实数的概念和性质和定义

篇一：实数的有关概念和性质以及实数的运算

实数的概念

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。而 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。

实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

实数的运算法则

1、加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 可使用①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．即：

②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．即：

2、减法法则：

减去一个数等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)

3、乘法法则：

（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负

分式的概念和性质（提高）

【学习目标】

1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.

2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】

【高清课堂403986 分式的概念和性质 知识要点】 要点一、分式的概念

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子

A叫做分式.其中AB叫做分子，B叫做分母.

要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，

分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.

（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以

分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.

（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个

常数，不是字母，如

a?是整式而不能当作分式.

（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式

x2y不能先化简，如是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，

x不能看化简的结果.

要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.

§2.3幂函数 幂函数

学习目标1、通过实例，了解幂函数的概念. 2、通过具体实例研究幂函数的图 象和性质. 3、掌握幂函数的简单应用.

问题引入

我们先看几个具体问题:

(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需 要支付p=w元,这里p是w的函数; y = x 2 (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 S = a , 2 这里S是a的函数; y=x 3 (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 V = a , 3 y=x 这里V是a函数; (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的 1 1 边长 a= 2 , 这里a是 S的函数; y = x 2 s (5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度 1 1 y=x v = km/ s, 这里v是t的函数.

t

若将它们的自变量全部用x来表示 函数值用 若将它们的自变量全部用 来表示,函数值用 来表 来表示 函数值用y来表 α 则它们的函数关系式将是: 示,则它们的函数关系式将是 则它们的函数关系式将是 y=

x

定义α是 数 常 .一 地函 y = x 叫 幂 数其 x 自 量 般 , 数 做 函 , 中是 变 ,α

几点说明: 几点说明1 = x

圆的有关概念和性质2

圆的有关概念和性质2

1、理解圆及有关概念2、能运用圆周角定理及其推 论进行计算和证明。

圆的有关概念和性质2

挑战“记忆”

圆劣弧 半圆 优弧

弦C

直径

弦心距

AE D H B

圆周角 圆心角

O

圆周角定理及其推论

圆的有关概念和性质2

圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对 圆周角相等，都等于这条弧所对的 圆心角的一半。 推论 半圆或直径所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的有关概念和性质2

基础热身1 1、下列说法中错误的有____ 个 ①直径是最长的弦 ②半圆是弧 ③长度相等的弧是等弧 ④半径相等的圆是等圆 2. 如图，⊙O的直径AB=4 ,点C在 ⊙O上，若 ∠ABC =30°则AC的长是 _______ 。 2第1题

3. 如图,已知∠ BOC=78°,则∠ BAC是 ( C )度。 A.156 B.78 C.39 D.12

第2题

圆的有关概念和性质2

4、在半径为5cm的圆中，弦AB的 长等于5cm,那么弦AB所对的圆周 角为______________ 。 30°或150°5、已知圆O的直径AB为2cm,过点A 有两条弦AC= 2 cm,AD= 3 cm, 那么∠

52向量空间的定义和基本性质

5.2向量空间的定义和基本性质

授课题目：5.2线性空间的定义和基本性质

教学目标：理解并掌握线性空间的定义及基本性质

授课时数：3学时

教学重点：线性空间的定义及基本性质

教学难点：性质及有关结论的证明

教学过程：

一、线性空间的定义

1. 引例―――定义产生的背景

例子． 设 , , Fn,a,b F则向量的加法和数与向量的乘法满足下述运算律.

（1） （2）( ) ( )

对 ，有 使 （ ） 0 （3） 零向量 有 （4）

（5）a( ) a a （6）(a b) a b

（7）(ab) a(b ) （8）1

这里 , , Fn,a,b F

2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质

Def: 设V 是一个非空集合，其中的元素称为向量。记作 , , , ；F是一个数域a,b,c F,如果在集合V中定义了一个叫做加法的代数运算，且定义了F V到V的一个叫做纯量乘法的代数运算.（F中元素a与V中 的乘积记作a ,a V）。如

