经典图论算法

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图论中的常用经典算法

第一节 最小生成树算法

一、生成树的概念

若图是连通的无向图或强连通的有向图，则从其中任一个顶点出发调用一次bfs或dfs后便可以系统地访问图中所有顶点；若图是有根的有向图，则从根出发通过调用一次dfs或bfs亦可系统地访问所有顶点。在这种情况下，图中所有顶点加上遍历过程中经过的边所构成的子图称为原图的生成树。

对于不连通的无向图和不是强连通的有向图，若有根或者从根外的任意顶点出发，调用一次bfs或dfs后不能系统地访问所有顶点，而只能得到以出发点为根的连通分支（或强连通分支）的生成树。要访问其它顶点则还需要从没有访问过的顶点中找一个顶点作为起始点，再次调用bfs或dfs，这样得到的是生成森林。

由此可以看出，一个图的生成树是不唯一的，不同的搜索方法可以得到不同的生成树，即使是同一种搜索方法，出发点不同亦可导致不同的生成树。如下图：

但不管如何，我们都可以证明：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。

二、求图的最小生成树算法

严格来说，如果图G=（V，E）是一个连通的无向图，则把它的全部顶点V和一部分边E’构成一个子图G’，即G’=（V， E’），且边集E’能将图中所有顶点连通又不形成

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图论中的常用经典算法

第一节 最小生成树算法

一、生成树的概念

若图是连通的无向图或强连通的有向图，则从其中任一个顶点出发调用一次bfs或dfs后便可以系统地访问图中所有顶点；若图是有根的有向图，则从根出发通过调用一次dfs或bfs亦可系统地访问所有顶点。在这种情况下，图中所有顶点加上遍历过程中经过的边所构成的子图称为原图的生成树。

对于不连通的无向图和不是强连通的有向图，若有根或者从根外的任意顶点出发，调用一次bfs或dfs后不能系统地访问所有顶点，而只能得到以出发点为根的连通分支（或强连通分支）的生成树。要访问其它顶点则还需要从没有访问过的顶点中找一个顶点作为起始点，再次调用bfs或dfs，这样得到的是生成森林。

由此可以看出，一个图的生成树是不唯一的，不同的搜索方法可以得到不同的生成树，即使是同一种搜索方法，出发点不同亦可导致不同的生成树。如下图：

但不管如何，我们都可以证明：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。

二、求图的最小生成树算法

严格来说，如果图G=（V，E）是一个连通的无向图，则把它的全部顶点V和一部分边E’构成一个子图G’，即G’=（V， E’），且边集E’能将图中所有顶点连通又不形成

非诚勿扰男女最优组合

摘要：本文主要内容为寻求最大权匹配问题，即利用图论的最大权匹配知识，为非诚勿扰节目中的男女嘉宾进行最优组合。本文将其转化为二部图寻找最大权匹配的问题。 关键词：非诚勿扰，最大权匹配

1、问题描述

《非诚勿扰》是中国江苏卫视制作的一档大型生活服务类节目。 每期节目大部分都是5位男嘉宾，24位女嘉宾，女生有“爆灯”权利。首先男嘉宾选择心动女生，女嘉宾在“爱之初体验”根据第一印象选择是否留灯；然后在“爱之再判断”了解男嘉宾的一些基本情况，比如爱好、情感经历等；接下来在“爱之终决选”通过男嘉宾亲人或朋友的情况了解男嘉宾，做出最后的决定，如果有女生留灯的话就进入“男生权利”，男生做出最后选择，如果没有女生留灯则只能遗憾离场。

2、模型建立

通过观看20150124期节目，这期节目只有4位男嘉宾，然后在整个节目男女嘉宾交流过程中4号、19号、22号、23号女嘉宾都没有发过言，没有了解到这四位女嘉宾的基本情况以及对男嘉宾的要

