平面向量数量积的运算法则
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平面向量数量积
平面向量数量积的 物理背景及其含义
教学目标:掌握平面向量数量积的概念, 掌握平面向量数量积的概念,能用它来 表示向量的模及向量的夹角
教学重点:平面向量数量积的运算律, 平面向量数量积的运算律,用它来表示向量的模及向量的夹角
教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解, 平面向量数量积的定义及运算律的理解,平面向量数量积的应用
如图所示:物体在力F的作用下由A移动到B 问力F 如图所示:物体在力F的作用下由A移动到B,问力F 所作的功? 所作的功? F θ S A B F
力对物体所做的功,等于力的大小、位移的大小、 力与位移夹角的余弦这三者的乘积。
W= F S cosθ
已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cos θ叫做 a b a b a与b的数量积,记作a ·b ,即 b a b a ·b= |a||b|cos θ b a b 其中θ是a与b的夹角, |a|cos θ( |b|cos θ )叫 a b a b 做向量a在b方向上( b 在 a方向上 )的投影。 a b ( A a O A1 b 几何意义:数量积a ·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的 a b a a b a 投影|b|cos θ的乘积
平面向量的数量积教案
平面向量的数量积
教学目标:
(i)知识目标:
(1)掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用.
(ii)能力目标:
(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.
教学重点: 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.
2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.
教学难点: 平面向量数量积的综合应用. 教学过程: 一、追溯
????1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a||b|cos?
?????????aaaa叫与b的数量积,记作?b,即?b = |||b|cos?,(0????)并规定0与任何向量的
数量积为0 ??????aaa2.平面向量的数量积的几何意义:数量积?b等于的长度与b在方向上投影|b|cos?的乘积. ????3.两个向量的数量积的性质 设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量 ?????????1?e?a = a?e =|a|cos?; 2?a?b ? a?b = 0
???????????????3?当a与b同向时
平面向量数量积运算的解题方法与策略
平面向量数量积运算的解题方法与策略
平面向量数量积运算一直是高考热点内容,它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键,同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。
1.利用数量积运算公式求解
在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a+b)
2
=a2+2a2b+b2,(a-b)2=a2-2a2b+b2
2
2
上述两公式以及(a+b)(a-b)=a-b这一类似于实数平方差的公式在解题过程中
可以直接应用.
例1 已知|a|=2,|b|=5,a2b=-3,求|a+b|,|a-b|.
222222
解析:∵|a+b|=(a+b)=a+2a2b+b=2+23(-3)+5=23
∴|a+b|=23,∵(|a-b|)=(a-b)=a-2a2b+b=2-23(-3)
2
2
2
2
2
35=35,
∴|a-b|=35.
例2 已知|a|=8,|b|=10,|a+b|=16,求a与b的夹角θ(精确到1°).
22222
解析:∵(|a+b|)=(a+b)=a+2a2b+b=|a|+2|
平面向量数量积运算的解题方法与策略
平面向量数量积运算的解题方法与策略
平面向量数量积运算一直是高考热点内容,它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键,同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。
1.利用数量积运算公式求解
在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a+b)
2
=a2+2a2b+b2,(a-b)2=a2-2a2b+b2
2
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上述两公式以及(a+b)(a-b)=a-b这一类似于实数平方差的公式在解题过程中
可以直接应用.
例1 已知|a|=2,|b|=5,a2b=-3,求|a+b|,|a-b|.
222222
解析:∵|a+b|=(a+b)=a+2a2b+b=2+23(-3)+5=23
∴|a+b|=23,∵(|a-b|)=(a-b)=a-2a2b+b=2-23(-3)
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35=35,
∴|a-b|=35.
例2 已知|a|=8,|b|=10,|a+b|=16,求a与b的夹角θ(精确到1°).
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解析:∵(|a+b|)=(a+b)=a+2a2b+b=|a|+2|
高考数学 平面向量的数量积与平面向量应用举例
第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例
考纲要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
1.平面向量的数量积
若两个__非零__向量a与b,它们的夹角为θ,则__|a||b|cos θ__叫做a与b的数量积(或内积),记作__a·b=|a||b|cos θ__.
规定:零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b=0__,两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b=±|a||b|__.
2.平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__|b|cos θ__的乘积. 3.平面向量数量积的重要性质 (1)e·a=a·e=__|a|cos〈a,e〉__; (2)非零向量a,b,a⊥b?__a·b=0__;
(3)当a与b同向时,a·b=__|a||b|__;当a与b反向时,a·b=_
平面向量数量积的几何解释
平面向量数量积的几何解释
2 0 1 4年第 5 3卷第 9期
数学通报
4 1
平面向量数量积的几何解释朱胜强(南京外国语学校 2 1 0 0 0 8 )
所以 c ( n+ 6 )一C a+ c b,
所以 (口+ 6 ) c— a c+ b C .
现行其它版本的课标教材,有关向量数量积的几何意义及分配律的证明,也基本上采用类似
的方法 .但教学中发现,数量积的几何意义其“几何味”不是很浓 .
