矩阵的行秩和列秩相等证明

关于矩阵秩的证明

-----09数应 鄢丽萍

中文摘要

在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。

所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。

关键词：初等变换 向量组的秩 极大线性无关组

约定用E表示单位向量，AT表示矩阵A的转置，r(A)表示矩阵A的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(AT); （2）

?r(A) k?0r(kA)=?

0 k?0?

（3） 设A,B分别为n×m与m×s矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) (5) (6)

矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。

r(A)=n,当且仅当A≠0

?r??A O??A C????=r(A

专题复习 证明线段相等角相等的基本方法(一)

一、教学目标：

知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法.

过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生的学习经验；培养学生推理论证能力.

情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的发展.

二、教学重点：

掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法. 教学难点：

分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法. 三、教学用具：三角板、学案等 四、教学过程： （一）引入：

相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考15题左右的位置，是北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中.

（二）例题：

例1已知：如图1，△ABC中，AB=AC，BC为

２０１１年５月湖北成人教育学院学报Ｍａｙ，２０１１第１７卷第３期ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｕＢｅｉＡｄｕｌｔＥｄｕｃａｔｉｏｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅＶ０１．１７ＮＯ．３矩阵的秩例题教学浅析陈洪１，陶燕芳２（１．华中农业大学理学院，湖北武汉，４３００７０；２．长江职业学院公共课部，湖北武汉，４３００７４）［摘要】本文从矩阵的秩的定义和定理出发，对三个矩阵的秩的典型例题进行分析讲解。加深学生对抽象概念的理解和掌握。［关键词】矩阵的秩；不等式；教学方法［中图分类号］０１５１．２１［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７３－－３８７８（２０１１）０３—０１２２—＿０１矩阵的秩是线性代数的重要内容，它不仅是矩阵的一分析：引导学生注意最关键的条件ＡＢ＝０。这是一个个本质属性，而且在解线性方程组、判断向量组的线性相矩阵方程，如何将其与矩阵的秩联系起来是解题的关键。关性、求矩阵的特征值等方面有广泛的应用。因此，涉及由于矩阵方程可以通过分块的方法最终转为线性方程组。到此知识点的题目类型较多，且多需要综合运用各种知故通过线性方程组解的讨论将有助于找到条件与结论的识。由于教学中此内容课时较紧，学生往往在解抽象矩阵联系。基本思路如下：ＡＢ＝ＤｊＡ（ｂ１，ｂ：，…，ｂ，）＝ＤｊＡ６１

矩阵的秩的可加性性质分析

2 1年第5 00期

金色年华

数学教

矩阵的秩的可加性性质分析陈宇

(商丘医学高等专科学校临床医学系，河南商丘 4 60 ) 7 10

【 -c摘￣]章给出了矩阵的秩具有可加性的一个充分条件， s获得了矩阵论中的若干定理与命题的简单证法，而刻画了一类矩阵的进秩特征。

【关键词】矩阵的秩；幂等阵；对合阵

矩阵的秩是线性代数中一个基本而深刻的概念，是矩阵最重

要的数字特征之一。它最早是由Sl sr 16年引进的”。随 y et于 81 v e后，y etr Foe i s SI s与 rbnn建立了矩阵秩的一些重要的不等式， v e u并且用矩阵秩的某些特征来刻画一些重要矩阵，如幂等矩阵、对合矩阵等。为叙述方便，我们以命题的形式表示如下。 命题 1 sl s r y et不等式 ) A、都是 I c v e (设 B 1阶矩阵，则rA ) (+rB) ( B≥rA) (一n

对(:行等换： (一]:A鳓 D:j初变 ):一 -J+ 进一 (。 B即 rA≥rA) rB)。 ( B) (+ (一n

命题 2 n阶矩阵是 A幂等阵 ( A) 即A=的充要条件为 rA) (+r(—=n E A)。

证明 () 1必要性由 A= A可得 A-

如何让其行变列，列变行。并且其相关数据也能自动调整

1、启动Excel，打开需要的工作簿，在当前工作表中，选中需要进行行列转换的单元格区域，如A1:X6。

2、单击“编辑”菜单中的“复制”命令。

3、单击要存放转置表区域的左上角单元格，如A7。

4、单击“编辑”菜单中的“选择性粘贴”命令，系统“选择性粘贴”对话框，选中“转置”复选框。

5、单击[确定]按钮，则行列转置后的表格出现在A7:F30单元格区域。现在把A1:X6单元格区域删除，则完成了表格的行列转置。

怎样把WORD、EXCEL中的表格，行变列，列变行？

在EXCEL中是可以做到的，你将要转变的数据区域复制，在目标单元格处右击，选择“选择性粘贴”，将里面的“转置”选中，确定即可。

EXCEL如何有规律列变行?

我有份EXCEL表有一列名字共4000个,我想转换成每行8个名字,共500行.请问有没有什么简单的方法.请高手帮忙.

