矩阵对角化应用举例

学院2016届

本科毕业论文(设计)

矩阵的对角化及其应用

学生姓名： 学 号：

专 业： 数学与应用数学 指导老师： 答辩时间： 2016.5.22 装订时间： 2016.5.25

A Graduation Thesis (Project)

Submitted to School of Science, Hubei University for Nationalities

In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree

In the Year of 2016

Diagonalization of the Matrix and its Applications

Student Name Student No.:

Specialty: Mathematics and Applied Mathematics Supervisor:

Date of Thesis Defense:2016.5.22 Date of Bookbinding: 201

5.2 矩阵对角化

一、相似矩阵与相似变换的概念定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , 使 P AP B , 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.对A进 行运算 P 1 AP称为对A进行相似变换 , 可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵. 1

A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B

定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.证明A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B 1 1 B E P AP P E P

P 1 A E P

P 1 A E P A E .

A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B

定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.

B E A E .推论 若 n 阶方阵A与对角阵 1 2 n

相似, 则 1 , 2 , , n即是A的n个特征值.

三、利用相似变换将方阵对角化对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P

高等数学 学术论文

年

月

长春教育学院学报

第

卷第

期

矩阵的特征值与特征向量及对角化问题的同步解决法王海东重庆邮电学院计算机学院,

重庆

刃

摘

要本文给出了一种新方法可使求矩阵的特征值特征向量与判定可否对角化的问,,

题同时得到解决中图分类号一引言、

。

关键词特征值特征向量方阵矩阵的对角化初等变换二

文献标识码

文章编号

一

一

一

并且,

是一个数域

是

上的一个

阶矩阵对

,

二

专,

,

…夸岛,,

,

,

…氛,

,

,

…氛,

,

的初等变换是指下列三种变换互换矩阵中两行列的位置以

二

入

,

…入入,,

,

…入

…入

其中入出现的次数为,

。。

中一个非零的数乘矩阵的某一行。

这种传统的方法需要求解一个的特征方程还需要解

次方程即个未知数,

,

列

个,

个方程

把矩阵的某一行列的列,,

倍加到另一行

的齐次线性方程组以求出它们的基础解系求解,

其中

二

的过程是重复而冗长的本人给出了一种只用矩

不难证明矩阵的第一种初等变换是非本质

阵的第三种初等变换就能同时求出矩阵的特征值与特征向量又能判定矩阵是否对角化的方法,

的因为由第二种初等变换与第三种初等变换可以推出第一种初等变换。

。

如果

入二

,

且存在

上

二方法与例子

、

维非零向量使得,

下面的定理与结论引自文献〔〕定理复数域上任意的,

七

入毛

阶矩阵,一

都与一’

则称入为征值

的一个特征值而七称为属于特。

,

高等数学 学术论文

年

月

长春教育学院学报

第

卷第

期

矩阵的特征值与特征向量及对角化问题的同步解决法王海东重庆邮电学院计算机学院,

重庆

刃

摘

要本文给出了一种新方法可使求矩阵的特征值特征向量与判定可否对角化的问,,

题同时得到解决中图分类号一引言、

。

关键词特征值特征向量方阵矩阵的对角化初等变换二

文献标识码

文章编号

一

一

一

并且,

是一个数域

是

上的一个

阶矩阵对

,

二

专,

,

…夸岛,,

,

,

…氛,

,

,

…氛,

,

的初等变换是指下列三种变换互换矩阵中两行列的位置以

二

入

,

…入入,,

,

…入

…入

其中入出现的次数为,

。。

中一个非零的数乘矩阵的某一行。

这种传统的方法需要求解一个的特征方程还需要解

次方程即个未知数,

,

列

个,

个方程

把矩阵的某一行列的列,,

倍加到另一行

的齐次线性方程组以求出它们的基础解系求解,

其中

二

的过程是重复而冗长的本人给出了一种只用矩

不难证明矩阵的第一种初等变换是非本质

阵的第三种初等变换就能同时求出矩阵的特征值与特征向量又能判定矩阵是否对角化的方法,

的因为由第二种初等变换与第三种初等变换可以推出第一种初等变换。

。

如果

入二

,

且存在

上

二方法与例子

、

维非零向量使得,

下面的定理与结论引自文献〔〕定理复数域上任意的,

七

入毛

阶矩阵,一

都与一’

