高中向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量

一.向量的基本概念与基本运算

①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c 来表示，或用有向线段的起点与终

点的大写字母表示，如：AB AB，a；坐标表示法a xi yj (x,y) 向

量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大小，记作｜a

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

0与任意向量平行零向量a＝0 ｜②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，

a｜＝由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的

问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量

向量a0为单位向量 ｜a0｜＝

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量

线上a∥b(即自

由向量)

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．

⑤相等向量：a b大

小相等，方向相同(x1,y1) (x2,y2)

x1 x2

y1 y2

求两个向量和的运算叫做向量的加法

设AB a

解析几何复习知识点总结

第一章 向量与坐标

第一节 向量的概念：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。

规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0. 模为1的向量称为单位向量。

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a 方向相等且模相等的向量称为相等向量。

长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量．与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。

1共线向量定理

两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb

2共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by

3空间向量分解定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

1.2 向量的加法

三角形定则解决向量加减的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。

平行四边形定则解决向量加法的方法：将两个

解析几何复习知识点总结

第一章 向量与坐标

第一节 向量的概念：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。

规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0. 模为1的向量称为单位向量。

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a 方向相等且模相等的向量称为相等向量。

长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量．与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。

1共线向量定理

两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb

2共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by

3空间向量分解定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

1.2 向量的加法

三角形定则解决向量加减的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。

平行四边形定则解决向量加法的方法：将两个

空间向量与立体几何知识点归纳总结

一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a

??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b

?????????????????????????????????OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共

??线向量或平行向量，a平行于b，记作

?????（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数

??a//b。 ???λ，使a＝λb。

（3）三点共线：A、B、C三点共线<=>AB??AC

<=>OC?xOA?yOB(其中x?y?1)

?a（4）与共线的单位向量为

aa

???x,y使

向量的知识点与高考应用及题型融合 一,向量重要结论

(1、向量的数量积定义:||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=, 22||a a a a ?== (2、向量夹角公式:a 与b 的夹角为θ,则cos ||||

a b a b θ?= (3、向量共线的充要条件:b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈,使b a λ=。

(4、两向量平行的充要条件:向量11(,a x y =,22(,b x y =平行?12210x y x y -= (5、两向量垂直的充要条件:向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += (6、向量不等式:||||||a b a b +≥+,||||||a b a b ≥?

(7、向量的坐标运算:向量11(,a x y =,22(,b x y =,则a b ?=1212x x y y + (8、向量的投影:︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 (9、向量:既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。相等向量:长度相等且

