考研数学三题目

1.

知识点：函数和极限

题：lim1?cos??cos2??3cos3????2005cos2005???0?2

解：本题看起来比较麻烦，无从下手，但是如果对下面的一道证明题熟悉的话，就很容易找到突破点。例题：

??0lim?1?ncosn??2?n2（大家可以自己证明一下）。故原式

=lim[??01?cos??2?cos??cos??cos2??2?cos??cos2??cos??cos2??3cos3??2

???cos??cos2????2004cos2005??cos??cos2????2005cos2005??1?cos2?1?20052]

=lim[??01?cos??222??2??cos2005??2]

=

12????20052=1005507.5

变化：题中的2005可以是任意自然数n 2.

知识点：导数与中值定理

题A：设在[0,1]上，

f??(x)?M, 且

f(x)在（0,1）内取得最大值，试证：f?(0)?f?(1)?M

解：本题考查的是中值定理，题目难度不大，关键是能够利用所给条件选择合适的定理来证明。 设

上可导，故f?(c)?0。对于函数y=f?(x)，因f?(x)在f(x)在x?c?(0,1)取

第十章 函数方程与不等式证明

an?1an?a?一. 证明不等式

(n?1)2lna证明: 令f(x)?ax, 在1111n?1an?2. (a > 1, n ? 1) n1?n?1,1n?上使用拉格朗日定理

f(1)?f(1)?f'(?)(1?1)nn?1nn?1 1 11?nn?1a?a?alnan(n?1) 即

a1n?alna1n?1a? ?n(n?1)111 所以

an?1an?a?

(n?1)2lna

二. 若a ? 0, b ? 0, 0 < p < 1, 证明 (a?b)p?ap?bp

1n?1an?2. (a > 1, n ? 1) n证明: 令f(x)?(x?b)p?xp?bp 显然f(0) = 0. 当x ? 0 时, 因为0 < p < 1

f'(x)?p(x?b)p?1?pxp?1?0

所以当x ? 0时, f(x)单减, 所以f(a) ? f(0) = 0. 所以 (a?b)?a?b?0 即得 (a?b)?a?b

三. 设函数f(x)在[0, 1]上有连续导数, 满足0?f'(x)?1且f(0)?0. 求证

113??f(x)dx?f(x)dx ????00??2ppppppxx3证明

第一章 函数·极限·连续

一. 填空题

1. 已知f(x)?sinx,f[?(x)]?1?x2,则?(x)?__________, 定义域为___________. 解. f[?(x)]?sin?(x)?1?x2, ?(x)?arcsin(1?x2) ?1?1?x2?1, 0?x2?2,|x|??1?x?2．设lim??x??x??axa2

????ttedt, 则a = ________.

a解. 可得ea??a??ttedt=(te?e)tt?ae??a?e, 所以 a = 2.

a3. lim?n???21?n?n?11??2n?n?222?????=________. 2n?n?n?nn解. <

n?n?n122n?n?n222???n?n?nn22

12所以

n?n?1n?n?21?2???n1n?n?n2?n?n?nn?n?1n?n?1n?n?11?2???n2n?2???2<2< 2n?n?1n?n?2n?n?nn?n?1???

n(1?n)1?2???nn?n?n1?2???nn?n?122?12?, (n??) 2n?n?n2n(1?n)12?, (n??) 2n?n?121?2n?n?2|x|?1|x|?12?所以 lim?n???2?n?n?1?1????1?=

第10章 排序 一、选择题

1．某内排序方法的稳定性是指( )。 【南京理工大学 1997 一、10（2分）】

A．该排序算法不允许有相同的关键字记录 B．该排序算法允许有相同的关键字记录

C．平均时间为0（n log n）的排序方法 D．以上都不对 2．下面给出的四种排序法中( )排序法是不稳定性排序法。【北京航空航天大学 1999 一、10 （2分）】

A. 插入 B. 冒泡 C. 二路归并 D. 堆积 3．下列排序算法中，其中（ ）是稳定的。 【福州大学 1998 一、3 (2分)】

A. 堆排序，冒泡排序 B. 快速排序，堆排序 C. 直接选择排序，归并排序 D. 归并排序，冒泡排序

4．稳定的排序方法是（ ） 【北方交通大学 2000 二、3（2分）】

A．直接插入排序和快速排序 B．折半插入排序和起泡排序 C．简单选择排序和四路归并排序 D．树形选择排序和shell排序 5．下列排序

考研概率与数理统计

第一章 随机事件和概率

第一节 基本概念例题

例1．1：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问 总共输的场次是多少？

例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有

小鹰号和Titanic号，问有多少种走法？

例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和

Titanic号，问有多少种走法？

例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。

例1．5：两线段MN和PQ不相交，线段MN上有6个点A1，A2…，A6，线段PQ上有7 个点B1，

B2，…，B7。若将每一个Ai和每一个Bj连成不作延长的线段AiBj(i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 AiBj相交而得到的交点最多有

