圆幂定理三大结论

例1 如图 已知△ABC中，∠C=90°，AC=√11，BC=5，以c为圆心，BC为半径作圆交BA的延长线于D，

则AD的长为（ ）

例2 如图BC为半圆⊙O的直径,EF⊥BC于点F,且BF:FC=5:1,已知点A在CE的延长线上，AB与半圆交于且

AB=8,AE=2,则AD长为（ ）

例3 如图ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P

延长AP交BC于点N，则BN/NC= （ ）

例4 如图 PA,PB 是⊙O的两条切线,又PEC是一条割线,D是AB与PC的交点.

（1）当PEC通过圆心时，求证PE ·CD=PC·DE ; (2) （1）当PEC不通过圆心时，PE ·CD=PC·DE 是否成立？说明理由

例5 如图所

初三数学培优卷―― 垂径定理+圆中的角

重点题型：

【例】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则AB?CD＝（ ）

A、28 B、26 C、18 D、35

C

22O

E B 【问题一】不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F。 A 1）如图，在下面圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； D （2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论 例 图

??

0

练习1、如图，Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长。

① ①

C?

E

ADB第1题图

2、如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE－BF的值。

C E

G B?AO FD

第2题图

3、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，且AC＝6，AB＝8，求CE的长。

A

O? DCB

牛顿三大定理

牛顿定理1：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。

证明：四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N。取BE中点P,BC中点R,PN∩CE=Q

R,L,Q共线，QL/LR=EA/AB，M,R,P共线。RM/MP=CD/DE，N,P,Q共线，PN/NQ=BF/FC 三式相乘得:QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC 由梅涅劳斯定理QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1

由梅涅劳斯定理的逆定理知:L,M,N三点共线 故牛顿定理1成立

牛顿定理2圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。

证明：设四边形ABCD是⊙I的外切四边形，E和F分别是它的对角线AC和BD的中点，连接EI只需证它过点F，即只需证△BEI与△DEI面积相等。

显然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。注意两个式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四边形ABCD，S△ADE+S△BCE=1/2*

目

录

第一部分：中值定理结论总结........................................................................................................

1、介值定理..............................................................................................................................

2、零点定理..............................................................................................................................

3、罗尔定理..............................................................................................................................

与圆有关的位置关系

1、点与圆的位置关系

如果圆的半径是r，这个点到圆心的距离为d，那么：

（1）点在圆外?d＞r； （2）点在圆上?d＝r； （3）点在圆内?d＜r；

2、直线与圆位置关系的定义及有关概念

（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点. （2）直线和圆有一公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点. （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离. 3、直线和圆的位置关系

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 （1）直线l和⊙O相交?d＜r； （2）直线l和⊙O相切?d＝r； （3）直线l和⊙O相离?d＞r；

典例精析

例1：已知直线l：y＝x－3和点A（0，3），B（3，0），设P点为l上一点，试判断P、A、

B是否在同一个圆上？

例2：下列说法正确的是（ ）

A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线 B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交 C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交 D. 若直线和圆有唯一公共点，则公共点是切点

ACDB例3：设直线l到⊙O的圆心的距离为d，⊙O的半径为R，并使x?2dx?R?0，试根据关于x的一元二次方程根的情况讨论l

与圆有关的位置关系

1、点与圆的位置关系

如果圆的半径是r，这个点到圆心的距离为d，那么：

（1）点在圆外?d＞r； （2）点在圆上?d＝r； （3）点在圆内?d＜r；

2、直线与圆位置关系的定义及有关概念

（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点. （2）直线和圆有一公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点. （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离. 3、直线和圆的位置关系

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 （1）直线l和⊙O相交?d＜r； （2）直线l和⊙O相切?d＝r； （3）直线l和⊙O相离?d＞r；

典例精析

例1：已知直线l：y＝x－3和点A（0，3），B（3，0），设P点为l上一点，试判断P、A、

B是否在同一个圆上？

例2：下列说法正确的是（ ）

A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线 B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交 C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交 D. 若直线和圆有唯一公共点，则公共点是切点

