谈谈弹性力学求解与有限单元法求解的关系

弹性力学及有限单元法 复习提纲

采矿10级

1. 材料力学和弹性力学在所研究的内容上有哪些共同点和哪些不同点？求解问题的方法

上有何主要区别？ 2. 什么是弹性，什么是塑性？弹性力学有哪几条基本假设？

3. 弹性力学的平衡微分方程是根据什么条件推导出来的？其物理意义是什么？

4. 为什么要引入弹性力学的几何方程？几何方程是如何推导出来的？其物理意义是什

么？ 5. 什么是物理方程？其表达式如何？物理意义是什么？

6. 什么是平面应力？平面应变？平面应力和平面应变的差别在哪些地方？所需要求解的

问题，差别又在何处？它们各自相应的物理方程有什么不同？ 7. 弹性力学问题的基本方程有哪几组？

8. 什么是应力边界条件？位移边界条件？混合边界条件？

9. 什么是按照应力求解和按照位移求解？求解方法和过程有哪些区别？ 10. 什么是相容方程？相容方程的物理意义是什么？

11. 什么是应力函数？双谐方程？如何推导出双谐方程？试写出双谐方程的数学表达式。 12. 应力函数与应力分量间有什么样的关系？如何求解双谐方程？ 13. 什么是圣文南原理？在弹性力学中有何意义？

14. 什么是逆解法？半逆解法？使用逆解法和半逆解法求解时，应如何入手，按照哪几个步

骤来获得解答

弹性力学基础及有限单元法 课件旨在帮助学者通过本文件更快地掌握弹性力学基础及有限元法基础知识 仅供参考

有限元法与实践-1 Finite Element Method (FEM) & the Practice

Mechanics-Elasticity - Finite Element Method (FEM)Elasticity-FEM & ANSYS-1

绪论：力学-弹性力学-有限元法

内蒙古科技大学 机械工程学院 刘学杰 2015-03

弹性力学基础及有限单元法 课件旨在帮助学者通过本文件更快地掌握弹性力学基础及有限元法基础知识 仅供参考

Introduction: Outline 课程概要

1. Introduction of this course

2. The mechanics and the elasticity 3. The basic problems and the methods of the elasticity

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The study in University

Taking courses, and doin

第二章 平面问题的有限元法

实际工程问题，在进行适当简化后，可看成平面问题。平面问题分平面应力问题和平面应变问题。 平面问题比较简单，容易理解。因此，本章以平面问题为研究对象，阐明有限元法的基本概念、理论和求解的一般步骤。

第一节 两种平面问题

任何一个实际结构或构件都是空间物体，外力也都是空间力系。因此，严格地说，任何实际问题都是空间问题，应该考虑所有的应力、应变和位移分量。但是，如果所研究的结构或构件具有特殊的几何形状，承受某种特殊的外力和几何约束，就可以对其进行简化，如简化为平面问题。在平面问题中，忽略一些应力或应变分量，其余的则只是坐标x、y的函数。这样，可以使分析计算工作量大为减少。

一、平面应力问题

属于平面应力问题的弹性体，其几何形状是等厚度薄板，受到平行于板面且沿板厚t均匀分布的外力作用，前、后板面为自由表面。研究这种薄板时，坐标面xoy总是取在平分板厚的中面内，z轴垂直于板面，如图2-1a所示。

Y t O Z （a）

X

?y ?yx ?xy ?x

(b)

图2-1

由于板面是自由表面，故在z=±t

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有限元法与实践-1 Finite Element Method (FEM) & the Practice

Mechanics-Elasticity - Finite Element Method (FEM)Elasticity-FEM & ANSYS-1

绪论：力学-弹性力学-有限元法

内蒙古科技大学 机械工程学院 刘学杰 2015-03

弹性力学基础及有限单元法 课件旨在帮助学者通过本文件更快地掌握弹性力学基础及有限元法基础知识 仅供参考

Introduction: Outline 课程概要

1. Introduction of this course

2. The mechanics and the elasticity 3. The basic problems and the methods of the elasticity

弹性力学基础及有限单元法 课件旨在帮助学者通过本文件更快地掌握弹性力学基础及有限元法基础知识 仅供参考

The study in University

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第五章弹性力学的求解方法和一般性原理

内容介绍 知识点

弹性力学基本方程 边界条件

位移表示的平衡微分方程 应力解法

体力为常量时的变形协调方程 物理量的性质 逆解法和半逆解法 解的迭加原理

学习思路:

通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。

弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。

由于基本方程与15个未知量的内在联系，例如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量；反之，如果已知应力分量，也可通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。基于上述的理由，为简化求解的难度，可以选取部分未知量作为基本未知量求解。

根据基本未知量，弹性力学问题可以分为应力解法、位移解法和混合解法。 上述三种求解方法对应于偏微分方程的三种边值问题。

混合解法 应变能定理 解的唯一性原理 圣维南原理

弹性力学基本求解方法 位移解法 位

第五章弹性力学的求解方法和一般性原理

内容介绍 知识点

弹性力学基本方程 边界条件

位移表示的平衡微分方程 应力解法

体力为常量时的变形协调方程 物理量的性质 逆解法和半逆解法 解的迭加原理

学习思路:

通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。

弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。

由于基本方程与15个未知量的内在联系，例如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变分量，然后通过物理方程可以得到应力分量；反之，如果已知应力分量，也可通过物理方程得到应变分量，再由几何方程的积分求出位移分量，不过这时的应变分量必须满足一组补充方程，即变形协调方程。基于上述的理由，为简化求解的难度，可以选取部分未知量作为基本未知量求解。

