二阶偏微分方程分类的判断方法

§3 二阶偏微分方程的分类

一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程 考虑二阶偏微分方程

(1) 式中aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为x1,x2,…,xn的已知函数.

[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面] 代数方程

称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,an是某

些参数，且有特征方程，即

.如果点x =(x1 ,x2 ,…,xn )满足

则过x 的平面的法线方向

l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面. [n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1 ,x2 ,…,xn )，根据二次型

(ai为参量)

的特征根的符号，可将方程分为四类：

(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.

(ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.

(iii) 特征根都不为零，有点P为超双曲型

§3 二阶偏微分方程的分类

一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程 考虑二阶偏微分方程

(1) 式中aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为x1,x2,…,xn的已知函数.

[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面] 代数方程

称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,an是某

些参数，且有特征方程，即

.如果点x =(x1 ,x2 ,…,xn )满足

则过x 的平面的法线方向

l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面. [n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1 ,x2 ,…,xn )，根据二次型

(ai为参量)

的特征根的符号，可将方程分为四类：

(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.

(ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.

(iii) 特征根都不为零，有点P为超双曲型

二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码)用的是五点差分法。

《微分方程数值解法》期中作业实验报告

二阶椭圆偏微分方程第一边值问题

姓名： 学号： 班级：

2013年11月19

日

二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码)用的是五点差分法。

二阶椭圆偏微分方程第一边值问题

摘要

对于解二阶椭圆偏微分方程第一边值问题，课本上已经给出了相应的差分方程。而留给我的难题就是把差分方程组表示成系数矩阵的形式，以及对系数进行赋值。解决完这个问题之后，我在利用matlab解线性方程组时，又出现“out of memory”的问题。因为99*99阶的矩阵太大，超出了分配给matlab的使用内存。退而求其次，当n=10，h=1/10或n=70，h=1/70时，我都得出了很好的计算结果。然而在解线性方程组时，无论是LU分解法或高斯消去法，还是gauseidel迭代法，都能达到很高的精度。

关键字：二阶椭圆偏微分方程差分方程out of memory LU分解高斯消去法gauseidel迭代法

一、题目重述

解微分方程：

(eyux(x,y))x (exuy(x,y))y (x y)ux(x,y) (x y)uy(x,y) u(x,y) ye xe e y x 1 e

数学与计算科学学院

实 验 报 告

实验项目名称 用Eular方法求解一阶常微分方程数值解 所属课程名称 偏微分方程数值解 实 验 类 型 验证性 实 验 日 期 2015-3-26

班 级 信计12-2班 学 号 201253100215 姓 名 张洪清 成 绩

一、实验概述： 【实验目的】 学会使用显性Eular方法和隐形Eular方法 应用显性Eular方法和隐形Eular方法求解一般一阶常微分方程的近似数值解。 学会用MATLAB解决数学问题。 【实验原理】 1、Eular方法： 一阶线性微分方程初值问题 ?y'?f(x,y),a?x?b??y(

实 验 报 告

课程名称：偏微分方程数值解院 系：专业班级：学 号：学生姓名：指导教师：开课时间： 数学科学系 信计1101 1131120140 张军 沈 林 2013至2014学年第二学期

一、学生撰写要求

按照实验课程培养方案的要求，每门实验课程中的每一个实验项目完成后，每位参加实验的学生均须在实验教师规定的时间内独立完成一份实验报告，不得抄袭，不得缺交。

学生撰写实验报告时应严格按照本实验报告规定的内容和要求填写。字迹工整，文字简练，数据齐全，图表规范，计算正确，分析充分、具体、定量。

二、教师评阅与装订要求

1.实验报告批改要深入细致，批改过程中要发现和纠正学生实验报告中的问题，给出评语和实验报告成绩，签名并注明批改日期。实验报告批改完成后，应采用适当的形式将学生实验报告中存在的问题及时反馈给学生。

2.实验报告成绩用百分制评定，并给出成绩评定的依据或评分标准（附于实验报告成绩登记表后）。对迟交实验报告的学生要酌情扣分，对缺交和抄袭实验报告的学生应及时批评教育，并对该次实验报告的分数以零

第二节

一阶线性偏微分方程的解法

一、线性偏微分方程 1、线性算子 算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上便产 生了另外一个函数。 2 2 3 2 例如，L 3 及M 2 x 2 2 x x y y x y都是偏微分算子。 u 2u 3u 将其作用于函数u便有：L[u ] 3 x x y y2 2u u 2 M [u ] x 2015/10/13 x 2 y 2

u 2u 3u 于是偏微分方程 3 f ( x, y)便可简单 x x y y记为L[u ] f 或Lu f .

