全微分二阶偏导数相等

7(3)偏导数与全微分

total differentiation

第三节 偏 导 数与全微分partial derivative

偏导数

全微分 连续性与可微性,偏导数 与可微性 小结 思考题 作业第八章 多元函数微分法及其应用1

7(3)偏导数与全微分

偏导数与全微分

一、偏导数1. 定义 设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 )的某邻域

内有定义， 将y固定为y0 , 而x在x0处有增量 x时, 函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量).

x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )如果极限 f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) xz lim lim x 0 x x 0 x 存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处 对x的偏导数, 记为2

7(3)偏导数与全微分

偏导数与全微分

xz f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim lim x 0 x x 0 x

对x的偏导数, 记为 z , f x x0 , , z x 或 f x ( x

7(3)偏导数与全微分

total differentiation

第三节 偏 导 数与全微分partial derivative

偏导数

全微分 连续性与可微性,偏导数 与可微性 小结 思考题 作业第八章 多元函数微分法及其应用1

7(3)偏导数与全微分

偏导数与全微分

一、偏导数1. 定义 设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 )的某邻域

内有定义， 将y固定为y0 , 而x在x0处有增量 x时, 函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量).

x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )如果极限 f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) xz lim lim x 0 x x 0 x 存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处 对x的偏导数, 记为2

7(3)偏导数与全微分

偏导数与全微分

xz f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim lim x 0 x x 0 x

对x的偏导数, 记为 z , f x x0 , , z x 或 f x ( x

《数学分析II》第6讲教案

第6讲 多元函数的偏导数与微分

授课题目 教学内容 教学目的和要求 教学重点及难点 教学方法及教材处理提示 多元函数的偏导数与微分 1. 多元函数偏导数的定义；2. 多元函数可微性与全微分；3. 函数可微的必要条件与充分条件；4. 可微性的几何意义. 通过本次课的教学，使学生能够较好地掌握多元函数偏导数、可微性与全微分的概念，熟记可微的必要条件与充分条件，了解切平面存在定理及其证明． 教学重点：多元函数偏导数、可微性与全微分的定义； 教学难点：多元函数可微的充分条件的证明. (1) 本节的重点是多元函数偏导数、可微性与全微分的定义，讲授时一方面要讲清它们与一元函数导数和微分的联系，另一方面要讲清它们与一元函数导数和微分的区别． (2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系，并通过一些例题讲授使学生加深理解． (2) 从另一个角度引入曲面S在点P0的切平面概念，强化学生数学建模能力. 作业布置 作业内容：教材 P116:1（4，6，9），2，3，6，8（2），12. 讲授内容

一、偏导数

定义 设函数z?f(x,y),(x,y)?D.若(x0,y0)?D

二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法

一 公式解法

目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:

y''?ay'?by?f(x)通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本身的特解之和。微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。

设二阶常系数线性非齐次方程为

y''?ay'?by?f(x) (1) 这里a、b都是常数。为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程

k2?ak?b?0 (2)

对特征方程的根分三种情况来讨论。

1 若特征方程有两个相异实根k1、k2。则方程(1) 可以写成 y''?(k1?k2)y'?k1k2y?f(x)

Some Properties of Solutions of Periodic Second Order

Linear Differential Equations

1. Introduction and main results

In this paper, we shall assume that the reader is familiar with the fundamental results and the stardard notations of the Nevanlinna's value distribution theory of meromorphic functions [12, 14,

(f)and (f)to denote respectively the order 16]. In addition, we will use the notation (f)，

of growth, the lower order of growth and the exponent of convergence of the zeros of a meromorphic function f， e(f)（[see 8]），the

§3 二阶偏微分方程的分类

一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程 考虑二阶偏微分方程

(1) 式中aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为x1,x2,…,xn的已知函数.

[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面] 代数方程

称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,an是某

些参数，且有特征方程，即

.如果点x =(x1 ,x2 ,…,xn )满足

则过x 的平面的法线方向

l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面. [n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1 ,x2 ,…,xn )，根据二次型

(ai为参量)

的特征根的符号，可将方程分为四类：

(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.

(ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.

(iii) 特征根都不为零，有点P为超双曲型

§3 二阶偏微分方程的分类

一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程 考虑二阶偏微分方程

(1) 式中aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为x1,x2,…,xn的已知函数.