则称入为征值

的一个特征值而七称为属于特。

,

本科生毕业论文设计

有关对角矩阵的证明与应用

作者姓名： 指导教师：

所在学院： 数学与信息科学学院 专业（系）： 数学与应用数学 班级（届）：

目 录

有关对角矩阵的证明与应用

数学与信息科学学院 数学与应用数学专业

摘要：矩阵的对角化是反映矩阵性质的一个重要概念,不论是对数学专业学生学习高等代数还是非数学专业学生学习线性代数而言学习和理解它的含义都是十分必要的。通过本篇论文主要研究矩阵的对角化的有关问题,总结了矩阵对角化的运算,性质,求法,以及在解决高等代数，常微分方程、空间解析几何的问题中所渗透的一些与矩阵对角化相关的知识,使得对矩阵的对角化有了更加深刻的理解与认识,从而能够更加灵活运用相关知识解决相关问题. 关键词:矩阵的对角化 特征值 特征向量

1 有关对角矩阵的证明

1.1 有关对角矩阵的分解

第一种情况：对任意一个n级矩阵A的顺序主子式都不等于零，我们可以利用初等变换将其化为一个上三角矩阵，即A等于一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。而每一个上（下）三角矩阵又等于一个单位上（下）三角矩阵和一个对角阵的乘积。利用以上结论可以证明一些例题。

例1：设n级矩阵A的顺序主子式都不等于零，则A可以唯一的分解成A=LDU

【巩固练习】 一、选择题

1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4米,A?30,则其跨度AB的长为( )

A.12米 B.8米 C.33米 D. 43米

2.某人向正东方向走了x 千米后，他向右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x的值为( )

A.3 B.23或3 C.23 D.3

3.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为( ) A.

A B 0C 40020040032003米 B. 米 C. 米 D.米 33333434 B. C. D. 55434.若在测量中，某渠道斜坡的坡度i?3:4，设?为坡角，那么cos?为( ) A.

5．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算

设计一个算法求三对角矩阵在压缩存储下的转置矩阵。 #include #include #define N 50 typedef struct{ int r[N]; int last; }matr;

void set(matr *M)//压缩三对角矩阵 { int i=0; printf(\ scanf(\ while(M->r[i]!=0) { i++; scanf(\ } M->last=i-1; }

void push(matr *M)//输出转置矩阵 { int i,j,k=0,l,n; n=(M->last+3)/3; for(i=0;i<=M->last;i=i+3) { l=n-2; if(i>=6) { k++; for(j=0;j0) printf(\ printf(\ if(i+2<=M->last) printf(\ for(;l>0;l--) printf(\ n--; printf(\ }

}

void main() { matr *M; M=(matr *)malloc(sizeof(matr)); set(M);

习题一??a12???a?2x25、设W=??11?Ra?a?0??1122aa??2122????2x2（1）证明W是R的子空间（2）试求W的一组基2??3（3）试求A=??在所求基下的坐标5?3??解：（1）证：由于02x2?W故W是非空集合?a 设?11?a21?ｂ11　　　??b21a12???W且a11?a22?0a22?b12???W且b11?b22?0b22?b12??a11?b11??ｂ11????????b21b22??a21?b21?0 ， b11?b22?0a12?b12???Wa22?b22???ka11ka12???????ka21ka22??k(a11?a22)?k?0?0a12?b12??a22?b22?a12?a 则 ?11?a21a22由于 a11?a22?a?b11故 ?11?a21?b21a12?a又 k?11?a21a22 ka11?ka22所以 a11?b11?a22?b22=（a11?a22）?（b11?b22）=0+0=0a12??a则 k?11??Waa22??21综上所述W是R2x2的子空间（2）根据题意设y?0??1?01??00??x?y?z????????x??0?

三对角与块三对角方程组课程设计

一、基于高斯消元法的三对角方程组求解

三对角矩阵是一类重要的特殊矩阵，在数学计算和工程计算中有广泛应用。例如，二阶常微分方程边值问题数值求解，一维热传导方程数值求解，以及三次样条函数计算等都会涉及到三对角方程组求解。由于三对角矩阵的稀疏性质，用直接法求解三对角方程组的算法效率较高，很有实用价值。

考虑n阶三对角矩阵和n维向量

?f1???1?1??f??????122?，f??2? A =???????????????n?1n???fn?求解方程组 Ax = f 的高斯消元法的程序如下

function f=triGauss(gama,alpha,bata,f)

%Solving TriDiag(gama,alpha,bata)systems by Gauss method n=length(alpha); for k=1:n-1

m=gama(k)/alpha(k);

alpha(k+1)=alpha(k+1)-m*bata(k); f(k+1)=f(k+1)-m*f(k); end

f(n)=f(n)/alpha(n); for k=n-1:-1:1

f(k)=(f(k)-bata

正交矩阵与酉矩阵的性质和应用

0 前 言.......................................................................................................................... 1 1 欧式空间和正交矩阵................................................................................................ 2

1.1 欧式空间.......................................................................................................... 2 1.2 正交矩阵的定义和性质.................................................................................. 2

1.2.1 正交矩阵的定义和判定....................................