门函数傅里叶变换公式

第2章 信号分析

本章提要

信号分类 周期信号分析--傅里叶级数 非周期信号分析--傅里叶变换 脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段

§2－1 信号的分类

两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。

进一步分为：周期信号，非周期信号。

x(

质量－弹簧系统的力学模型

非确定性信号（随机信号）：给定条件下

取值是不确定的 按取值情况分类：模拟信号，离散信号

数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。 信号描述方法 时域描述 如简谐信号

频域描述

以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。

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§2－2 周期信号与离散频谱

一、 周期信号傅里叶级数的三角函数形式 周期信号时域表达式

T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无终”

#

傅里叶级数的三角函数展开式

（n=1, 2, 3，…）

傅立叶系数：

式中 Ｔ--周期； 0--基频, 0=2 /T。

实验报告

课程名称： 信号分析与处理 指导老师： 成绩：__________________

实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 基础实验 同组学生姓名：

第二次实验 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换

一、实验目的

1.1掌握离散傅里叶变换（DFT）的原理和实现；

1.2掌握快速傅里叶变换（FFT）的原理和实现，掌握用FFT对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 1.3 会用Matlab软件进行以上练习。

二、实验原理

2.1关于DFT的相关知识

序列x(n)的离散事件傅里叶变换（DTFT）表示为

X(e)?装 j?n????x(n)e??j?n，

如果x(n)为因果有限长序列，n=0,1,...,N-1，则x(n)的DTFT表示为

订 j?X(e)??x(n)e?j?n，

n?0N?1线 x(n)的离散傅里叶变换（DFT）表达式为

X(k)??x(n)en?0N?1?j2?nkN(k?0,1,...,N?1)，

序列的N点DFT是序列DTFT在频率区间[0,2π]上的N点灯间隔采样，采样间隔为2π/N。通过DFT，可以完成由一组有限个信号采样值

实验报告

课程名称： 信号分析与处理 指导老师： 成绩：__________________

实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 基础实验 同组学生姓名：

第二次实验 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换

一、实验目的

1.1掌握离散傅里叶变换（DFT）的原理和实现；

1.2掌握快速傅里叶变换（FFT）的原理和实现，掌握用FFT对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 1.3 会用Matlab软件进行以上练习。

二、实验原理

2.1关于DFT的相关知识

序列x(n)的离散事件傅里叶变换（DTFT）表示为

X(e)?装 j?n????x(n)e??j?n，

如果x(n)为因果有限长序列，n=0,1,...,N-1，则x(n)的DTFT表示为

订 j?X(e)??x(n)e?j?n，

n?0N?1线 x(n)的离散傅里叶变换（DFT）表达式为

X(k)??x(n)en?0N?1?j2?nkN(k?0,1,...,N?1)，

序列的N点DFT是序列DTFT在频率区间[0,2π]上的N点灯间隔采样，采样间隔为2π/N。通过DFT，可以完成由一组有限个信号采样值

傅里叶变换：

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。

对图像而言，图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分则为低频分量；也就是说，傅里叶变换提供另外一个角度来观察图像，可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。

图像进行二维傅里叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。 傅里叶变换的作用：

（1） 图像增强与图像去噪

绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频—噪音；边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强图像的边缘； （2）图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 （3）图像特征提取

形状特征：傅里叶描述子

纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征

其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换使特征具有平移，伸缩、旋转不变形 （4）图像压缩

可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅里叶变换的实变换。

频域中的重要概念：

图像高频分量：图像突变部分；在某些情况下指图像边缘信息，某些情况下指噪音更多是两者的混合；

低频分量：图像变换平缓部分，也就是

冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

§3.6冲激函数和阶跃函数的傅 里叶变换 冲激函数 冲激函数 冲激偶 冲激偶 单位阶跃函数 单位阶跃函数青岛大学电子学系 2006.3

冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

第

一.冲激函数f ) δ((tt)

2 页

F(ω) = ∫ δ (t)e jω t dt = 1∞ ∞

F(ω)

1

(1)Ot

作 矩 脉 ， 时 ω δ (t)看 τ × 的 形 冲 τ →0 , B →∞ τ 冲激函数积分是有限值 可以用公式求。 有限值， 冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不 不 满足绝对可积条件，不能用定义求。 绝对可积条件 满足绝对可积条件，不能用定义求。 f (t) 1E τ 2OEτ

O

ω

F(ω)

π 2 τ

τ 2

t

O 2 τ π

4 τ π

ω

X

冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

第

比较δ (t) 1δ(t)) f (t1F(ω)

3 页

(1)Ot

O1 f (t) 2 π

ω

1 δ(ω) 2 π

δ( ) F(ω)

