不动点在代数方程的应用

列方程（组）解应用题目标样题（1）

一、期中、期末考试要求：会列增长率类型、简单的高次方程、可化为一元二次方程的分式方程类型、二元二次方程组解应用题；会利用两点间的距离公式列无理方程（组）解应用题.

二、中考要求：会列分式方程等解应用题（Ⅲ），摘录自2011年上海市初中毕业考试统一学业考试考试手册.（提醒：在列代数方程解应用题这个知识板块，列可化为一元二次方程的分式方程解

应用题是最常见的题型，不排除利用两点间的距离公式或者图中给定的特殊关系列无理方程解应用题的可能）

三、典型例题分析

例1.某厂接到一份订单, 某运动会开幕式需要720面彩旗.后来由于情况紧急,要求生产总量比原计划增加20%,且必须提前2天完成生产任务.该厂迅速增加人员,实际每天比原计划多生产36面彩旗,请问该厂实际每天生产多少面彩旗?

例2. 如图1，x轴表示一条东西方向的道路，y轴表示一条南北方向的道路.小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着y轴以5千米/时的速度由南向北前进. y 北 有一颗百年古树位于图中的P点处，古树与x轴、y轴的距离分别是3千米和2千米.

B 小明 P A 西 O 小丽 南 图1

实验 5：线性代数方程组的数值解法

习题3： 已知方程组Ax?b,其中A?R20*20，定义为：

?1/2?1/4?3??1/23?1/2???1/4?1/23????1/4???1/4?1/2?1/2?1/4??????1/4?3?1/2???1/23?

试通过迭代法求解此方程组，认识迭代法收敛的含义以及迭代初值和方程组系数矩阵性质对

收敛速度的影响。实验要求：

（1） 选取不同的初始向量x0和不同的方程组右端向量b，给定迭代误差要求，用雅可比

迭代法和高斯-赛德尔迭代法计算，观测得到的迭代向量序列是否均收敛？若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出结论；

（2） 取定右端向量b和初始向量x0，将A的主对角线元素成倍的增长若干次，非主对角

元素不变，每次用雅可比迭代法计算，要求迭代误差满足较收敛速度，分析现象并得出结论。

1、 程序设计（可直接粘贴运行）

1） Jacobi迭代法

function y=jacobi(a,b,x0,e,m)

%定义jacobi函数，其中：a,b为线性方程组Ax?b中的矩阵和右端向量；x0为初始值； %e和m分别为人为设定的精度和预计迭代次数；运行结果y为迭代的结果和所有中间值组成的 %矩阵 y=0;

%对

复习之专题五 代数方程 一元二次方程、分式方程、根式方程、二元二次方程组和应用题

教学准备

一. 教学目标：

（1）掌握一二元二次方程、分式根式方程和列方程解应用题的有关概念。 （2）利用公式法等四种方法、消元法的知识进行计算、解答有关综合题。 （3）培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力

二. 教学重点、难点：

一元二次方程、根式方程、分式方程、二元二次方程组和方程应用题的基础知识、基本技能是本节的重点。难点是综合应用这些知识解决问题的能力。

三．教学内容 1．教学内容

含有字母系数的一元一次方程与一元二次方程，特殊的高次方程（二项方程、双二次方程），分式方程，无理方程，简单的二元二次方程（组），列方程（组）解应用题。

2．教学目标

（1）知道整式方程的概念；会解含有一个字母系数的一元一次方程与一元二次方程。 （2）知道高次方程的概念；会用计算器求二项方程的实数根（近似根），会用换元法解双二次方程，会用因式分解的方法解某些简单的高次方程。 （3）理解分式方程、无理方程的概念；掌握可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程（组）和简单的无理方程的解法，知道“验根”是解分式方程（组）和无理方程的必要步骤，掌握验根的基本方法。

工程数学

第三章 线性代数方程组的数值解法第一节 求解线性代数方程组的基本定理 第二节 高斯消元法及其计算机实现 第三节 用矩阵分解法求解线性方程组 第四节 误差分析和解的精度改进 第五节 大型稀疏方程组的迭代法 第六节 极小化方法n

