线性规划单纯形法原理

第1章 线性规划与单纯形法

1、用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解、无界解还是无可行解。

(a)minz?2x1?3x?4x1?6x2?6 ??4x1?2x2?4?x，x?02?1(c)maxz?x1?x2?6x1?10x2?120 ?

5?x?10?1?3?x2?8?2(b)maxz?3x1?2x?2x1?x2?2 ?? 3x1?4x2?12?x,x?012?(d)maxz?5x1?6x?2x1?x2?2???2x1?3x2?2?x,x?012?2

2

2、用单纯形法求解下列线性规划问题。

(a)maxz?10x?3x1??5x1?x,?1?4x?2xx2?221?5x(b)maxz?2x1?x22??0?9? ?6x1?8??x1??x,?15x2x22????1524 50x2x23、用大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪一类解。 (a)maxz?2x1?x2?2x?x1? ??2x1???x1,??x22x?x3?x323?x3x3x2,?x1?2

运筹学 线性规划 单纯形法

第一章 线性规划问题及单纯形法线性规划问题及其数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 单纯形法的进一步讨论

运筹学 线性规划 单纯形法

第五节

单纯形法的进一步讨论

本节重点: 本节重点:● 大 M法 ●两阶段法 ●解的存在情况判别

运筹学 线性规划 单纯形法

一, 人工变量的引入及其解法当约束条件为" 1. 当约束条件为"≥"型,引入剩余变量和人工变 量 由于所添加的剩余变量的技术系数为 由于所添加的剩余变量的技术系数为1,不能作 为初始可行基变量,为此引入一个人为的变量(注意, 为初始可行基变量,为此引入一个人为的变量(注意, 此时约束条件已为" ),以便取得初始基变量 以便取得初始基变量, 此时约束条件已为"="型),以便取得初始基变量, 故称为人工变量. 故称为人工变量. 人工变量 由于人工变量在原问题的解中是不能存在的, 由于人工变量在原问题的解中是不能存在的,应 尽快被迭代出去, 尽快被迭代出去,因此人工变量在目标函数中对应的 价值系数应具有惩罚性,称为罚系数 罚系数. 价值系数应具有惩罚性,称为罚系数.罚系数的取值 视解法而定 两种方法: 两种方法:大M法和二阶段法.

运筹学 线性规划 单纯形法

第一章 线性规划问题及单纯形法线性规划问题及其数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 单纯形法的进一步讨论

运筹学 线性规划 单纯形法

第五节

单纯形法的进一步讨论

本节重点: 本节重点:● 大 M法 ●两阶段法 ●解的存在情况判别

运筹学 线性规划 单纯形法

一, 人工变量的引入及其解法当约束条件为" 1. 当约束条件为"≥"型,引入剩余变量和人工变 量 由于所添加的剩余变量的技术系数为 由于所添加的剩余变量的技术系数为1,不能作 为初始可行基变量,为此引入一个人为的变量(注意, 为初始可行基变量,为此引入一个人为的变量(注意, 此时约束条件已为" ),以便取得初始基变量 以便取得初始基变量, 此时约束条件已为"="型),以便取得初始基变量, 故称为人工变量. 故称为人工变量. 人工变量 由于人工变量在原问题的解中是不能存在的, 由于人工变量在原问题的解中是不能存在的,应 尽快被迭代出去, 尽快被迭代出去,因此人工变量在目标函数中对应的 价值系数应具有惩罚性,称为罚系数 罚系数. 价值系数应具有惩罚性,称为罚系数.罚系数的取值 视解法而定 两种方法: 两种方法:大M法和二阶段法.

单纯形法原理及步骤

单纯形法，求解线性规划问题的通用方法。单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。

单纯形法是从某一基可行解出发，连续地寻找相邻的基可行解，直到达到最优的迭代过程，其实质是解线性方程组。

概述：

根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）x1，x2，…x n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。 最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生

第一章 线性规划与单纯形法

线性规划的英文名称为“Linear Programming”，简称LP，它是运筹学中发展最早、理论与计算方法最成熟的分支，应用十分广泛。线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好（如产量最多，利润最大，成本最小）。简单地讲，也就是资源的最优利用问题。这类问题是在生产管理和经营活动中经常会遇到的。