求，所以在本次模型建立过程中没有考虑这四位女嘉宾。

经过上述分析，本期产生了4位男嘉宾和20位女嘉宾的可能匹配，我们将这4位男嘉宾和20位女嘉宾划分为X部和Y部，男生为X1，X2，X3，X4，女生

非诚勿扰男女最优组合

摘要：本文主要内容为寻求最大权匹配问题，即利用图论的最大权匹配知识，为非诚勿扰节目中的男女嘉宾进行最优组合。本文将其转化为二部图寻找最大权匹配的问题。 关键词：非诚勿扰，最大权匹配

1、问题描述

《非诚勿扰》是中国江苏卫视制作的一档大型生活服务类节目。 每期节目大部分都是5位男嘉宾，24位女嘉宾，女生有“爆灯”权利。首先男嘉宾选择心动女生，女嘉宾在“爱之初体验”根据第一印象选择是否留灯；然后在“爱之再判断”了解男嘉宾的一些基本情况，比如爱好、情感经历等；接下来在“爱之终决选”通过男嘉宾亲人或朋友的情况了解男嘉宾，做出最后的决定，如果有女生留灯的话就进入“男生权利”，男生做出最后选择，如果没有女生留灯则只能遗憾离场。

2、模型建立

通过观看20150124期节目，这期节目只有4位男嘉宾，然后在整个节目男女嘉宾交流过程中4号、19号、22号、23号女嘉宾都没有发过言，没有了解到这四位女嘉宾的基本情况以及对男嘉宾的要

求，所以在本次模型建立过程中没有考虑这四位女嘉宾。

经过上述分析，本期产生了4位男嘉宾和20位女嘉宾的可能匹配，我们将这4位男嘉宾和20位女嘉宾划分为X部和Y部，男生为X1，X2，X3，X4，女生

第二章 5 生成树算法

定义2·13 （1）图G的每条边e赋与一个实数?(e)，称为e的权。图G称为加权图。 （2）设G1是G的子图，则G1的权定义为： ?(G1)???(e)

e?E(G1)定理2·10 Kruskal算法选得的边的导出子图是最小生成树。

l法所得子图T0显然是生成树，下证它的最优性。设证：Kruska算T0?G??e1,e2,?,e??1??不是最小生成树，T1是G的任给定的一个生成树，f(T)是

?e1,e2,?,e??1?中不在T1又E(T0)??e1,e2,?,e??1?，故e1,e2,?,e??1中必有不在E(T)中的

边。设f(T)?k，即e1,e2,?,ek?1在T与T0上，而ek不在T上，于是T?ek中有一个圈C，

?，使ek?在T上而不是在T0上。令T???，显然也是生成树，又（T?ek)?ekC上定存在ek?)，由算法知，ek是使G??e1,e2,?,ek??无圈的权最小的边，?(T?)??(T)??(ek)??(ek???是T之子图，也无圈，则有?(ek?)??(ek)，于是?(T?)??(T)，又G??e1,e2,?,ek

经典ACM算法合集经典ACM算法合集

经典ACM算法合集经典ACM算法合集.txt“我羡慕内些老人羡慕他们手牵手一直走到最后。━交话费的时候，才发现自己的话那么值钱。实验一 统计数字问题
实验二 最大间隙问题
实验三 众数问题
实验四 半数集问题
实验五 集合划分问题
实验六 最少硬币问题
实验七 编辑距离问题
实验八 程序存储问题
实验九 最优服务次序问题
实验十 汽车加油问题
实验十一 工作分配问题
实验十二 0-1背包问题
实验十三 最小重量机器设计问题
实验十四 最小权顶点覆盖问题
实验十五 集合相等问题
实验十六 战车问题
实验一 统计数字问题
1、问题描述：
一本书的页码从自然数1 开始顺序编码直到自然数n。书的页码按照通常的习惯编排，每个页码都不含多余的前导数字0。例如，第6 页用数字6 表示，而不是06 或006 等。数字计数问题要求对给定书的总页码n，计算出书的全部页码中分别用到多少次数字0，1， 2，…，9。
2、题目分析：
考虑由0,1,2,…,9组成的所有n位数。从n个0到n个9共有个n位数，在这些n位数中，0,

