圆锥曲线求轨迹问题专题

圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题

一、临阵磨枪

1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。

2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。 3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。

4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。

5.

2010届高考数学复习 强化双基系列课件

《圆锥曲线 -轨迹方程》

基本知识概要：一、求轨迹的一般方法： 1.直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的 等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的 等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简， 证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意 “挖”与“补”。 2.定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如 圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨 迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出 轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形 成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’,y’)的运动而 有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得， 则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方 程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。 4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横 坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参 数),使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中 消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接 消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也 可以引入参数来建立

轨迹方程经典例题

一、轨迹为圆的例题：

1、 必修2课本P124B组2：长为2a的线段的两个端点在x轴和y轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程：

必修2课本P124B组：已知M与两个定点（0,0），A（3,0）的距离之比为

1，求点M的轨迹方程;（一般地：必修2课2本P144B组2：已知点M(x,y)与两个定点M1,M2的距离之比为一个常数m；讨论点M(x,y)的轨迹方程（分m=1，与m?1进行讨论）

2、 必修2课本P122例5：线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆

BMA(x?1)2?y2?1上运动，求AB的中点M的轨迹。

（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23。 （1）求圆心的P的轨迹方程；

（2）若P点到直线y?x的距离为

2，求圆P的方程。 2

如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR

轨迹方程经典例题

一、轨迹为圆的例题：

1、 必修2课本P124B组2：长为2a的线段的两个端点在x轴和y轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程：

必修2课本P124B组：已知M与两个定点（0,0），A（3,0）的距离之比为

1，求点M的轨迹方程;（一般地：必修2课2本P144B组2：已知点M(x,y)与两个定点M1,M2的距离之比为一个常数m；讨论点M(x,y)的轨迹方程（分m=1，与m?1进行讨论）

2、 必修2课本P122例5：线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆

BMA(x?1)2?y2?1上运动，求AB的中点M的轨迹。

（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23。 （1）求圆心的P的轨迹方程；

（2）若P点到直线y?x的距离为

2，求圆P的方程。 2

如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR

中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉

难点23 求圆锥曲线方程

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.

●难点磁场

x2y2?1.(★★★★★)双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|4b2成等比数列，则b2=_________.

2.(★★★★)如图，设圆P满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.

●案例探究

［例1］某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.

(1)建立坐标系并写出该双

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

高二数学 编号：SX-10-（1-1）复习-05

《选修1-1——圆锥曲线》导学案

编写人：王 健 审核人：张 静 编写时间：2011-12-15

班级： 组别： 姓名：

1、平面内与两个定点F）的点的轨迹称为椭圆． 1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2即：|MF1|?|MF2|?2a,(2a?|F1F2|)。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：

焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x2y2??1?a?b?0? a2b2?a?x?a且?b?y?b y2x2??1?a?b?0? a2b2?b?x?b且?a?y?a 范围 ?1??a,0?、?2?a,0? 顶点 ?1?0,?a?、?2?0,a? ?1??b,0?、?2?b,0? ?1?0,?b?、?2?0,b? 轴长 焦点 焦距 对称性 短轴的长?2b 长轴的长?2a F1??c,0?、F2?c,0? F1?0,?c?、F2?0,c? F1F2?2c?c2?a2?b2? 关于x轴、y轴、原点对称 离心率 cb2e??1?2?0?e?1? aa1

3、平面内与两个定

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

关于求圆锥曲线方程的方法 重难点归纳

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤

定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小

C' 典型题例示范讲解 18 m C 例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部

20 m 分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A' 14 m A A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端

点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m 建立坐标系并写出22 m B B' 该双曲线方程

命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力

知识依托 待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积

错解分析 建立恰当的坐标系是解决本题的关键 技巧与方法

圆锥曲线专题训练2018.1

数学高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型： ①求曲线方程（类型确定，甚至给出曲线方程）； ②直线、圆和圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）；

③与圆锥曲线定义有关的问题（涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理等） ④与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）；

⑤与曲线有关的几何证明(圆线相切、四点共圆、对称性或求对称曲线、平行、垂直等)； ⑥探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征； 考点一、求范围（最值）问题

x2y23例1-1.（2014新课标全国卷Ⅰ）已知点A(0，－2)，椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，

ab223

F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

3

(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

x2y2例1-2.已知直线y??x?1与椭圆2?2?1?a?b?0?相交于A、B两点.

ab（1）若椭圆的离心率为2，焦距为2，求线段AB的长； 2?????12?（2）若向量OA与向量OB互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e??，?时，?22?求椭圆长轴长的最大值.