在这个工作表后面新建一个工作表

A1=INDIRECT(\然后复制到A1:H500的区域里就行了

注意sheet1!A表示你原来数据的工作表名为sheet1，数据在A列，不是的话相应改一下。

在EXCE

第1篇：正定矩阵的几种经典证明方法

科技论坛　正定矩阵的几种经典证明方法　封京梅　（陕西广播电视大学，陕西西安７１０１１９）　摘要：矩阵是数学中一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而正定　矩阵因其特有的性质及广泛的应用领域使得很多学者对其进行了大量的研究，本文主要利用特征值，单位矩阵，上三角矩阵，可逆矩阵等　知识给出正定矩阵的几种证明方法和一些性质，希望能起到推广正定矩阵应用的作用。　关键词：正定矩阵；可逆矩阵；特征值；主子式　零，由归纳法的假设可知Ａ。是正定矩阵，换句话说存在可逆的ｎ一１　引言　ｑ　ｑ　矩阵的思想很早就已经有了，至少可以追溯到汉代中国学者在　级矩阵Ｇ使Ｇ　ＡＧ＝　（Ｅ　是ｎ一１级单位矩阵），　解线性方程组时的应用上。而经过近几年的发展，矩阵论已经是代　数学中的一个重要分支了，而正定矩阵因其特有的性质及应用也受　到了人们的广泛关注．但是正定矩阵的证明方法一直成为我们应用　正定矩阵的瓶颈，为此我们将给出几种经典的证明方法及重要性　质．首先，对以下名词加以说明：　①正定矩阵：实数域Ｒ上二次型刷＝ｘ＇Ａｘ，若对任意　一　，恐，‘‘　）　∈　，Ｘｏ；０均有价。Ｊ＞０，则称ｇｘ）为正定

第2.6节 矩阵的秩一.矩阵秩的概念二.矩阵秩的求法 三.矩阵秩的不等式 四.小结 思考题

一、矩阵秩的概念任何矩阵 Am n , 总可经过有限次初等行 变换 把它变为行阶梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 .矩阵的秩

定义1 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列(k m , k n),位于这些行列交叉 处的个 k 元素, 不改2

变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.

k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm Cn 个.

定义 2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子 式 D,且所有 r 1 阶子式(如果存在的话 )全等 于 0,那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 r ( A) .并规定零矩阵的秩 等于零 . m n 矩阵 A 的秩 r ( A) 是 A 中不等于零的子式的最高阶数 .

对于 AT, 显有 r ( AT ) r ( A).

例1

1 2 3 求矩阵 A 2 3 5 的秩. 4 7 1

解

1 2 在 A 中， 0. 2 3

又 A的 3 阶

第2.6节 矩阵的秩一.矩阵秩的概念二.矩阵秩的求法 三.矩阵秩的不等式 四.小结 思考题

一、矩阵秩的概念任何矩阵 Am n , 总可经过有限次初等行 变换 把它变为行阶梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 .矩阵的秩

定义1 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列(k m , k n),位于这些行列交叉 处的个 k 元素, 不改2

变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.

k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 Cm Cn 个.

定义 2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子 式 D,且所有 r 1 阶子式(如果存在的话 )全等 于 0,那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 r ( A) .并规定零矩阵的秩 等于零 . m n 矩阵 A 的秩 r ( A) 是 A 中不等于零的子式的最高阶数 .

对于 AT, 显有 r ( AT ) r ( A).

例1

1 2 3 求矩阵 A 2 3 5 的秩. 4 7 1

解

1 2 在 A 中， 0. 2 3

又 A的 3 阶

第4章矩阵的秩与n维向量空间

本章主要内容：n维向量的概念与线性运算向量组的线性相关线性无关的概念及其有关的重要理论向量组的最大无关组向量组的

秩矩阵的秩与向量组的秩之间的关系向量空间与子空间

基底与维数向量的坐标与坐标变换公式向量的内积正交

矩阵

教学目的及要求：理解n维向量的概念，掌握向量的线性运算．理解向量组

的线性相关，线性无关的定义及有关的重要结论．理解向

量组的最大无关组与向量组的秩，理解矩阵的秩与向量组

的秩之间的关系，并掌握用初等变换求向量组的秩．理解

基础解系的概念，了解n维向量空间及子空间，基底，维

数，坐标等概念．掌握向量的内积及其性质、向量的长度

及其性质、正交向量、正交向量组及其性质、正交规范化

方法以及正交矩阵及其性质．

教学重点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；向量组的正交规范化的方法；正交矩阵的概念及其性质．

教学难点：向量组的线性相关、线性无关的概念及其有关的重要理论；施密特正交化方法及应用

教学方法：启发式

教学手段：讲解法

教学时间：8学时

教学过程：

1 4．1 矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征，是矩阵在初等变换下的一个不变量，它能表述线性代数变换的本质特性，矩阵的秩在研究n 维向量空间的空间结构及向量之间的相

给出行正交矩阵的概念,并讨论行正交矩阵的行列式、可逆性、特征值、迹等问题,得到行正交矩阵的行列式、等于正负1、行正交矩阵的逆矩阵和伴随矩阵仍是行正交矩阵以及一些等价条件.

第 3卷第 1 7期

西南民族大学学报 然科学版自J u a f o t we t i e s y f r t n l i sNau a c e c i o o r l u h s v r i o i ai e t r l i n eEd t n n o S Un t Na o t S i

文章编号： 0 324 (0 1 1 0 10 10 832 1) - 7— 0 0 4

行正交矩阵的一些性质贾书伟，何承源(西华大学数学与计算机学院，四川成都 6 0 3 ) 10 9

摘

要：给出行正交矩阵的概念，并讨论行正交矩阵的行列式、可逆性、特征值、迹等问，题得到行正交矩阵的行列式

等于正负 l、行正交矩阵的逆矩阵和伴随矩阵仍是行正交矩阵以及一些等价条件.关键词：矩阵；正交矩阵；行正交矩阵； (对称矩阵行列)中图分类号： 5 . Ol 1 2文献标志码： A

d i 03 6/i n10 -4 3 0 0 .1 o:1 . 9 .s.0 32 8. 1.1 8 9 js 2 1