矩阵位移法单元分析

第七章 矩阵位移法主要内容： 概述 局部坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵 整体刚度矩阵 等效结点载荷 计算步骤与算例

7.1 概述矩阵位移法是结构矩阵分析方法的一种. 以结点位移为基本未知量，借助矩阵进行分 析，并通过计算机编程解决各种杆系结构受 力、变形等计算的方法。 理论基础：位移法 分析工具：矩阵论 计算手段：计算机技术

基本思想: 化整为零

5

632

6

------ 结构离散化

将结构拆成杆件,杆件称作单元. 单元的连接点称作结点. 对单元和结点编码.

23

54

11

4

单元分析基本未知量:结点位移单元杆端力

单元杆端位移------ 整体分析

e

集零为整结点外力

单元杆端力 结点外力 单元杆端位移(杆端位移=结点位移) 结点外力

结点位移

7.2 局部坐标下的单元刚度矩阵一.离散化将结构离散成单元的分割点称作结点. 结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等 整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。 坐标系:整体(结构)坐标系; 局部(单元)坐标系. 曲杆结构:以直代曲. 变截面杆结构:以等截面杆 代变截面杆 6 5 (13,14,15) (16,17,18)

6

2 1

3

54 (10

第七章 矩阵位移法主要内容： 概述 局部坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵 整体刚度矩阵 等效结点载荷 计算步骤与算例

7.1 概述矩阵位移法是结构矩阵分析方法的一种. 以结点位移为基本未知量，借助矩阵进行分 析，并通过计算机编程解决各种杆系结构受 力、变形等计算的方法。 理论基础：位移法 分析工具：矩阵论 计算手段：计算机技术

基本思想: 化整为零

5

632

6

------ 结构离散化

将结构拆成杆件,杆件称作单元. 单元的连接点称作结点. 对单元和结点编码.

23

54

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4

单元分析基本未知量:结点位移单元杆端力

单元杆端位移------ 整体分析

e

集零为整结点外力

单元杆端力 结点外力 单元杆端位移(杆端位移=结点位移) 结点外力

结点位移

7.2 局部坐标下的单元刚度矩阵一.离散化将结构离散成单元的分割点称作结点. 结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、荷载作用点等 整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。 坐标系:整体(结构)坐标系; 局部(单元)坐标系. 曲杆结构:以直代曲. 变截面杆结构:以等截面杆 代变截面杆 6 5 (13,14,15) (16,17,18)

6

2 1

3

54 (10

同济大学教育部精品课程结构力学课件

6.3 矩阵位移法解平面刚架一.离散化将结构离散成单元的分割点称作结点. 将结构离散成单元的分割点称作结点. 结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 结点的选择:转折点、汇交点、支承点、 刚度变化、 刚度变化、荷载作用点等 整体编码：单元编码、结点编码、 整体编码：单元编码、结点编码、 结点位移编码。 结点位移编码。 坐标系:整体(结构)坐标系; 坐标系:整体(结构)坐标系; 局部(单元)坐标系. 局部(单元)坐标系. 曲杆结构:以直代曲. 曲杆结构:以直代曲. 变截面杆结构: 变截面杆结构:以等截面杆 代变截面杆 ) 5 13,14,15) 6 16,17,18) ( ) (

6

2 1

3

54 10,11,12) ( )

3 7,8,9) ( )

4Y X

1 (1,2,3) )

2 (4,5,6) )

同济大学教育部精品课程结构力学课件

F1 F e 2e F3 e {F } = F e 4 单元杆 F5e e 端力 F6 e

二.单元分析

y

eδ e e δ 1e F F3 δ 4e 6 5 δ e 1 2 l , A, EI δ 2e 2 e e F1e F4e x δ 3 e e F5e

《结构力学》习题集

第七章 矩阵位移法

一、是非题

1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。

3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T是正交矩阵。

4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。 5、用 矩 阵 位 移 法 计 算 连 续 梁 时 无 需 对 单 元 刚 度 矩 阵 作 坐 标 变 换。 6、结 构 刚 度 矩 阵 是 对 称 矩 阵 ，即 有Kij = Kji，这 可 由 位 移 互 等 定 理 得 到 证 明 。 7、结构刚度方程矩阵形式为：?K??????P?，它是整个结构所应满足的变形条件。 8、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。

9、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。

10、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。 11、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。

二、选择题

1、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是：

A.2(0,1,2)1(0,0,0)4(0,0,0)

第十章§10-1 §10-2 §10-3 §10-4

矩阵位移法概述 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵的坐标转换 结构的原始刚度矩阵

结构力学

§10-5 支承条件的引入 §10-6 非结点荷载的处理 §10-7 矩阵位移法的计算步骤及示例 §10-8 几点补充说明

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10:38

§10-1 概述一、手算与电算比较：手算：小型、简单问题，讲究技巧。

结构力学

超静定结构分析： 力法，位移法，力矩分配法。

电算：大型、复杂问题，要求方法具有系统性、 通用性。 结构力学中的电算方法 —结构矩阵分析方法 (杆件有限元法) 结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、 以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手 段大规模的计算方法。

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10:38

§10-1 概述二、结构矩阵分析方法特点与分类：

结构力学

(1) 公式推导书写简明,导出公式紧凑,形式规格化。 (2) 各种情况可统一处理，通用性强。 (3) 计算过程规范化，适合计算机进行自动化解算。 矩阵力法(或称柔度法)——以力作为基本未知量。 矩阵位移法(或称刚度法)——采用结点位移作为基 本未知