根据基本未知量，弹性力学问题可以分为应力解法、位移解法和混合解法。 上述三种求解方法对应于偏微分方程的三种边值问题。

混合解法 应变能定理 解的唯一性原理 圣维南原理

弹性力学基本求解方法 位移解法 位

函数

用赋值法求解函数关系

依据函数y=f(x)的限定条件和关系式求函数关系y=f(x)．

一、赋值代换

例1 已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x)不恒为零，对任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)=2[f(x1)＋f(x2)]．求证：f(x)是偶函数

分析：若有f(－x)=f(x)(x∈R)，则f(x)为偶函数． 观察条件f(x1＋x2)＋f(x1－x2)=2[f(x1)＋f(x2)]

令x1=0，x2=x则f(x)＋f(－x)=2[f(0)＋f(x)]*

令x2=0，则f(x1)＋f(x1)=2[f(x1)＋f(0)]

∴f(0)=0把f(0)=0代入(＊)有f(x)=f(－x)问题得证． 赋值代换应注意：(1)所赋自变量x之特殊值必须在函数的定义域内；(2)应观察函数式的特点，确定赋什么值．

例2 设f(x)是(0，1)上的实函数，如果满足：1)对于任意x∈(0，1)，f(x)＞0；

分析：∵x，y∈(0，1)，(1－x)，(1－y)∈(0，1)由题设知f(y)＞0，f(1－y)＞0，故有f(x)f(1－y)＋f(y)f(1－

x)≤2f(y)f(1－y)，观察此不等式，如令x=1－y ∈(0，1)，则有： f2(x)－

弹性力学复习指导

一、问答题

1. 试叙述弹性力学的基本假设及这些基本假定在建立弹性力学基本方程时的作用。

（1）连续性，所有的物理量均可以用连续函数，从而可以应用数学分析的工具（2）完全弹性，物体中的应力与应变之间的物理关系可以用胡克定律来表示（3）均匀性，物体的弹性常数等不随位置坐标而变化（4）各向同性，弹性常数等也不随方向而变化（5）小变形假定，简化几何方程，简化平衡微分方程

2. 叙述平面应力问题在结构形状、所受外力和约束有何特点。

答：平面应力问题一般对于等厚度薄板（z方向尺寸远小于板面尺寸的等厚度薄板）。外力平行于板面作用在板边，且沿板厚不变，版面上无面力，z方向的分力为0。约束只作用于板边，其方向平行于中面（x0y面），且沿厚度（z向）不变，只有作用于板边的x，y向的边界约束存在。

3. 叙述平面应变问题在结构形状、所受外力和约束有何特点。

答：平面应变问题一般对于常截面长柱体（z方向尺寸远大于截面尺寸的等截面柱体）。外力垂直柱体轴线，且沿长度方向不变，z方向分力为0。约束只作用于柱面，其方向平行于中面（x0y面），且沿厚度（z向）不变，只有作用于板边的x，y向的边界约束存在。 4．试叙述在大边界上不能应用圣维南原理。

答：圣维

第一章 绪论

1、所谓“完全弹性体”是指（B）。 A、材料应力应变关系满足虎克定律

B、材料的应力应变关系与加载时间、历史无关 C、本构关系为非线性弹性关系 D、应力应变关系满足线性弹性关系 2、关于弹性力学的正确认识是（A ）。

A、计算力学在工程结构设计中的作用日益重要

B、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设 C、任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象

D、弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析 3、下列对象不属于弹性力学研究对象的是（D ）。 A、杆件 B、板壳 C、块体 D、质点

4、弹性力学研究物体在外力作用下，处于（弹性）阶段的（应力）、（应变）和（位移） 5、弹性力学可以解决材料力学无法解决的很多问题；并对杆状结果进行精确分析，以及验算材力结果的适用范围和精度。与材料力学相比弹性力学的特点有哪些？ 答：1）研究对象更为普遍； 2）研究方法更为严密； 3）计算结果更为精确； 4）应用范围更为广泛。

6、材料力学研

HOMEWORK OF THEORETICAL ELASTICITY

1. DATE: 2001-9-20

1. 设地震震中距你居住的地方直线距离为l，地层的弹性常数E,?和密度?均为已知。假

设你在纵波到达t0秒后惊醒。问你在横波到达之前还有多少时间跑到安全地区？试根据

l?200Km，E?20GPa，??0.3，??2.0?106g/m3，t0?3s来进行具体估算。

2. 假定体积不可压缩，位移u1(x1，x2)与u2(x1，x2)很小，u3?0。在一定区域内已

22知u1?(1?x2) (a?bx1?cx1)，其中a，b，c为常数，且?12?0，求u2(x1，x2)。

3. 给定位移分量

u1?cx1(x2?x3)2，u2?cx2(x1?x3)2，u3?cx3(x1?x2)2，此处c为一个很小的常数。求应变分量?ij及旋转分量Qij。

4. 证明

?i?eijkQjk?eijkuk,j

其中?i为转动矢量。

5. 设位移场为u?a(x1?x3)2e1?a(x2?x3)2e2?ax1x2e3，其中a为远小于1的常数。确定在P (0，2，?1)点的小应变张量分量，转动张量分量和转知矢量分量。

6. 试分析以下应变状态能否存在。

222（1）?1