ACDB例3：设直线l到⊙O的圆心的距离为d，⊙O的半径为R，并使x?2dx?R?0，试根据关于x的一元二次方程根的情况讨论l

三垂线定理及其逆定理

教案：三垂线定理及其逆定理（复习课）

（教材：人教版全日制普通高级中学（必修）数学第二册（下A））

（课教师：贵州省实验中学 李仕魁）

课题：三垂线定理及其逆定理（复习课）

教学目的：

1、知识目标：进一步理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理。

2、能力目标：（1）理解三垂线定理及其逆定理之间的关系，掌握三垂线

定理及其逆定理应用的规律；

（2）善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题；

（3）进一步培养学生的识图能力、思维能力和解决问题的

能力．

3、德育目标：通过强化训练渗透化繁为简的思想和转化的思想．

教学重点：进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题． 教学难点：对复杂图形如何分离出符合定理的条件用以解题以及解决问题的能力

的培养

授课类型：复习课

教学模式：讲练结合

教学过程：

环节1：复习导入

教师给出三垂线定理及其逆定理，然后提出问题：三垂线定理及其逆定理彼此独立吗？它们的位置能不能交换一下？

（引发学生对三垂线定理及其逆定理的关系的思考，分析三垂线定理及其逆定理的内容）

环节2：三垂线定理及其逆定理的剖析

1、认识三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。

问题：正定理研究的是哪两条线

7.2

幂的乘方

复 习1.

写出同底数幂乘法法则,并用语言叙述 ： (同底数幂相乘，底数不变，指数相加。)

2. 计算：

(1) a a a = a4 4 43 3 3 3

123

(2)a a a a a = a

15

3. 如果一个正方体棱长是42cm,那么它的体 3 积是多少？((4 2)) cm3

复习幂的意义: 幂的意义 n个a 个

a·a· … ·a =an

同底数幂乘法的运算性质： 同底数幂乘法的运算性质： 都是正整数) 都是正整数 am · an =am+n(m,n都是正整数)

am · an =(a·a· … ·a) (a·a· … ·a)m个a 个(m+n)个a 个

n个a 个

= a·a· … ·a =am+n

幂的乘方1. 2.

x4表示什么意义？ 如果把x换成a2,那么(a2)4表示什么意义?

即：

a a a a2 2 2

2

=a

2 +2 +2 +2

=a

2× 4

=a

8

做一做计算下列各式， 计算下列各式，并说明理由 . (1) (62)4 ; (2) (a2)3 ; (3) (

第四章 大数定理与中心极限定理典型题解

1．计算器在进行时，将每个加数舍入，最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且在(?0.5,0.5)上服从均匀分布，将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

解 设第k个加数的舍入误差为Xk(k?1,2,?,1500),已

Xk在(?0.5,0.5)15001上服从均匀分布，故知E(Xk)?0,D(Xk)?．记X??Xk，由中心极限定理，

12k?1当n充分 时有近似公式

P{X?1500?01500112?x}??(x)，

于是

P{x?15}?1?P{x?15}?1?P{?15?X?15}?15?0X?015?0??}15001150011500112121215?15 ?1?[?()??()]1500115001121215?1?[2?(?1]?2?(1.342)?2[1?0.9099]150012?0.1802.即误差总和的绝对值超过15的概率近似地为0.1802．

2．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现在从这批木柱中地取100根，求其中至少有30根短于3m的概率．

?1?P{解 以X记被抽取的100根木柱长度短于3m的根数，则X~b(100,0.2)．于是

蓬莱大辛店中学

徐岩

切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切 点的半径几何应用:

.

O

∵L是⊙O的切线 ， ∴OA⊥L

L A

切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.

.

O

LA

1.经过半径的外端； 2.与半径垂直.OA是⊙O的半径 几何应用: OA⊥L于A

L是⊙O的切线.

练习1:已知：AB是弦，AD是切线 ，判断∠DAC与圆周∠ABC之间的关 系并证明. B E

C A D

在经过圆外 一点的切线 上，这一点 和切点之间 的线段的长 叫做这点到 圆的切线长

A

· O

P

切线与切线长的区别 与联系：

B

(1)切线是一条与圆相切的直线,不可以度量； (2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长, 可以度量。

切线长定理 从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相 等，圆心和这一点的连 线平分两条切线的夹角。 几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B

B。

O

P A

PA = PB ∠OPA=∠OPB

反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法

我们学过的切线，常有 六个 五个1、切线和圆只有一个公共点；

性质：

2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