高中数学任意角的概念

高一数学辅导三角函数（一）

【任意角】

1、时间经过了6小时30分钟，则钟表的分针所转过的角的度数为 ，时针所转过的角的度数为 。

2、已知α=-18450

，在与α 终边相同的角中，最小的正角的度数为 ；最大的负角的度数为 。

3、若α 是第一象限角，则 α

2 终边所在的位置是 。

4、若α 是第一象限角，β 是第二象限角，试确定α+β

2终边所在的位置 。

5、已知集合A=﹛α︱α为小于900

的角﹜，B=﹛α︱α为第一象限的角﹜，则A∩B=( )

A. ﹛α︱α为锐角﹜ B. ﹛α︱α为小于900

的角﹜ C. ﹛α︱α为第一象限的角﹜ D.以上都不对

6、若α与β的终边互相垂直，则α－β＝ 。

7、已知角α，β的终边关于x+y=0对称，且α=-600

，则β= 。 8、已知角β的终边在直线??= 3??上。 （1）写出角β的集合S；

（2）写出S中适合不等式-3600＜β＜7

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角的范围已经推广，那么对任一角 α 是否也能像锐 角一样定义其四种三角函数呢？ 我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角 α 为 自变量，以比值为函数值，定义了角α 的正弦、余弦、正 切、余切的三角函数，本节课我们研究当角α 是一个任意 角时，其三角函数的定义及其几何表示.

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任意角的三角函数定义

设 α 是任意角，α 的终边上任意一点P 的坐标是 (x,y ) , 当角α 在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距 离为 r ,则 r =x + y = x2 + y 2 > 02 2

.

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任意角的三角函数所在象限的课件 定义： 定义：

y y ①比值 叫做α 的正弦，记作sin α ,即 sin α = . r r

x x ②比值 叫做α 的余弦，记作cosα ,即cos α = . r r y ③比值 叫做 α 的正切，记作tan α ,即 tan α = xy . x

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提问：对于确定的角α

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角的范围已经推广，那么对任一角 α 是否也能像锐 角一样定义其四种三角函数呢？ 我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角 α 为 自变量，以比值为函数值，定义了角α 的正弦、余弦、正 切、余切的三角函数，本节课我们研究当角α 是一个任意 角时，其三角函数的定义及其几何表示.

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任意角的三角函数定义

设 α 是任意角，α 的终边上任意一点P 的坐标是 (x,y ) , 当角α 在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距 离为 r ,则 r =x + y = x2 + y 2 > 02 2

.

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任意角的三角函数所在象限的课件 定义： 定义：

y y ①比值 叫做α 的正弦，记作sin α ,即 sin α = . r r

x x ②比值 叫做α 的余弦，记作cosα ,即cos α = . r r y ③比值 叫做 α 的正切，记作tan α ,即 tan α = xy . x

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提问：对于确定的角α

1.2.1 任意角的三角函数

互动课堂

疏导引导

1.任意角三角函数的定义

设P(a,b)是角α的终边与单位圆的交点,由P向x轴引垂线,垂足为M. 根据锐角三角函数的定义得 sinα=

|MP||OM||MP|b?. =b,cosα==a,tanα=

|OP||OM|a|OP| 同样的道理 ,我们也可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图1-2-2,设α是一

个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么

图1-2-2

(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y. (2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x. (3)

yy叫做α的正切,记作tanα,即tanα=. xx2.三角函数线

设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x轴的交点分别为A(1,0)、A′(-1,0),与y轴的交点分别为B(0,1)、B′(0,-1).设角α的顶点在圆心O,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P(如图1-2-3(a)),过点P作PM垂直于x轴于M,则点M是点P在x轴上的正射影(简称射影),由三角函数的定义可知点P的坐标为(cosα,sinα),即P(cosα,sinα).

其中cosα=OM,sinα=MP

小议高中数学概念教学

数学概念是数学学科的基本组成元素，是数学之本、解题之源。要想学好数学这门学科，首先要对数学概念有一个深刻的认识和了解，如果我们在学习数学知识的时候连概念都没有搞清楚，就没办法进行接下来的学习活动。然而，由于受到应试教育思想的影响，很多教师在进行数学教学活动的时候对于概念教学存在一个严重的误区：轻概念、重解题的现象十分普遍，更多的是把数学概念看成是一个名词而已，认为学生只需要把这些概念熟练地背下来就可以了，没有认真研究过概念教学技巧，而是把更多的时间和精力放在一些解题技巧的传授上。事实上，在数学学科中，很多的概念并不是一个简单的名词，它们往往具有深刻的内涵。很多数学概念本质上是一种数学观念，也是一种解决问题的数学方法。因此，仅仅依靠对数学概念的死记硬背是远远发挥不了数学概念应有的作用的。在学习数学的过程中，很多学生恰恰就是因为对数学概念的一知半解，对概念的理解只是停留在形式化的表面，而没有深入了解概念的内涵，从而导致在解题过程中出现了很多的问题。面对这些问题，作为高中数学教师，我们应当如何开展数学概念教学工作呢？

一、要让学生认识到在数学学习中数学概念的重要意义 在数学教学过程中，一些教师对概念教学缺乏科学的认识和必要的重

1.2.1《任意角的三角函数》教学设计（2）

【教学目标】

1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；

3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围. 【导入新课】 （一）复习：（提问）

1．三角函数的定义及定义域、值域：

练习1：已知角

的终边上一点P(

m)，且sin

，求cos ,sin 的值.

