复变函数论期末考试题及答案

： 系）得分 云南财经大学 2008 至 2009 学年 第二 学期 实变函数 课程期末考试试卷（试）（A） 总一 二 三 四 五 六 七 八 分 复 核 人 院（线 订 装 ： 业 专 过 超 ： 级得 班 不 案 名： 姓答 ： 号学 阅 卷 人 一、填空题（本题共10小题，每小题2分，满分20分. 把正确答案填在题中横线上） 1. 渐张集列?Ak?必收敛，其极限集为 。 2. G?型集是 开集的交集。 3. ?上单调函数的不连续点所成之集的测度等于 。 4. 若A?B,m*?B?A??0，则m*B与m*A的关系是 。 5. 设?Ak?是一可测渐张集列，则测度的下连续性用公式表示是 。 6．设f是E??n上的广义实值函数，则对任意实数a，??E(f?a?1k?1k

《复变函数论》试题库

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则

{Re zn}{Im zn}与

都收敛. ( )

4.若f(z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）. ( )

5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若

z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D). ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D

《复变函数》考试试题（一） dz1、 ?|z?z?1(z?z)n?0|__________.（n为自然数） 022.sinz?cos2z? _________.

3.函数sinz的周期为___________.

f(z)?14.设

z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.

?5.幂级数

?nzn的收敛半径为__________.

n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. lim1?z2?...?zn7.若nlim??zn??z，则n??n?______________.

zRes(ezn,0)?8.

________，其中n为自然数.

9. sinzz的孤立奇点为________ .

limf(10.若z0是f(z)z?zz)?___的极点，则0.

三.计算题（40分）：

f(z)?11. 设

(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.

1dz2. ?|z|?1cosz.

2??13. 设

f(z)??3??7C??zd?，其中

C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).

w?z?14. 求复数

z?1的实部与虚部.

四. 证明题.(20分) 1. 函数

f(z)在区域D内

《复变函数》考试试题（一） dz1、 ?|z?z?1(z?z)n?0|__________.（n为自然数） 022.sinz?cos2z? _________.

3.函数sinz的周期为___________.

f(z)?14.设

z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.

?5.幂级数

?nzn的收敛半径为__________.

n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. lim1?z2?...?zn7.若nlim??zn??z，则n??n?______________.

zRes(ezn,0)?8.

________，其中n为自然数.

9. sinzz的孤立奇点为________ .

limf(10.若z0是f(z)z?zz)?___的极点，则0.

三.计算题（40分）：

f(z)?11. 设

(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.

1dz2. ?|z|?1cosz.

2??13. 设

f(z)??3??7C??zd?，其中

C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).

w?z?14. 求复数

z?1的实部与虚部.

四. 证明题.(20分) 1. 函数

f(z)在区域D内

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《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若 f( z)在z0的某个邻域内可导，则函数f( z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则

{Re zn}{Im zn}与

都收敛. ( )

4.若 f( z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）. ( )

5.若 函数f( z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若 z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若

z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f( z)的可去奇点. ( )

8.若 函数f( z)在是区域D内的单叶函数，

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《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若 f( z)在z0的某个邻域内可导，则函数f( z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则

{Re zn}{Im zn}与

都收敛. ( )

4.若 f( z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）. ( )

5.若 函数f( z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若 z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若

z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f( z)的可去奇点. ( )

8.若 函数f( z)在是区域D内的单叶函数，

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分） 1．当复数z?0时，其模为零，辐角也为零. （ ）

2．若z0是多项式P(z)?anzn?an?1zn?1???a0(an?0)的根，则z0也P(z)是的根.（ ） 3．如果函数f(z)为整函数，且存在实数M，使得Ref(z)?M，则f(z)为一常数.（ ） 4．设函数f1(z)与f2(z)在区域内D解析，且在D内的一小段弧上相等，则对任意的z?D，有f1(z)?f2(z). （ ）

5．若z??是函数f(z)的可去奇点，则Resf(z)?0. （ ）

z??二、填空题.（每题2分）

1．i2?i3?i4?i5?i6? _____________________. 2．设z?x?iy?0，且???argz??,?arg?arctanyx1z?________________.

?2?arctanyx??2，当x?0,y?0时，

3．函数w?将z平面上的曲线(x?1)2?y2?1变成w平面上的曲线______________.

4．方程z4?a4?0(a?0)的不同的根为________________. 5．(1?i)i_____

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分） 1．当复数z?0时，其模为零，辐角也为零. （ ）

2．若z0是多项式P(z)?anzn?an?1zn?1???a0(an?0)的根，则z0也P(z)是的根.（ ） 3．如果函数f(z)为整函数，且存在实数M，使得Ref(z)?M，则f(z)为一常数.（ ） 4．设函数f1(z)与f2(z)在区域内D解析，且在D内的一小段弧上相等，则对任意的z?D，有f1(z)?f2(z). （ ）

5．若z??是函数f(z)的可去奇点，则Resf(z)?0. （ ）

z??二、填空题.（每题2分）

1．i2?i3?i4?i5?i6? _____________________. 2．设z?x?iy?0，且???argz??,?arg?arctanyx1z?________________.

?2?arctanyx??2，当x?0,y?0时，

3．函数w?将z平面上的曲线(x?1)2?y2?1变成w平面上的曲线______________.

4．方程z4?a4?0(a?0)的不同的根为________________. 5．(1?i)i_____

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实变函数论考试试题及答案

证明题：60分

??1、证明 limAn=n??n?1m?nAm。

???证明：设x?limAn，则?N，使一切n?N，x?An，所以x?n???????m?n?1?Am???Am,

n?1m?n则可知limAn???Am。设x???Am，则有n,使x??Am，所以

n??n?1m?nn?1m?n?m?nx?limAn。 因此，limAn=??Am。

n??n??n?1m?n?2、若E?Rn，对???0，存在开集G, 使得E?G且满足 m*(G?E)??， 证明E是可测集。

证明：对任何正整数n， 由条件存在开集Gn?E，使得m*?G?E??令G??Gn,则G是可测集，又因m*?G?E??m*?Gn?E??n?1?1。 n1， n对一切正整数n成立，因而m?(G?E)=0，即M?G?E是一零测度集，故可测。由E?G?(G?E)知E可测。证毕。

)几乎处处成立，n?1,2,3,?, 则3、设在E上fn(x)?f(x)，且fn(x)?fn?1(x有{fn(x)}a.e.收敛于f(x)。

证明 因为fn(x)?f(x)，则存在{fni}?{fn}，使fni(x)在E上a.e.收敛到f(x)。设

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《复变函数》考试试题（一） 判断题（20分）

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 22sinz?cosz? _________. 2.

3.函数sinz的周期为___________.

2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则{Re zn}与{Im zn}都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）.( ) 5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若zlim?zf(z)0存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D). ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C

?Cf(z)dz?0.(