算子L若满足:L[au bv] aL[u] bL[v] 其中，a, b为常数；u, v为函数，则称L为线性算子。

2015/10/13

2.线性微分方程解的叠加原理

定理1:若u1 , u2 ,..., un是某个线性齐次微分方程L[u ]=0 的解，则 ci u i 也为此方程的解。(ci 为任意常数)i 1 n

定理2:若ui 是L[u ] fi (i 1, 2,...)的解，且 ciui收敛，i 1

则u ci ui 是L[

偏微分方程数值解试题

1、考虑一维的抛物型方程：

?u?2u??2, x?[0,?], 0?t?T?t?x u(x,t)x?0?u0, u(x,t)x???u?u(x,0)??(x)（1）导出时间离散是一阶向前Euler格式，空间离散是二阶精度的差分格式；

（2）讨论（1）中导出的格式的稳定性； （3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式，

?uun?1?un?1 ??tt?tn2?t空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？

2、考虑Poission方程

??2u(x,y)?1, (x,y)???u ?0, in AB and AD?nu(x,y)?0, in BC and CD其中Ω是图1中的梯形。

图1 梯形

使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2，

图2 从物理空间到计算区域的几何变换

?，然后在??上使用差分为了求解本问题，采用如下方法：将Ω的一半投影到正方形区域??上用N?N个网格点，空间步长为方法来离散该方程。在计算区域???????1/N(?1) 。

?（带有坐标?,?）（1）引入一个映射T将原区域

为了促进学术交流，加强学术合作，提高国内研究生和年轻教师的业务水平和科研能力，给研究生和青年教师提供学习、交流和了解国内外关于非线性偏微分方程最新研究动态的机会，由香港中文大学数学研究所辛周平教授倡导和组织，国内华南师范大学、

华中师范大学、兰州大学、武汉大学、南京师范大学、首都师范大学、四川师范大学、西北大学、湘潭大学、中山大学等学

校联合主办的“非线性偏微分方程暑假讲习班”已历时八届了。每次参加讲习班学习的研究生和青年教师达100多人，同时也有很多知名专家、学者应邀来讲习班作精彩的学术报告，产生了良好的社会效应和深远的学术影响。第九届“非线性偏微分方程暑假讲习班”将于2011年7月13日至7月28日在中山大学举办。现将有关事宜通知如下：

一、 学术委员会

主 席

辛周平 香港中文大学数学研究所 委 员（排名以汉语拼音为序）

曹道民（中科院数学与系统科学研究院） 陈 化（武汉大学） 邓引斌（华中师范大学）

丁夏畦（中科院数学与系统科学研究院） 范先令（兰州大学）

郭柏灵（北京应用物理与计算数学研究所） 洪家兴（复旦大学） 黄云清（湘潭大学）

江 松（北京应用物理与计算数学研究所） 倪维明（University of Minn

偏微分方程数值习题解答

李微分方程数值解习题解答 1-1 如果 (0) 0，则称x0是J(x)的 驻点（或稳定点）.矩阵A对称（不必正定），求证x0是J(x)的驻点的充要条件是：x0是方程组 Ax b的解

证明:由 ( )的定义与内积的性线性性质,得 ( )

'

J(x0 x)

12

(A(x0 x),x0 x) (b,x0 x)

J(x0) (Ax0 b,x)

'

2

2

(Ax,x)

( ) (Ax0 b,x) (Ax,x)

必要性:由 (0) 0,得,对于任何x R,有 (Ax b,x) 0,

由线性代数结论知,

Ax b 0,Ax b

'

n

00

充分性: 由Ax

'

b,对于任何x R

n

,

(0) (Ax0 b,x) (Ax,x)| 0 0

即x是J(x)的驻点. §1-2

补充: 证明f(x)的不同的广义导数几乎处处相等.

证明:设f L(I),g,g L(I)为f(x)的广义导

2

2

1

2

偏微分方程数值习题解答

数,由广义导数的定义可知,对于任意 (x) C(I),有

0

b

ab

g1(x) (x)dx f(x) (x)dx

b

'

a

a

g2(x) (x)dx f(x) (x)dx

a

b

'

两式相减,得到

ba

(g1 g2) (x) 0

1

2

很详细,很实用,易操作

第２６卷第５期２０１０年ｌＯ月

上海电

Ｊｏｕｒｎａｌ

ｏｆ

力

学院学报

ｏｆ

Ｅｌｅｃｔｒｉｃ

Ｐｏｗｅｒ

Ｖｏｉ．２６，Ｎｏ．５Ｏｃｔ．２０１０

ＳｈａｎｇｈａｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

文章编号：１００６—４７２９（２０１０）０５—０４８１—０４

基于偏微分方程的图像修复技术

蒋伟１，束俊峰２，杨俊杰１

（１．上海电力学院计算机与信息工程学院，上海２０００９０；２．安徽省芜湖市供电公司５０万伏变电工区，安徽芜湖２４１０００）

摘要：介绍了图像修复技术的概念和原理，并在修复方法的理论与技术基础上，深入研究了偏微分方程修

复模型中几种具有代表性的ＢＳＣＢ模型、曲率驱动扩散（ＣＤＤ）模型、７Ⅳ模型等图像修复模型．最后对上述模

型进行了分析比较．

关键词：图像修复；偏微分方程；视觉冗余中图分类号：ＴＮ９１５

文献标识码：Ａ

ＤｉｇｉｔａｌＩｍａｇｅＩｎｐａｉｎｔｉｎｇＴｅｃｈｎｉｑｕｅＢａｓｅｄ

ＪＩＡＮＧＷｅｉｌ，ＳＨＵＪｕｎ．ｆｅｎ９２，ＹＡＮＧＪｕｎ－ｊｉｅｌ

（１．＆ｈｏｄｏｙ

ＣｏｍｐｕｔｅｒａｎｄＥｌｅｃｔｒｉｃ

２．５００ｋＶ

ｏｎ

ＰＤＥ

Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ

Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｈａｎｇｈａｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ

２０００９０，Ｃｈｉｎａ；

ｏｙ

Ｐｏｗｅｒ，