方向相同的向量。

(10、零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向

高中 向量学习 必备

向量的知识点与高考应用及题型融合

一,向量重要结论

2 2

（1）、向量的数量积定义：a b |a||b|cos 规定0 a 0， a a a |a|

a b

（2）、向量夹角公式：a与b的夹角为 ，则cos

|a||b|

（3）、向量共线的充要条件：b与非零向量a共线 存在惟一的 R，使b a。

（4）、两向量平行的充要条件：向量a (x1,y1),b (x2,y2)平行 x1y2 x2y1 0

（5）、两向量垂直的充要条件：向量a b a b 0 x1x2 y1y2 0

（6）、向量不等式：|a| |b| |a b|，|a||b| |a b|

（7）、向量的坐标运算：向量a (x1,y1),b (x2,y2)，则a b x1x2 y1y2

a b

（8）、向量的投影：︱b︱cos =∈R，称为向量b在a|a|

（9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等向量：长度相等且

方向相同的向量。

（10）、零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行a＝0 ｜a｜＝由

于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚

高中 向量学习 必备

向量的知识点与高考应用及题型融合

一,向量重要结论

2 2

（1）、向量的数量积定义：a b |a||b|cos 规定0 a 0， a a a |a|

a b

（2）、向量夹角公式：a与b的夹角为 ，则cos

|a||b|

（3）、向量共线的充要条件：b与非零向量a共线 存在惟一的 R，使b a。

（4）、两向量平行的充要条件：向量a (x1,y1),b (x2,y2)平行 x1y2 x2y1 0

（5）、两向量垂直的充要条件：向量a b a b 0 x1x2 y1y2 0

（6）、向量不等式：|a| |b| |a b|，|a||b| |a b|

（7）、向量的坐标运算：向量a (x1,y1),b (x2,y2)，则a b x1x2 y1y2

a b

（8）、向量的投影：︱b︱cos =∈R，称为向量b在a|a|

（9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等向量：长度相等且

方向相同的向量。

（10）、零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行a＝0 ｜a｜＝由

于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚

第一课：生活在人民当家作主的国家

框题一：

（1）国家的本质：在经济上占统治地位的阶级进行阶级统治的工具。国家的根本属性：阶级性。

（2）我国国家性质：人民民主专政的社会主义国家。

（3）人民民主专政的本质：人民当家作主。

（4）人民民主的广泛性：人民享有广泛的民主权利，民主主体的广泛性。

（5）人民民主的真实性：人民当家作主的权利有制度、法律和物质的保障，广大人民的利益得到日益充分的实现。

（6）人民民主专政的专政职能的表现：依法打击敌对分子的破坏活动及犯罪活动。

（7）坚持人民民主专政的作用：主要体现为"两个只有"。

（8）在改革开放条件下人民民主专政的新的时代内容。

框题二：

I）我们政治生活的全部内容的基准：依法行使政治权利、履行政治性义务。

（2）我国公民的政治权利和自由：选举权和被选举权；政治自由；监督权。

（3）我国公民必须履行的政治性义务：维护国家统一和民族团结；遵守宪法和法律；维护国家安全、荣誉和利益；服兵役和参加民兵组织。

（4）公民参与政治生活的基本原则：公民在法律面前一律平等；权利与义务相统一；个人利益与集体利益、国家利益相结合。

（5）公民在法律面前一律平等的表现：平等地享受权利、平等地履行义务、平等地适用法律。

（6）权利与义

高中政治很全的知识点

f95
1、 商品的含义？商品的基本属性？商品是用于交换的劳动产品。商品的基本属性是使用价值（商品能满足人们某种需要的属性）和价值（凝结在商品中的无差别的人类劳动）。

2、 货币的含义？货币的本质？货币的基本职能？从商品中分离出来固定地充当一般等价物的商品，就是货币。货币的本质是一般等价物。货币的基本职能是价值尺度（货币本身有价值，是商品，货币执行价值尺度的形式是只需要观念上的货币，并不需要现实的货币）和流通手段 4.汇率的含义？什么叫外汇汇率升高和外汇汇率跌落？汇率又称汇价，是两种货币之间的兑换比率。如果用100单位外币兑换成更多的人民币，说明外币的汇率升高；反之，则说明外币汇率跌落。

5、 我国为什么要保持人民币币值稳定？（1） 对内保持物价总水平稳定；（2）对外保持人民币汇率稳定；（3）有利于人民生活安定、国民经济持续快速健康发展；（4）有利于世界金融的稳定和经济的发展；5）有利于实现扩大就业，缓解我国的就业压力；（6）有利于实现经济增长，国际收支平衡等宏观经济目标。

6、供求对价格的影响？供不应求，价格升高---------卖方市场 供过于求，价格降低---------买方市场

7、 价格和价值的关

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1、 商品的含义？商品的基本属性？商品是用于交换的劳动产品。商品的基本属性是使用价值（商品能满足人们某种需要的属性）和价值（凝结在商品中的无差别的人类劳动）。

2、 货币的含义？货币的本质？货币的基本职能？从商品中分离出来固定地充当一般等价物的商品，就是货币。货币的本质是一般等价物。货币的基本职能是价值尺度（货币本身有价值，是商品，货币执行价值尺度的形式是只需要观念上的货币，并不需要现实的货币）和流通手段 4.汇率的含义？什么叫外汇汇率升高和外汇汇率跌落？汇率又称汇价，是两种货币之间的兑换比率。如果用100单位外币兑换成更多的人民币，说明外币的汇率升高；反之，则说明外币汇率跌落。

5、 我国为什么要保持人民币币值稳定？（1） 对内保持物价总水平稳定；（2）对外保持人民币汇率稳定；（3）有利于人民生活安定、国民经济持续快速健康发展；（4）有利于世界金融的稳定和经济的发展；5）有利于实现扩大就业，缓解我国的就业压力；（6）有利于实现经济增长，国际收支平衡等宏观经济目标。

6、供求对价格的影响？供不应求，价格升高---------卖方市场 供过于求，价格降低---------买方市场

7、 价格和价值的关