[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面] 代数方程

称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,an是某

些参数，且有特征方程，即

.如果点x =(x1 ,x2 ,…,xn )满足

则过x 的平面的法线方向

l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面. [n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1 ,x2 ,…,xn )，根据二次型

(ai为参量)

的特征根的符号，可将方程分为四类：

(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.

(ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.

(iii) 特征根都不为零，有点P为超双曲型

二阶及高阶可降阶微分方程的求解与应用

摘要：根据自己的理解对几类可降阶的微分方程的解题技巧做了一

些总结归纳，并且将这些技巧在应用中得到体现。

关键词：微分方程 可降阶 应用

前言：通过参考大量论文后可以很清楚地发现，高阶微分方程的求

解没有统一的方法，并且几乎所有的论文在介绍高阶微分方程解题方法时均试图用二阶微分方程的求解来类推到高阶方程的求解中.归纳后即根据二阶齐次线性微分方程解的结构总结出求此方程通解的一种方法，再解出非齐次线性微分方程的一个特解就可以得到非齐次微分方程的通解。本篇文章主要是对一些比较特殊而实际应用很强的二阶常系数线性非齐次方程进行研究，从而推导出具有特殊性质的高阶微分方程的解法，用于解决在实际过程中会碰到的问题。

一、三类可降阶的二阶及高阶微分方程

可降阶方程作为一类具有特殊性质的二阶方程，具、有固定的解题模式，经过听取老师上课以及自己课后的整理，总结出三种可降阶类型。

1、形如：y''?f(x) 的方程

个人觉得这种类型方程是所有可降阶方程中最简单的一类，因此最先讨论。 方法：只需令

p?y'?，则p'?y''?积分可得p??f(x)dx?C1，

也就得到了y'??f(x)dx?C1，

二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码)用的是五点差分法。

《微分方程数值解法》期中作业实验报告

二阶椭圆偏微分方程第一边值问题

姓名： 学号： 班级：

2013年11月19

日

二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码)用的是五点差分法。

二阶椭圆偏微分方程第一边值问题

摘要

对于解二阶椭圆偏微分方程第一边值问题，课本上已经给出了相应的差分方程。而留给我的难题就是把差分方程组表示成系数矩阵的形式，以及对系数进行赋值。解决完这个问题之后，我在利用matlab解线性方程组时，又出现“out of memory”的问题。因为99*99阶的矩阵太大，超出了分配给matlab的使用内存。退而求其次，当n=10，h=1/10或n=70，h=1/70时，我都得出了很好的计算结果。然而在解线性方程组时，无论是LU分解法或高斯消去法，还是gauseidel迭代法，都能达到很高的精度。

关键字：二阶椭圆偏微分方程差分方程out of memory LU分解高斯消去法gauseidel迭代法

一、题目重述

解微分方程：

(eyux(x,y))x (exuy(x,y))y (x y)ux(x,y) (x y)uy(x,y) u(x,y) ye xe e y x 1 e

第２６卷第２期

２００８年６月

徐州师范大学学报（自然科学版）

Ｊ．ｏｆＸｕｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖ．（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）

Ｖ０１．２６。Ｎｏ．２

Ｊｕｎ．，２００８

一类二阶常微分方程组特解形式的探讨

杜增吉

（徐州师范大学数学科学学院，江苏徐州２２１１１６）

摘要：采用待定系数法，给出了非齐次项为，１次一元多项式的三维二阶常系数线性微分方程组的特解公式，并通过举例验证了特解公式的正确性．

关键词：常系数；微分方程组；通解公式；待定系数法；特解

中图分类号：０１７５．０８

文献标识码：Ａ

文章编号：１００７—６５７３（２００８）０２—０１１１—０３

’

线性微分方程组的求解是常微分方程课程的重要内容之一，求常系数线性微分方程组的特解则是线性微分方程组求解的重点［１－５］，但对于高阶微分方程组的特解研究，目前结果还很少．根据线性非齐次微分方程（组）解的结构定理［１’２］，线性非齐次微分方程（组）的通解等于对应的齐次方程（组）的通解加上非齐次微分方程（组）的一个特解．对于常系数线性微分方程（组）来说，当非齐次项为某些特殊形式时，可用待定系数法［６１求出非齐次方程（组）的一个特解．文献［７］采用降阶法、特征根法和待定系数法，给出了一类二阶常系数微