(1)O

ω

O

t

冲激函数的傅里叶逆变换

1 +∞ 1 jωt F [δ(ω)] = ∫ ∞δ(ω)e dω = 2π 2π 1

X

冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换

第 4 页

f (t)

E τ 2O

傅氏变

研究生课程论文（作业）封面

2014 至 2015 学年度 第 1 学期）

课 程 名 称：__________________

课 程 编 号：__________________

学 生 姓 名：__________________

学 号：__________________

年 级：__________________

提 交 日 期： 年 月 日

成 绩：__________________

教 师 签 字：__________________

开课---结课：第 周---第 周

评 阅 日 期： 年 月 日

东北农业大学研究生部制

1

（ 积分变换在工程上的应用

摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的积分变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用，并在分离变数法中对齐次方程及非齐次方程进行了区分。傅里叶变换在不同的领域有不同的形式，诸如现代声学，语音通讯，声纳，地震，核科学，乃至生物医学工程等信号的

表6.3 常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系 1f(t)?2?重要 ????j?t???F(?)ed? F(?)????f(t)e?j?tdt 连续傅里叶变换对 连续时间函数f(t) 傅里叶变换F(?) 相对偶的连续傅里叶变换对 连续时间函数f(t) 傅里叶变换F(?) 1 t tk 11 ?(t)?2j2?t重要 √ √ √ √ √ ?(t) d?(t) dt1 j? 2??(?) √ √ √ j2?kd?(?) d?dk?(t) dtku(t) tu(t) ?1,t?0 sgn(t)???1,t?0?(j?) k1???(?) j?dk2?j?(?) d?ku(?) j?d1?(?)?2 d??2 j? 1 ??j,??0 F(?)??j,??0?? ,t?0 j?0t?(t?t0) cos?0t sin?0t ??1,t?? f(t)????0,t????1?t?,t?? f(t)??0,t????e?j?t0e 2??(???0) 2cos?t0 j2sin?t0 ??1,??W F(?)????0,??W??1??W,??W F(?)??0,??W???[?(???0)??

短时傅里叶变换

Chapter 10 Fourier analysis of signals using discrete Fourier transform10.1 Fourier analysis of signals using the DFT 10.2 DFT analysis of sinusoidal signals 10.3 the time-dependent Fourier transform For finite-length signals, the DFT provides frequencydomain samples of the Discrete-time Fourier transform. In many cases, the signals do not inherently have finite length. The inconsistency between the finite-length requirement of the DFT and the reality of indefinitely long signals can be accommodated exactly or approx

实验七快速傅里叶变换实验

2011010541 机14林志杭

一、实验目的

1 ?加深对几个特殊概念的理解：“采样”……“混叠”；“窗函数”(截断)……“泄漏”;

“非整周期截取”……“栅栏”。

2 ?加深理解如何才能避免“混叠”，减少“泄漏”，防止“栅栏”的方法和措施以及估计这些因素对频谱的影响。

3 ?对利用通用微型计算机及相应的FFT软件，实现频谱分析有一个初步的了解。

二、实验原理

为了实现信号的数字化处理，利用计算机进行频谱分析一一计算信号的频谱。由于

计算机只能进行有限的离散计算(即DFT),因此就要对连续的模拟信号进行采样和截断。

而这两个处理过程可能引起信号频谱的畸变，从而使DFT的计算结果与信号的实际

频谱有误差。有时由于采样和截断的处理不当，使计算出来的频谱完全失真。因此在时域处理信号时要格外小心。

时域采样频率过低，将引起频域的“混叠”。为了避免产生“混叠”，要求时域采样时必须满

足采样定理，即：采样频率fs必须大于信号中最高频率fc的2倍(fs> 2fc)。因此在信号

数字处理中，为避免混叠，依不同的信号选择合适的采样频率将是十分重要的。

频域的“泄漏”是由时域的截断引起的。时域的截断使频域中本来集中的能量向它的邻域扩

散(如由一个3( f)变成一个

§7-2 傅立叶变换的性质

这一节我们将介绍傅氏变换的几个重要性质。为了叙述方便，假定在这些性质中 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理的条件，在证明这些性质时，不再 重述这些条件，望读者注意。 一。线性性质

设F

F c1 f1 t c2 f 2 t cn f n t 或

f k t Fk c k 是常数(k =1,2,……,n),则有 c1F1 c2 F2 cn Fn c1 f1 t c2 f 2 t cn f n t (7-2-1)

F 1 c1F1 c2 F2 cn Fn (7-2-1)’

该性质的证明可利用积分的线性性质直接由傅氏变换的定义式得到.1

二。位移性质 ： (1) 或 (2)

设F

f t F , (

则有：

F f t a e j a F F 1

F e j 0t f t F 0 ( 为实数) 0 F 1

e

j a

F f t a