一、教材的地位和作用

本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。

此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。

二、教学目标

知识目标：①掌握指数函数的概念；

②掌握指数函数的图象和性质和简单应用；使学生获得研究函数的规律和方法。

能力目标：①培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等思维能力；

②体会数形结合思想、分类讨论思想，增强学生识图用图的能力；

情感目标：①让学生自主探究，体验从特殊→一般→特殊的认知过程，了解指数函数的实

际背景；

②通过学生亲手实践，互动交流，激发学生的学习兴趣，努力培养学生的创新意识，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力。

三、教学重难点

教学重点：进一步研究指数函数的图象和性质。

指数函数的

高一数学讲义

第二讲 函数的概念和性质（1）

-----函数及其表示、解析式

【基础回顾】 一、基础知识： 知识点一：函数的概念：

1．函数的概念：一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f,对于集合A中的 ,在集合B中都有 和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为 ,x A.

2．其中所有的 组成的集合A叫做函数y=f(x)定义域；对于A中的每一个x值，都有一个输出值y与之对应，将所有 组成的集合称为函数的值域．定义一个函数f:A B，函数的值域C与B的关系是 ． 3．函数的三要素： ．

4．函数y=f(x)的图象：将函数f(x)自变量的 作为横坐标，相应的

作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点 ，当自变量 时，所有这些点组成的图形就是 ．即直角坐标系中点集 为函数y=

1

函数的概念和性质

2019年

1.（2019江苏4）函数

2

76y x x =+-的定义域是 .

2.（2019全国Ⅱ理14）已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.

3.（2019全国Ⅲ理11）设

()f x 是定义域为R 的偶函数，且在

()

0,+∞单调递减，则

A ．

f （lo

g 3

14

）＞f （3

22

-）＞

f

（2

32

-） B ．

f

（log 3

14

）＞f （2

32

-）＞

f

（3

22

-）

C ．

f

（3

22

-）＞f

（2

32

-）＞

f

（log 3

14

） D ．f （2

32

-）＞

f

（3

22

-）＞f

（log 3

14

） 4.（2019北京理13）设函数

()e x x f x e a -=+ (a 为常数)，若()f x 为奇函数,则a =______； 若()f x 是R 上的增函

数，则a 的取值范围是 ________. 5.（2019全国Ⅰ理11）关于函数

()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：

①f (x )是偶函数

②f (x )在区间（

2

π,π）单调递增

③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2

其中所有正确结论的编号是 A ．①②④

B ．②④

C ．①④

D ．①③

6.（2019全国Ⅰ理5）函数f (x )=

龙文学校个性化辅导教案提纲 教师： 杨凯 学生： 杨昶 时间： 年_ 月 日 段

不等式的概念和性质 基础过关 1、实数的大小比较法则： 设a，b∈R，则a>b? ；a＝b? ；ab ? 定理2（同向传递性） a>b，b>c? 定理3 a>b?a＋c > b＋c推论 a>b，c>d? 定理4 a>b，c>0? a>b，c<0? 推论1 (非负数同向相乘法) a>b≥0，c>d≥0? 推论2 a>b＞0 ?an?bn (n?N且n>1)定理5 a>b＞0?na?nb (n?N且n>1)典型例题 例1. 设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比较f(x)与g(x)的大小.解：(1)(x2－y2)(x＋y)＜(x2＋y2)(x－y)(2)aabb＞abba变式训练1：不等式log2x+3x2＜1的解集是____________.答案：{x|－3＜x＜3且x≠－1,x≠0}。22解析：：??2x?3?1?0?x?2x?3或??0?2x?3?1?3?,?x??,?1?????1,0???0,3?

一、教材的地位和作用

本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。

此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。

二、教学目标

知识目标：①掌握指数函数的概念；

②掌握指数函数的图象和性质和简单应用；使学生获得研究函数的规律和方法。

能力目标：①培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等思维能力；

②体会数形结合思想、分类讨论思想，增强学生识图用图的能力；

情感目标：①让学生自主探究，体验从特殊→一般→特殊的认知过程，了解指数函数的实

际背景；

②通过学生亲手实践，互动交流，激发学生的学习兴趣，努力培养学生的创新意识，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力。

三、教学重难点

教学重点：进一步研究指数函数的图象和性质。

指数函数的