工程数学

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第一节 求解线性代数方程组的基本定理线性代数方程组的一般形式 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm 用矩阵形式表示为 Ax b Rm ( n 1) 其增广矩阵记为 A a11 a12 a1 n a a22 a2 n 21 A A, b am 1 am 2 amn

b1 b2 bm

工程数学

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定理1 (线性代数方程组有解判别定理)线性方程组 ) Ax b有解的充分必要条件是：秩(A)=秩(A

定理2 线性方程组Ax b有解(即相容)时， ) r n, 则

第二十一章代数方程复习

第二十一章《代数方程》复习

（两课时）

九峰实验学校 肖华明

第一课时

复习要点：

1． 知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形

式. 理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法。

2． 理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法,理解双二次方程的意

义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；学会判断双二次方程的根的个数。

3． 会用“换元法”解特殊的分式方程（组）。

4． 理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概

念，领会无理方程“有理化”的化归思想. 会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）。

5． 知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念。

例题1： 判断下列关于x的方程,哪些是整式方程?这些整式方程分别是一元几次方程?

11(1)x2 a3x 1 0;(2)4x3 81 0;(3)3a 2x 5x ; 2a

x 212(4) ;(5) x a2 2a 3;(6)x4 7x2 8 0. 2x3x

nax b 0(a 0,b 0,n是正整数）例题2：解二项方程

当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，x n b

第二章 解线性代数方程组的迭代法

2.1 引 言

在许多实际问题中，常常需要求解这样的线性代数方程组，它的系数矩阵数很高，但非零元素很少，人们称其为大型稀疏线性代数方程组，对于这类方程组，如果它又不具有带状性，那么，再用直接法求解就不太有效，因为用直接法进行消元或矩阵的三角分解时，没有考虑到系数矩阵的稀疏性，破坏了系数矩阵的形状，导致了计算量的增加和存储单元的浪费，于是，人们常用迭代法求解大型稀疏线性代数方程组。迭代法只需要存储系数矩阵的非零元素，这样，占用内存在单元较少，能解高阶线性代数方程组。由于迭代法是通过逐次迭代来逼近方程组的解，因此，收敛性和收敛速度是构造迭代法时要注意的问题。那么，是否可以构造一种适用于一般情况的迭代法呢？回答是否定的，这是因为不同的系数矩阵具有不同的性态，一般地，每一种迭代法都具有一定的适用范围，在本章的学习中将会看到，有时，某种方法对一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就会发散。因此，我们应该学会针对具有不同性质的线性代数方程组，构造合适的迭代方法。

本章主要介绍一些基本的迭代法，并在一定的范围内讨论其中几种方法的收敛法。

2.2 基本迭代法

考虑线性方程组

?a11x1?a12x2???a

一、填空题

1.关于x的方程(a-1)x=1(a≠1)的解是__________.

2.关于y的方程ay²=1(a＞0)的解是__________.

3.x=2是方程ax-3=20+a的解,则a=__________.

4.方程5x²=6x³的解是__________.

5.方程16x4-81=0的解是__________.

7.若代数式(x-3)(x²+x-6)的值等于零,则x=__________.

9.用换元法解方程(x+

__________________.

ab 10.若方程－1有根x=2,则a-2b=__________. xx-1

m1 11.当m=______时,方程－＝1有增根. x(x+1)x

二、选择题

13.已知11)²-3(x+)-4=0,设________=y,则原方程可化为xx2x y2y ，则的值为( ) x y3x

A.-44 B. C.1 D.5 55

14.一项工程，甲独做需m小时完成，若与乙合作20小时完成，则乙单独完成需要的时间

( ) 20m20mm 20m 20 B.

不动点定理及其应用

摘 要 不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给

出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理.

关键词 不动点;不动点定理;Banach空间

Fixed Point Theorems and Its Applications

Abstract The fixed point theorem is one of important tools in

studying the existence and uniqueness of solution to functional equation .In this paper,the fixed theorem in linear functional analysis and its applications are introduced and the corresponding examples are given.Meanwhile,the Brouwer and Leray-Schauder fixed point

摘 要

本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.

关键词 ：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性.

Abstract

This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing

摘 要

本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.

关键词 ：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性.

Abstract

This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing