数列求通项构造法

数列求通项

【教学目标】

一、知识目标

1、解决形如Sn?f(n)、 Sn?f(an)、 Sn?1?Sn.f( n、) Sn?1?Sn?f(n)、通项公式的确定。 an+1?pan?f(n)(其中p是常数） 2、通过学习让学生掌握和理解几种类型的通项公式的求法。 二、能力目标

在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导入数列通项公式，培养学生类比思维能力。通过对公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。通过归纳总结，促进学生自主学习和归纳的能力。 三、情感目标

通过公式的推导使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法。 【教学重点】

通过学习让学生能够熟练准确的掌握通项公式的求法，并能解决实际问题。 【教学难点】

1、 如何将an+1?pan?f(n)转化为我们熟悉的等差和等比数列。

2、 理解和掌握an+1?pan?f(n)此类型的数列通项公式确定的数学思想方法。 【考点分析】

高考对数列的考察重点是等差、等比数列的定义，通项公式，以及前n项和的灵活运用。解答题中，大部分的数列题目都会要求先求出通项公式，因此掌握数列通项公式的求法是解决数列

高三复习课《数列求通项公式的基本方法与技巧》说课稿

邵东三中 王芙蓉

各位老师，大家好！我是来自邵东三中的一名数学教师，我本节课说课的内容是高三复习课《数列求通项公式的基本方法与技巧》，所用的教材是普通高中课程标准人教A版。

高三第一阶段复习，也称“知识篇”。在这一阶段，学生重温高一、高二所学课程，全面复习巩固各个知识点，熟练掌握基本方法和技能；然后站在全局的高度，对学过的知识产生全新认识。在高一、高二时，是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，学的知识往往是零碎和散乱，而在第一轮复习时，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，把各个知识点融会贯通。对于高中的学生，第一轮复习更为重要，我们希望能做高考试题中一些基础题目，必须侧重基础，加强复习的针对性，讲求实效。 一、 教材与学情分析

（一）教材的地位和作用

1、数列是高中数学的重要内容之一，也是与大学数学相衔接的内容，在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用。数列是反映自然规律的基本数学模

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最全的待定系数法求递推数列通项

用待定系数法求递推数列通项公式初探

摘要: 本文通过用待定系数法分析求解9个递推数列的例题，得出适用待定系数法求其通项公式的七种类型的递推数列，用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法等不能解决的数列的通项问题。 关键词:变形 对应系数 待定 递推数列

数列在高中数学中占有重要的地位，推导通项公式是学习数列必由之路，特别是根据递推公式推导出通项公式，对教师的教学和学生的学习来说都是一大难点，递推公式千奇百怪，推导方法却各不相同，灵活多变。对学生的观察、分析能力要求较高，解题的关键在于如何变形。常见的方法有观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法。但是对比较复杂的递推公式，用上述方法难以完成，用待定系数法将递推公式进行变

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最全的待定系数法求递推数列通项

用待定系数法求递推数列通项公式初探

摘要: 本文通过用待定系数法分析求解9个递推数列的例题，得出适用待定系数法求其通项公式的七种类型的递推数列，用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法等不能解决的数列的通项问题。 关键词:变形 对应系数 待定 递推数列

数列在高中数学中占有重要的地位，推导通项公式是学习数列必由之路，特别是根据递推公式推导出通项公式，对教师的教学和学生的学习来说都是一大难点，递推公式千奇百怪，推导方法却各不相同，灵活多变。对学生的观察、分析能力要求较高，解题的关键在于如何变形。常见的方法有观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法。但是对比较复杂的递推公式，用上述方法难以完成，用待定系数法将递推公式进行变

求数列通项公式，关键是观察已知“递推式的形式”，进而决定选择什么方法求通项。

数列求和问题，关键是观察所求出通项公式的形式，进而决定选择什么方法求和。

几种常见的数列的通项公式的求法

【一、观察法】关键是找出各项与项数n的关系

例1．根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2）1,2,3

n

1245916

,4, （3）1,1017

2

,31,2212, （4）, ,52334

, , 45

2

n答案：（1）an 10 1 （2）an n （3）an 2; （4）an ( 1)n 1 n. ;

n 1n 1n2 1

【二、定义法】已知数列类型、或者是能判断出数列类型（此方法常考）

例2．等差数列 an 是递减数列，且a2 a3 a4=48，a2 a3 a4=12，则数列的通项公式是例3．在各项为负数的数列{an}中，已知2 an=3 an+1，且a2a5=例4．已知a1=1,且数列{1

1

an 1

2

2

82n-2.数列{an}的通项公式是 －（） 273

}是公差为2的等差数列,则{an}的通项公式为

例5．（1）数列{an}中,an+1=an+2 且an>0，a1=2，求an

求数列的通项公式是高考重点考查的内容,作为两类特殊数列----等差数列•等比数列可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列,之后再应用各自的通项公式求解,体现化归思想在数列中的具体应用。