名义上为几何意义,但指的却是两个数的乘积.虽然向量 a的长度 I a I与 b在 a的方向上的投影都可以从图上看出来,但它们的积并未通过几
何直观呈现 .而“长度”与“投影”积的大小如何,与两个向量的模及两个向量的方向有何关系,更是
无从知晓.因此,它对于学生认识向量的数量积并没能起到明显作用.图 1
此外,解释向量数量积的几何意义需要涉及有向线段的数量等概念 .向量、有向线段、有向线段的数量、向量的投影等概念集中在一起,学生很容易混淆 .虽然前面曾用单位圆中的三角函数线
由此可知 a 的几何意义是:数量积 a 等于 a的长度 f a f与 b在 a的方向上的投影 f b[ . c o s 0
的乘积. 运用数量积的几何意义,数量积对向量加法运算分配律可有
2022高考数学考点突破——平面向量:平面向量的数量积学案
1 平面向量的数量积
【考点梳理】
1.平面向量的数量积
(1)定义:已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积).规定:零向量与任一向量的数量积为0.
(2)几何意义:数量积a 2b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.
2.平面向量数量积的运算律
(1)交换律:a 2b =b 2a ;
(2)数乘结合律:(λa )2b =λ(a 2b )=a 2(λb );
(3)分配律:a 2(b +c )=a 2b +a 2c .
3.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ=〈a ,b 〉.
考点一、平面向量数量积的运算
【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE =2EF ,则AF →2BC →的值为( )
A .-58
B .18
C .14
D .118
(2)已知点P 在圆x 2+y 2=1上,点A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则AO →2AP →的最大值为
________.
[答案] (1)B (2) 6
2 [解析] (
对数的运算法则
对数的运算法则
市级一等奖 旬阳中学 谢道仁
一、概述
对数的运算法则是北师大版高中《数学》(必修1)第三章第4.1节第(二)部分。本课需要学生掌握对数的运算法则,能初步运用对数的性质和运算法则解题;通过对法则的探究与推导,培养学生从特殊到一般的概括,归纳总结思想,使学生自主、探究地开展学习活动。
二、学习目标分析 1、知识与技能
掌握对数的运算法则,能初步运用对数的性质和运算法则解题; 2、过程与方法
通过对法则的探究与推导,培养学生从特殊到一般的概括,归纳总结思想,使学生自主、探究地开展学习活动 3、情感态度价值观
通过了解我国古代在对数研究方面的成就,激发热爱祖国,热爱
祖国悠久文化的思想感情。 [学习重点和难点]
对数的运算法则的推导和应用是本节课的重点,,法则的探究与证明是本节课的难点. 三、教学策略的选择与设计
学习过程中,通过课件创设的情境充分调动学生各知觉器官,做到"细观察、多动手、勤思考,善总结".通过观察、猜想、探究、
推理、模仿、体验,质疑等方法完成本节知识的学习。本节课采用“问题导学,自主探索,归纳总结” 的教学模式,采用情境探究法、谈话法等,使学生在自主探究的过程中完成学习的任务。 四、资源
(1)教师自制的多
第11讲 平面向量数量积与坐标运算(答案版)
第11讲 平面向量的数 量积与坐标运算
满分晋级
向量3级 平面向量的数量积与坐标运算
向量2级 平面向量的线性
运算
向量1级 向量基本概念及运算
新课标剖析
当前形势
内容
平面向量的正交分解及其坐标表示 用坐标表示平面向量的加法、减法
与数乘运算 用坐标表示的平面向量共线的条件
高考 要求
数量积 数量积的坐标表示 用数量积表示两个向量的夹角 用数量积判断两个平面向量的垂直
关系 用向量方法解决简单的问题
平面向量在近五年北京卷(理)考查5分
要求层次 A
B √ √
C √ √ √ √ √
具体要求
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
理解用坐标表示的平面向量共线的条件. ①理解数量积的含义及其物理意义. ②了解数量积与向量投影的关系.
③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. ①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与一些实际问题.
2012年 (新课标)
2013年 (新课标)
√
北京 高考
2009年
2010年 (新课
配套K12高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角课
最新K12教育
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课堂导学
三点剖析
1.两个向量数量积的坐标表示
【例1】 已知向量a=(4,3),b=(-1,2). (1)求a与b的夹角θ的余弦值;
(2)若向量a-λb与2a+b垂直,求λ的值. 解:(1)a·b=4×(-1)+3×2=2,
又∵|a|=32?42=5,|b|=12?22?5, ∴cosθ=
a?b225. ??|a||b|5525(2)a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8).
∵(a-λb)⊥(2a+b), ∴(a-λb)·(2a+b)=0. ∴7×(4+λ)+8(3-2λ)=0. ∴λ=
52. 9温馨提示
运用数量积解决有关角度、长度、垂直问题的关键是正确地使用运算公式. 2.数量积坐标表示的应用
【例2】已知a、b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.
a?(a?b)|a|2?a?b思路分析:根据向量夹角公式得:cosθ=,须根据已知条件找到?|a||a?b||a||a?b|a·b与a的关系.|a+b|与|a|的关系即可解决. 解法1:
22
根据|a|=|b|,有|a|=|b|.
222
又由|b|=|a-b|,得