构造判断矩阵在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性 的结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy等人提 出：一致矩阵法，即： 1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较 2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸 因 素相互比较的困难，以提高准确度。 判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的 相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用Santy的1—9标 度方法给出。 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层 不要超过9个因素。

建立判断矩阵例如：如果C为购一台满意的设备，P1为功能强，P2为价格低，P3为维修容易。通 过对P1,P2和P3的两两比较后做出的判断矩阵P如下： P2 1/3 1 1/5 功能强 P1 P1 P2 P3 1 3 1/2

P32 5 1 易维修 价格低

衡量判断矩阵质量的标准是矩阵中的判断是 否有满意的一致性，如果判断矩阵存在如下 关系，则称判断矩阵具有完全一致性。

bij=bik/bjk为了考察AHP决策分析方法得出的结果是否基本合理，需要对判断矩阵进行一 致性检验。

目标层

O(选择旅游地)

准则层

C1 景色

C2 费用

C3 居住

C4 饮食

C5 旅途

设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O

正交矩阵与酉矩阵的性质与应用

摘要

本文中提到在探讨性质之前，先得了解正交矩阵的出处，正交矩阵来自于正交变换的定义，设A?EndR(V)是欧几里得空间的线性变换，如果A保持内积不变，也就是说，对任意的?,??V，有(A(?),A(?))＝(?,?).正交变换是保内积的，也即保长度和夹角，则变换前后的图形全等.

矩阵是线性代数中的核心内容 ,而正交矩阵是一种较常用的矩阵 ,它在正交变换理论中起着十分重要的作用 .

先介绍正交变换、正交矩阵等相关概念，研究线性变换为正交变换的等价条件；正交矩阵的构造以及定义的等价条件.从矩阵理论的角度，本文对正交矩阵进行了较为深入的研究 ,得到了正交矩阵的一系列常用性质 ,相关性质的概括、改进和推广 ,以及正交矩阵和酉矩阵的应用.对矩阵的理论研究有重要的意义 . .

关键词：正交矩阵，酉矩阵，运算关系

ABSTRACT

This paper discusses the nature of mentioned before, you have to understand the origin of orthogonal matrix, orthogonal matrix from orthogonal tran

7.5 有侧移刚架的计算

基本未知量：转角和侧移（或只有侧移） 用基本体系法建立典型方程。 【例】用位移法分析图示刚架。（转角和侧移）

实例：试用位移法分析图示刚架。（转角和侧移）

（1）基本未知量：Δ 1、 Δ 2、Δ3 （2）基本体系：如图

计算杆件线性刚度i，设EI0=1，则

，

（3）位移法方程

（4）计算系数：k11、k12、k13、k21、k22、k23、k31、k32、k33

k11=3+4+3=10，k12=k21=2， k22=4+3+2=9 k13=k31=? k23=k32=? 8

k33=(1/6)+(9/16)=35/48 F1P=40–41.7= –1.7，F2P=41.7 k31=k13= –9/8，k32=k23= –1/2 F3P=0 （5）计算自由项：F1P、F2P、F3P（见右上图）

（6）建立位移法基本方程： （7）解方程求结点位移：

（8）绘制弯矩图

（9）校核——结点及局部杆件的静力平衡条件的

用位移法计算图示刚架，求出系数项及自由项。EI=常数。（10分）

kNA B8kN/mC D 3m3m6m

解：

(1)基本未知量

这个刚架基本未知量只有一个结点B的角位移?1。 (2)基本体系

在B点施加附加刚臂，约束B点的转动，得到基本体系。

Δ1 A B CD

(3)位移法方程

k11?1?F1P?0

(4)计算系数和自由项 令i?EI6，作M1图如（ 空1 ）所示。（2分）

4iA Δ1=12i4i 3iB2i CA 6m4iΔ1=14iB

A． B．

D C2i3iD 2i

2iA Δ1=13iB2iΔ1=1B4i CA 4i3i C4i2iD 4i

2iD

C． D． 取结点B为研究对象，由?（2分） MB?0，得k11?（ 空2 ）

A． -7i B．-11i C． 5i D．11i

作MP图如（ 空3 ）所示。（2分）

30kN?mA F1P36kN?m C30kN?mF1P24kN?mB3

力法与位移法的比较及综合应用

【摘要】超静定结构内力分析的基本方法有力法和位移法。本文从基本未知 量、基本

体系、典型方程及计算过程等方面对这两种方法进行比较和总结，介绍了 力法与位移法的联合应用及混合应用。根据结构的具体情况，综合应用力法或位 移法，常能方便快捷地进行超静定结构的内力分析。

【关键词】力法 位移法 混合应用 联合应用

引言

结构内力分析分为两大类:一类是静定结构,另一类是超静定结构。超静定结构的内力 分析只凭静力平衡方程是不能完全确定的，还必须同时考虑变形条件。力法和位移法是结 构力学中超静定结构内力分析的基本方法,这两种方法之间既有区别又有联系。为了加深 对力法和位移法的理解并能灵活运用,本文先对力法和位移法进行比较,再用实例介绍两种 方法的联合应用与混合应用。

1力法与位移法的比较

1.1基本未知量

力法:是以多余未知力为基本未知量,基本未知量的数目等于结构的超静定次数。

位移法:是以独立的结点位移(结点角位移与独立结点线位移)为基本未知量,基本未知 量的数目与超静定的次数无关。

例如：图1中〔a〕图为三次超静定结构： (b)图使用力法,基本未知量为3个