu?； 03.?uv???u?v?uv?； 04.??u??u?v?uv??v???v2(v?0)。

III复合函数的导数 若y?f?u?,u???x?，则

dydx?dydududx 或 y??x??f??u????x?。

? 计算极限时常用的等价无穷小

12limsinx?x limtanx?x lim?1?cosx??x

x?0x?0x

常用的求导积分公式及解法

常用的求导积分公式及解法 1．基本求导公式

⑴ (C) 0（C为常数）⑵ (xn) nxn 1；一般地，(x ) x 1。 特别地：(x) 1，(x2) 2x，()

1x

11

，。 (x) 2

x2x

⑶ (ex) ex；一般地，(ax) axlna (a 0,a 1)。 ⑷ (lnx)

11

(a 0,a 1)。 ；一般地，(logax)

xxlna

2．求导法则 ⑴ 四则运算法则

设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（Ⅰ）(f(x) g(x)) f (x) g (x)； （Ⅱ）(f(x)g(x)) f (x)g(x) f(x)g (x)，特别(Cf(x)) Cf (x)（C为常数）； （Ⅲ）(

f(x)f (x)g(x) f(x)g (x)1g (x)

，特别。 ) , (g(x) 0)() 22

g(x)g(x)g(x)g(x)

3．微分 函数y f(x)在点x处的微分：dy y dx f (x)dx 4、 常用的不定积分公式

1 1x2x32

xdx 1x C ( 1), dx x c, xdx 2 c, xdx 3（1） ；

4x3

xdx c 4

1axxxx

C (a 0,

一、一个方程的情形对方程

F ( x, y ) 0

(1)

如能确定一个一元隐函数 y 隐函数的导数. 2 2 如 x y

f ( x) 且隐函数可导,

则可将y看成x的函数,对上式直接求导,可求出

1 0

直接对x求导,利用y为x的函数,可得

x 2 x 2 yy 0 y y' '

但必须先明确两个问题: 1) 在什么条件下,方程(1)可以确定隐函数? 2) 如能确定隐函数,其是否可导?

1. F ( x , y ) 0定理1 设函数F(x,y)在点 P( x0 , y0 )的某邻域内具连续 偏导数,且

F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0,

则方程F(x,y)=0在( x0 , y0 ) 的某邻域内能唯一确定一个 可导且具连续导数的函数y=f(x),满足 y0 f ( x0 )

Fx dy dx Fy

隐函数的求导公式

隐函数求导公式的推导 求复合函数

F ( x, y) F ( x, f ( x)) 0的全导数,即得

由Fy 连续,且 Fy ( x0 , y0 ) 0 故存在点 ( x0 , y0 ) 的一邻域,使得在其上Fy 0 从而

dy Fx Fy 0 dx

分类号：索强：

编号：

理学硕｝：学何沦文

ＢＩａｃｋ—ＳｃｈｏＩｅｓ期权定价模型的修正

硕士研究生

指导教师Ｊ二扬郑晓阳教授

应用数学

孙广毅副教授学科、专业学位论文主审人

哈尔滨工程大学２００７年ｊ月

摘要

最近二十多年来．会融衍生证券在全球范围内获得迅猛发展，期权定价问题越柬越引起国内外数学家、金融学家的广泛重视。给期权合理的定价是期权交易的中心问题，因为交易主要是通过比较实际市场价格和期权真正价值进行的。在所有的衍生证券定价中，期权定价的研究最为广泛。期权定价问题是会融数学中的核心问题之一。１９７３年美国金融学家Ｂｌａｃｋ和Ｓｃｈｏｌｅｓ在有效市场和股票价格遵循几何Ｂｒｏｗｎ运动，且股票的预期收益率和波动率为常数的假设下，获得了著名的Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型。Ｂ—Ｓ模型其实是一种理想的状态，在现实市场中，它的一些假设往往不满足。本文在Ｂ１ａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ模型的基础上，通过改变Ｂ—Ｓ模型的基本假设，给出了几种基本的修ｎｉ模型及定价公式。改进后的模型使得股票价格行为更接近现实市场的运作规律，从而更有现实意义。

本文在这方面的主要工作有：

（１）首先在分析了期权定价理论的发展现状和前景以及相关理论的基础上，介绍Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价

投资基金业绩评价方法 [ 马永开 ]《投资基金业绩评价方法 [ 马永开 ]《

陕西师范大学

硕士学位论文

套利定价理论及保险精算方法在期权定价中

姓名：刘倩

申请学位级别：硕士

专业：应用数学

指导教师：刘新平

20040401

投资基金业绩评价方法 [ 马永开 ]《投资基金业绩评价方法 [ 马永开 ]《

套利定价理论及保险精算方法在期权定价中的应用

摘要套利是一种常见的，以获利为目的的交易行为，它是基于无风险的超额利润产生的．如果某个资产（组合）存在无风险的超额利润，就会产生套利行为．套利是市场有效的内在力量，所有的市场价格都完全及时地反映了所有可熊得到的信息，任何暂时的价格偏离都将因套利而迅速消失，当市场达到均衡（供给＝需求）状态时，套利将不复存在．因此套利定价理论是以市场有效性为基础的一种均衡价格方法论，是金融产品及其衍生产品定价的理论基础．

期权定价闯题是金融数学的核心闯题之一。在市场有效，均衡的条件下，对期权进行定价可以采用套利定价方法．根据套利理论的思想，当不存在套利机会时，一个无风险的组合只能获得正常的无风险收益，或者说它的价值只能以无风险利率增长，我们可以通过构造无风险的证券组合，或者将证券拆分与复合来为期权定价．

然而，对期权进行定价的传统的套利定价

材料五：蒙特卡洛方法模拟期权定价

1．蒙特卡洛方法模拟欧式期权定价

利用风险中性的方法计算期权定价：

?(f) f?e?rtET?是风险中性测度 其中，f是期权价格，fT是到期日T的现金流，E如果标的资产服从几何布朗运动：

dS??Sdt??sdW

则在风险中性测度下，标的资产运动方程为：

ST?S0exp[(r??22)T??T?]

对于欧式看涨期权，到期日欧式看涨期权现金流如下：

max{0,S(0)e(r??2/2)T??T??K}

其中，K是执行价，r是无风险利率，?是标准差， ?是正态分布的随机变量。

对到期日的现金流用无风险利率贴现，就可知道期权价格。

例1 假设股票价格服从几何布朗运动，股票现在价格为50，欧式期权执行价格为52，无风险利率为0.1，股票波动标准差为0.4，期权的到期日为5个月，试用蒙特卡洛模拟方法计算该期权价格。

下面用MATLAB编写一个子程序进行计算：

function eucall=blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu) %蒙特卡洛方法计算欧式看涨期权的价格 %输入参数 %s0 股票价格 %K 执行价 %r 无风险利率 %T 期权的到期日 %sig