解：由题设知x y

m，所以r2 |OP|2 (2

m2，得r

从而sin

m2

，解得m

0或16 6 2m m

r4xy

1,tan 0；

rx

当m

0时，r x cos

当m

r x

cos

xy tan ；

rxxy tan rx当m

r x

cos 2．三角函数的符号：

练习2：已知sin 0且tan 0， （1）求角 的集合；（2）求角3．诱导公式：

练习3：求下列三角函数的值： （1）cos

终边所在的象限；（3）试判断tan ,sin cos 的符号. 2222

9 11 9 )，，（2）tan( （3）sin．

462

（二）问题：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个

1 1.1.1 角的概念的推广

课时过关·能力提升

1.设集合A={小于90°的角},B={第一象限的角},则A ∩B 等于( )

A .{锐角}

B .{小于90°的角}

C .{第一象限的角}

D .以上都不对

2.终边与两坐标轴重合的角α的集合是( )

A .{α|α=k ·360°,k ∈Z }

B .{α|α=k ·180°,k ∈Z }

C .{α|α=k ·90°,k ∈Z }

D .{α|α=k ·180°+90°,k ∈Z }

3.已知角α,β的终边相同,则α-β的终边在( )

A .x 轴的正半轴上

B .y 轴的正半轴上

C .x 轴的负半轴上

D .y 轴的负半轴上

α-β=k ·360°(k ∈Z ),所以α

-β的终边落在x 轴正半轴上. 4.已知集合A={α|α=k ·90°-36°,k ∈Z },B={β|-180°<β<180°},则A ∩B 等于( ) A .{-36°,54°}

B .{-126°,144&

精 品

[A.基础达标]

1．下列说法正确的是( )

A ．终边相同的角都相等

B ．钝角比第三象限角小

C ．第一象限角不都是锐角

D ．锐角不都是第一象限角

解析：选C.终边相同的角相差360°的整数倍，并不一定相等，故A 错误；钝角并不一定比第三象限角小，如－135°是第三象限角，显然－135°比钝角小，故B 错；锐角一定是第一象限角，但第一象限角未必都是锐角，故C 正确，D 错误．

2．若角α的终边经过点M (0，－3)，则角α( )

A ．是第三象限角

B ．是第四象限角

C ．既是第三象限角，又是第四象限角

D ．不是任何象限的角

解析：选D.因为点M (0，－3)在y 轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．

3．若角α满足α＝45°＋k ·180°，k ∈Z ，则角α的终边落在( )

A ．第一或第三象限

B ．第一或第二象限

C ．第二或第四象限

D ．第三或第四象限

解析：选A.当k 为奇数时，角α与225°角终边相同，在第三象限；当k 为偶数时，角α与45°角终边相同，在第一象限．

4．已知α是第三象限角，则－α是第________象限角．( )

A ．四

B ．三

C ．二

D ．一

解析：选C.∵α是第三象限角，

∴k ·360°＋180°＜α＜k ·360

2.1.4 映射的概念

教学目标：

1．了解映射的概念,能够判定一些简单的对应是不是映射； 2．通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系．

教学重点：

用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．

教学过程：

一、问题情境 1．复习函数的概念．

小结：函数是两个非空数集之间的单值对应，事实上我们还遇到很多这样的集合之间的对应：

（1）A＝{P｜P是数轴上的点}，B＝R，f：点的坐标． （2）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应． 2．情境问题．

这些对应是A到B的函数么？ 二、学生活动

阅读课本41～42页的内容，回答有关问题． 三、数学建构

1．映射定义：一般地，设A、B是两个非空集合．如果按照某种对应法则?，对于集合

A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作：f：A→B．

2．映射定义的认识：

（1）符号“f：A→B”表示A到B的映射； （2）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则； （3）集合的顺序性：A→B与B→A是不同的；

（4）箭尾集合中元素的任意性（少一个也不行），箭头集合中元素的惟一性（多一个也

不行）

第五章5．2 弧度制

第5讲弧度制的概念

一、复习

在角度制下，一周是360度。也就是说，把一个圆平均分

割成360份，每一份所对的圆心角就是1度。把1度再细分

下去，还有分’和秒’’。其中，1度等于60分（1°=60

′），1分等于60秒。（1′=60″）

O

角度制使用60进制，在单位换算上存在很多不足。例

如：请计算23°35′+

31°40′的值。两角相加，先从最小级的单位开始算，发现35′+

40′=75′=1°15′，继续再加度单位，原式的值可以等于23°+ 31°+1°15 ′=55°15′

.度和分的换算是用60进制的。这样使计算十分麻烦。是否可以有其他角的单位，使角的运算可以更加方便简单呢？今天我们就来学习新的表示角的单位—

弧度制。先来看个定义，什么是1弧度呢？

二、新知识

1、定义

对于一个给定半径的圆，我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad(弧度)．这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制。

从定义上看，似乎弧度的定义与半径有关系，那么对于一个给定的圆心角，弧度数与半径有关吗?我们在几何画板中做一组实验。

我们发现拖动点C

，改变半径时，圆心角的弧度并不会改变大小。只有拖动B点，改变圆心角的大小时，弧度值才会变化。因此，角的弧度