A． 315个 B． 316个 C． 317个 D． 318个

例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？

例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。

例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）

11

2015年数学三考试大纲

考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计

考试形式和试卷结构

一、试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟．

二、答题方式

答题方式为闭卷、笔试．

三、试卷内容结构

微积分 约56%

线性代数 约22%

概率论与数理统计 约22%

四、试卷题型结构

单项选择题选题 8小题，每小题4分，共32分

填空题 6小题，每小题4分，共24分

解答题（包括证明题） 9小题，共94分

微积分

一、函数、极限、连续

考试内容

函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立

数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：

sinx 1 lim 1

1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)

(1) 设商品的需求函数为Q?100?5P,其中Q,P分别表示为需求量和价格,如果商品需

求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是_________.

(x?2)2n(2) 级数?的收敛域为_________. nn4n?1?(3) 交换积分次序

?dy?012?y2yf(x,y)dx?_________.

(4) 设A为m阶方阵,B为n阶方阵,且A?a,B?b,C???0?BA??,则C?________. 0?(5) 将C,C,E,E,I,N,S等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE的

概率为__________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

x2xf(t)dt,其中f(x)为连续函数,则limF(x)等于 ( ) (1) 设F(x)?x?ax?a?a(A) a (B) af(a)

(C) 0

2015年数学三考试大纲

考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计

考试形式和试卷结构

一、试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟．

二、答题方式

答题方式为闭卷、笔试．

三、试卷内容结构

微积分 约56%

线性代数 约22%

概率论与数理统计 约22%

四、试卷题型结构

单项选择题选题 8小题，每小题4分，共32分

填空题 6小题，每小题4分，共24分

解答题（包括证明题） 9小题，共94分

微积分

一、函数、极限、连续

考试内容

函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立

数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：

sinx 1 lim 1

2007年考研数学（三）真题解析

1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可. 【详解】当x

0时，1

1

，1 12

2

1x， 2

故用排除法可得正确选项为（B）.

事实上，lim

x 0

lim

lim 1，

x 0 x 0

或 ln(1 x) ln(1 x o(x) o o

所以应选（B）

【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】 【例1.55】.

2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，

本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f(x)去进行判断，然后选择正确选项.

【详解】取f(x) |x|，则lim

x 0

f(x) f( x)

0，但f(x)在x 0不可导，故选（D）.

x

事实上，

在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得

f(0) 0.

lim在（C）中，

x 0

f(x)f(x) f(0)f(x)

lim 0，存在，则f(0) 0,f (0) lim

x 0x 0xx 0x

所以(C)项正确，故选(D)

【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项

A题: 禽流感病毒传播问题

自四月初以来，全国多个城市已有超过百例的人感染H7N9禽流感病毒得到

确诊。此外，也有报道的研究成果显示，H7N9禽流感病毒的8个基因片段中，H7片段来源于浙江鸭群中分离的禽流感病毒，而浙江鸭群中的病毒往上追溯，与韩国野鸟中分离的禽流感病毒同源；N9片段与韩国野鸟中分离的禽流感病毒同源。其余6个基因片段（PB2、PB1、PA、NP、M、NS）来源于H9N2禽流感病毒。据病毒基因组比对和亲缘分析显示，H9N2禽流感病毒来源于中国上海、浙江、江苏等地的鸡群。

1.根据上述描述以及相关资料，尝试构建数学模型以描述病毒从鸟类传向人群的动态演化过程；

2.考虑在上海这样的特大城市中，如果不对感染人群作及时的治疗和隔离，以构建的模型来说明可能带来的后果；

3.基于模型讨论，除了隔离手段外，其他因素变化是否可以有效控制病毒在人群中迅速传播。

B题: 葡萄糖液注射吸收模型

葡萄糖是人体主要的热量来源之一，每1克葡萄糖可产生4大卡（16.7kJ）热能，故被用来补充热量。治疗低糖血症。当葡萄糖和胰岛素一起静脉滴注，糖原的合成需钾离子参与，从而钾离子进入细胞内，血钾浓度下降，故被用来治疗高钾血症。高渗葡萄糖注射液快速静脉推注有组