复变函数中解析函数的理论分析及应用

S h a n d o n g I n d u s t r i a l T e c h n o l o g y

第 8期

山东工业技术

2 0 1 3正

复变函数中解析函数的理论分析及应用王华阁

(新乡医学院基础医学院。河南新乡 4 5 3 0 0 3 )【摘要】本文对解析函数的概念进行分析，给出了判断函数解析性的几种方法，并通过例子对解析函数的数学应用和实际应用都进行了分析。

【关键词】解析函数；解析；复变函数

0前言复变函数这门数学分支在数学理论和实际中都有非常强大应用性。而解析函数是复变函数特有的内容，在复变函数理论中起着重要的作用 .解析函数在理论和实际中都有着广泛的应用，所以对解析函数的理论及应用进行分析有非常大的必要性

自的定义域内解析

5 ) s h z, c h z在整个复平面上解析。2 . 3根据定理判定

定理：函数 f ( z )= u ( x, y )+ i v ( x, y )在区域 D内解析的充分必要条件是： u ( x, y ), v ( x, y )在 D内可微，并且在区域 D上满足柯西一黎曼方程：一

面

a

一

1解析函数的概念如果函数 z )不仅在 z o处可导，而且在 z o的某个邻域内的任意一点可导，则称 z )在z。解析。

一

S h a n d o n g I n d u s t r i a l T e c h n o l o g y

第 8期

山东工业技术

2 0 1 3正

复变函数中解析函数的理论分析及应用王华阁

(新乡医学院基础医学院。河南新乡 4 5 3 0 0 3 )【摘要】本文对解析函数的概念进行分析，给出了判断函数解析性的几种方法，并通过例子对解析函数的数学应用和实际应用都进行了分析。

【关键词】解析函数；解析；复变函数

0前言复变函数这门数学分支在数学理论和实际中都有非常强大应用性。而解析函数是复变函数特有的内容，在复变函数理论中起着重要的作用 .解析函数在理论和实际中都有着广泛的应用，所以对解析函数的理论及应用进行分析有非常大的必要性

自的定义域内解析

5 ) s h z, c h z在整个复平面上解析。2 . 3根据定理判定

定理：函数 f ( z )= u ( x, y )+ i v ( x, y )在区域 D内解析的充分必要条件是： u ( x, y ), v ( x, y )在 D内可微，并且在区域 D上满足柯西一黎曼方程：一

面

a

一

1解析函数的概念如果函数 z )不仅在 z o处可导，而且在 z o的某个邻域内的任意一点可导，则称 z )在z。解析。

一

学校代码：_ 11059___ 学 号：0907022036

Hefei University

毕业论文（设计）

BACHELOR DISSERTATION

论文题目：______ 复变函数在通信工程中的应用_______

学位类别：________________理学学士__________________ 学科专业：____________数学与应用数学_________________ 作者姓名：_______ 易顺__________________________ 导师姓名：___________ 王贵霞_________________________ 完成时间：________ 2013年4月12日_________________

复变函数在通信工程中的应用

中 文 摘 要

随着现代科学技术理论的发展，学科间的联系越来越

毕业论文：matlab在复变函数中的一些应用

摘要

MATLAB是目前应用最广泛的工程计算软件之一.本文利用MATLAB强大的数值计算和绘图功能,将复变函数论中的一些典型实例实现了计算机的数据自动计算和可视化.从而使抽象、繁杂的内容具体化、简单化.

关键词:复变函数；MATLAB；可视化

本科毕业论文(设计)

ABSTRACT

MATLAB is one of the most extensively used engineering calculation software at present.In this paper we using MATLAB’s powerful calculation and drawing funtions,Some typical examples of the theory of complex funtions achieved automatic calculat and visualization.That make abstract and compicated contents specification and simplization.

Keywords: complex function

第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 （1）代数表示 z?x?yi

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数z、点z、向量z视为同一概念） （3）三角式：z?r(cos??isin?) （4）指数式 ： z?rei? 辐角Argz?argz?2k? |z|?x2?y2

y?arctan,x?0,?x?y?arctan??,x?0,y?0x argz?? ?y?arctan??,x?0,y?0x???/2,x?0,y?0???/2,x?0,y?0?z?zz?z,y? x? 22i二、乘幂与方根

（1）乘幂： z?rei?，zn?rnein? （2）方根： nz?n|z|e

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导

2k??argzin,k?0,1,2,?n?1

注：（1）点解析?点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域内解析与可导等价

二、定理1 w?f(z)?u?iv在z0可导?u,v在z0可微，满足C-R方程

定理2 w?f(z)?u

复变函数作业 班级 姓名 学号

第一次作业（第一章习题） 1．设z?1?3i2，求|z|及Arg z. 2．设z1?i1?,z?i，试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3．解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4．证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2)，并说明其几何意义。

1

复变函数作业 班级 姓名 学号

9．试证：复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14．命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证：??0,若 z=0.

15．试证：函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

复变函数作业 班级 姓名 学号

第二次作业（第二章习题）

2．洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则（试证） limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g

( 密 封 线 内 不 答 题 ) ………………………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 学院 专业 座位号 3诚信应考,考试作弊将带来严重后果！

华南理工大学期末考试

2009《复变函数-A》试卷

注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；

2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷；

4. 本试卷共 7大题，满分100分， 考试时间120分钟。 题 号 1 得 分 评卷人 2 3 4 5 6 7 总分 1，填空题。(每题5分，合计30分)

（1）已知 z4?1?i，则z所有取值为

（2）设函数f(z)在单连通区域D内解析，C是D内一条简单正向闭曲线，

f(z)?在C的外部，则积分?dz? 2009(z??)C

（3）在映射w?z2

毕业论文：matlab在复变函数中的一些应用

摘要

MATLAB是目前应用最广泛的工程计算软件之一.本文利用MATLAB强大的数值计算和绘图功能,将复变函数论中的一些典型实例实现了计算机的数据自动计算和可视化.从而使抽象、繁杂的内容具体化、简单化.

关键词:复变函数；MATLAB；可视化

本科毕业论文(设计)

ABSTRACT

MATLAB is one of the most extensively used engineering calculation software at present.In this paper we using MATLAB’s powerful calculation and drawing funtions,Some typical examples of the theory of complex funtions achieved automatic calculat and visualization.That make abstract and compicated contents specification and simplization.

Keywords: complex function

复变函数作业 班级 姓名 学号

第一次作业（第一章习题） 1．设z?1?3i2，求|z|及Arg z. 2．设z1?i1?,z?i，试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3．解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4．证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2)，并说明其几何意义。

1

复变函数作业 班级 姓名 学号

9．试证：复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14．命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证：??0,若 z=0.

15．试证：函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

复变函数作业 班级 姓名 学号

第二次作业（第二章习题）

2．洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则（试证） limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g

第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 （1）代数表示 z?x?yi

（2）几何表示：用复平面上点表示

（复数z、点z、向量z视为同一概念） （3）三角式：z?r(cos??isin?) （4）指数式 ： z?rei? 辐角Argz?argz?2k? |z|?x2?y2

y?arctan,x?0,?x?y?arctan??,x?0,y?0x argz?? ?y?arctan??,x?0,y?0x???/2,x?0,y?0???/2,x?0,y?0?z?zz?z,y? x? 22i二、乘幂与方根

（1）乘幂： z?rei?，zn?rnein? （2）方根： nz?n|z|e

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域内处处可导

2k??argzin,k?0,1,2,?n?1

注：（1）点解析?点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域内解析与可导等价

二、定理1 w?f(z)?u?iv在z0可导?u,v在z0可微，满足C-R方程

定理2 w?f(z)?u