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经典ACM算法合集经典ACM算法合集.txt“我羡慕内些老人羡慕他们手牵手一直走到最后。━交话费的时候，才发现自己的话那么值钱。实验一 统计数字问题
实验二 最大间隙问题
实验三 众数问题
实验四 半数集问题
实验五 集合划分问题
实验六 最少硬币问题
实验七 编辑距离问题
实验八 程序存储问题
实验九 最优服务次序问题
实验十 汽车加油问题
实验十一 工作分配问题
实验十二 0-1背包问题
实验十三 最小重量机器设计问题
实验十四 最小权顶点覆盖问题
实验十五 集合相等问题
实验十六 战车问题
实验一 统计数字问题
1、问题描述：
一本书的页码从自然数1 开始顺序编码直到自然数n。书的页码按照通常的习惯编排，每个页码都不含多余的前导数字0。例如，第6 页用数字6 表示，而不是06 或006 等。数字计数问题要求对给定书的总页码n，计算出书的全部页码中分别用到多少次数字0，1， 2，…，9。
2、题目分析：
考虑由0,1,2,…,9组成的所有n位数。从n个0到n个9共有个n位数，在这些n位数中，0,

图论实验三个案例

单源最短路径问题 1.1 Dijkstra算法

Dijkstra算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。其基本思想是，设置一个顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。设v是图中的一个顶点，记l(v)为顶点

v到源点v1的最短距离，

Dijkstra算法：

?vi,vj?V，若

(vi,vj)?E，记vi到

vj的权

wij??。

① S?{v1},l(v1)?0；?v?V?{v1},l(v)??,i?1,S?V?{v1}； ② S??，停止，否则转③；

③

l(v)?min{l(v),d(vj,v)}，

vj?S，?v?S；

④ 存在vi?1，使l(vi?1)?min{l(v)}，v?S； ⑤ S?S?{vi?1}，S?S?{vi?1}，i?i?1，转②；

实际上，Dijkstra算法也是最优化原理的应用：如果v1v2?vn?1vn是从v1到vn的最短路径，则v1v2?vn?1也必然是从v1到vn?1的最优路径。

在下面的MATLAB实现代码中，我们用到了距离矩阵，矩阵第i行第j行元素表示顶点vi到

vj的权

wij，若vi到

vj无边，则

wij?realmax，其中realmax

语言的学习基础,100个经典的算法

C语言的学习要从基础开始，这里是100个经典的算法－１C语言的学习要从基础开始，这里是100个经典的算法

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔

子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数

为多少？

__________________________________________________________________

程序分析：兔子的规律为数列1,1,2,3,5,8,13,21....

___________________________________________________________________

程序源代码： main() {

long f1,f2; int i; f1=f2=1;

for(i=1;i<=20;i++)

{ printf(\

if(i%2==0) printf(\控制输出，每行四个*/ f1=f1+f2;/*前两个月加起来赋值给第三个月*/ f2=f1+f2;/*前两个月加起来赋值给第三个月*/ } }

上题还可用一维数组处理，you try!

题目：判断101-20

离散数学图论部分综合练习

一、单项选择题

1．设图G的邻接矩阵为

?01?10??10

??01??01100?011??000?

?001?010??

则G的边数为( )．

A．6 B．5 C．4 D．3

2．已知图G的邻接矩阵为

， 则G有（ ）．

A．5点，8边 B．6点，7边 C．6点，8边 D．5点，7边

3．设图G＝，则下列结论成立的是 ( )．

A．deg(V)=2?E? B．deg(V)=?E? C．?deg(v)?2E D．?deg(v)?E

v?Vv?Va ? d? ? c

图一

b ? ? f

?e

4．图G如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ． A．{(a, d)}是割边 B．{(a, d)}是边割集 C．{(d, e)}是边割集 D．{(a, d) ,(a, c)}是边割集

5．如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A．e是割点