早在1823年法国数学家傅里叶（Fourier）就提出了与线性规划有关的问题。 1939年，前苏联的经济学家康托洛维奇（Канторович）发表了重要著作《生产组织与计划中的数学方法》，书中针对生产的组织、分配、上料等一系列问题，提出了线性规划的模型，并给出了“解乘数法”的求解方法。当时这个工作未引起足够的重视。

1947年美国数学家丹捷格（Dantzig）提出了线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法——单纯形法（Simplex method），这标志着线性规划这一运筹学的重要分支的诞生。此后，对线性规划的研究日渐受到关注。

1960年康托洛维奇再次发表了《最佳资源利用的经济计算》一书，受到国内外的重视，为此他获得了诺贝尔经济学奖。此外，阿罗、萨缪尔逊、西蒙、多夫曼和胡尔威茨

单纯形法原理及步骤

单纯形法，求解线性规划问题的通用方法。单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。

单纯形法是从某一基可行解出发，连续地寻找相邻的基可行解，直到达到最优的迭代过程，其实质是解线性方程组。

概述：

根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）x1，x2，…x n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。 最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生

第一章 习题

1. 思考题

（1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？

（2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？ （3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？

（4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？

（5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？

（6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？ （7）如何进行换基迭代运算？

（8）大M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？ （9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。 （10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？ 2. 建立下列问题的线性规划模型：

（1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示：

表1-18 产品 原料单耗 机时单耗 利润 A 2 2.5 10 B 3 3 14 C 5 6 20 资源数量 2000 2600 另外，要求三种产品总产量不低于65件，A的产量不高于B的产量。试制定使总利润最大的模型。

第一章 习题

1. 思考题

（1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？

（2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？ （3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？

（4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？

（5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？

（6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？ （7）如何进行换基迭代运算？

（8）大M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？ （9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。 （10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？ 2. 建立下列问题的线性规划模型：

（1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示：

表1-18 产品 原料单耗 机时单耗 利润 A 2 2.5 10 B 3 3 14 C 5 6 20 资源数量 2000 2600 另外，要求三种产品总产量不低于65件，A的产量不高于B的产量。试制定使总利润最大的模型。

运筹学(第三版)《运筹学》教材编写组 编

第1章 线性规划 与单纯形 法第2节 线性规划问 题的几何意 义钱颂迪 制作

清华大学出版社

第1章 线性规划与单纯形法第2节线性规划问题的几何意义 2.1 基本概念 2.2 几个定理

2.1 基本概念1. 凸集 2. 凸组合 3. 顶点

1.凸集 设K是n维欧氏空间的一点集，若任意两点X(1)∈K, X(2)∈K 的 连 线 上 的 所 有 点 αX(1)+(1-α)X(2)∈K , (0≤α≤1);则称K为凸集。 图1-7

实心圆，实心球体，实心立方体等都是凸集， 圆环不是凸集。从直观上讲，凸集没有凹入 部分，其内部没有空洞。图1-7中的(a)(b)是凸 集，(c)不是凸集。 图1-2中的阴影部分 是凸集。

任何两个凸集的交集是凸集，见图1-7(d)

2. 凸组合 设X(1) ,X(2) ,…,X(k) 是n维欧氏空间E中的k个点。 若存在μ1,μ2,…,μk,且0≤μi≤1, i=1,2,…,k;

i 1

k

i

1

使X=μ1X(1)+μ2X(2)+…+μkX(k) 则称X为X(1),X(2),…,X(k)的凸组合。(当0<μi< 1时，称为严格凸组合).

3. 顶点

目录

第一章 单纯形法的提出??????????????????????? 1.1 单纯形法提出背景??????????????????????? 第二章 单纯形法的一般原理????????????????????? 2.1 单纯形法的基本思路?????????????????????? 2.2 确定初始基本可行解?????????????????????? 2.3 最优性检验?????????????????????????? 2.4 基变换???????????????????????????? 2.5 解的判别定理????????????????????????? 2.6 单纯形法求解线性规划问题的程序框图?????????????? 第三章 表格单纯形法????????????????????????

3.1单纯型表求解????????????????????????? 3.2 用单纯形法求解线性规划问题的举例??????????????? 第四章 人工变量及其处理方法????????????????????

4.1大M法 ???????????????????????????? 4.2两阶段法 ?????????????