用构造法求数列的通项公式

求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用。 例1:数列 an 中,a1 1,an 1 2an 1则an ( ) A．2n B．2n 1 C．2n 1 D．2n 1 解法1：an 1 2an 1

an 1 1 2an 2 2(an 1)

又a1 1 2 an 1 1an 1

2

an

1 是首项为2公比为2的等比数列

n 1

an 1 2 2 2, an 2 1,所以选C

nn

解法2

归纳总结：若数列 an 满足an 1 pan q(p 1,q为常数），则令an 1 p(an )来构造等比数列，并利用

1、递推方法：用枚举法求初始值，建立递推关系，利用递推关系求解。

例1、将圆分成n(n?2)个扇形S1,S2,?,Sn，现用m(m?2)种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻的扇形的颜色互不相同，问有多少种不同的染色方法？ 解析：利用递推关系f(m,n+1)=(m-2)f(m,n)+(m-1)f（m,n-1),结合初值f(m,1)=m,f(m,2)=m(m-1),利用特征根法，即可算出f(m,n)=(m-1)^n+(-1)^n*(m-1)

例2、用1,2,3组成n位数，如果要求没有2个1相邻，问：这样的n位数共有多少个？ an?1?2an?2an?1,a1?3,a2?8.???1?3,c1?c2?2/3,c1?c2?1.

an?1?(2/3?1)/2?(1?3)n?(1?2/3)/2?(1?3)n

2、几类常见递推问题

①多项式（或含指数式）线性一阶递推数列

基本形式：an?pan?1?f(n),(n?2,p为常数，f(n)是k次多项式或含杂指数式） 基本方法：an?g(n)?p(an?1?g(n?1))，其中：pg(n?1)?g(n)?f(n)

2a1?1,an?an?1?n2?15,(n?2),求an.解析：令gn?an

1、递推方法：用枚举法求初始值，建立递推关系，利用递推关系求解。

例1、将圆分成n(n?2)个扇形S1,S2,?,Sn，现用m(m?2)种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻的扇形的颜色互不相同，问有多少种不同的染色方法？ 解析：利用递推关系f(m,n+1)=(m-2)f(m,n)+(m-1)f（m,n-1),结合初值f(m,1)=m,f(m,2)=m(m-1),利用特征根法，即可算出f(m,n)=(m-1)^n+(-1)^n*(m-1)

例2、用1,2,3组成n位数，如果要求没有2个1相邻，问：这样的n位数共有多少个？ an?1?2an?2an?1,a1?3,a2?8.???1?3,c1?c2?2/3,c1?c2?1.

an?1?(2/3?1)/2?(1?3)n?(1?2/3)/2?(1?3)n

2、几类常见递推问题

①多项式（或含指数式）线性一阶递推数列

基本形式：an?pan?1?f(n),(n?2,p为常数，f(n)是k次多项式或含杂指数式） 基本方法：an?g(n)?p(an?1?g(n?1))，其中：pg(n?1)?g(n)?f(n)

2a1?1,an?an?1?n2?15,(n?2),求an.解析：令gn?an

特征方程法求解递推关系中的数列通项

一、（一阶线性递推式）设已知数列{an}的项满足a1 b,an 1 can d,其中c 0,c 1,求这个数列的通项公式。

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程x cx d,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.

定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为x0，则当x0 a1时，an为常数列，即an a1;当x0 a1时,an bn x0，其中{bn}是以c为公比的等比数列，即bn b1cn 1,b1 a1 x0. 证明：因为c 0,1,由特征方程得x0

bn 1

d

.作换元bn an x0,则1 c

dcd

an 1 x0 can d can c(an x0) cbn.

1 c1 c

当x0 a1时，b1 0，数列{bn}是以c为公比的等比数列，故bn b1cn 1; 当x0 a1时，b1 0，{bn}为0数列，故an a1,n N.（证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用.

1

3

13

解：作方程x x 2,则x0 .

32

311

当a1 4时，a1 x0

特征方程法求递推数列

特征方程法求解递推关系中的数列通项

一、（一阶线性递推式）设已知数列{an}的项满足a1 b,an 1 can d,其中c 0,c 1,求这个数列的通项公式。

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程x cx d,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.

定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为x0，则当x0 a1时，an为常数列，即

an a1;当x0 a1时,an bn x0，其中{bn}是以c为公比的等比数列，即

bn b1cn 1,b1 a1 x0.

证明：因为c 0,1,由特征方程得x0

bn 1

d

.作换元bn an x0,则 1 cdcd

an 1 x0 can d can c(an x0) cbn.

1 c1 c

当x0 a1时，b1 0，数列{bn}是以c为公比的等比数列，故bn b1cn 1; 当x0 a1时，b1 0，{bn}为0数列，故an a1,n N.（证毕）

下面列举两例，说明定理1的应用.

13

13

解：作方程x x 2,则x0 .

32

311

当a1