线性规划经典例题数学建模

线性规划常见题型及解法

一、求线性目标函数的取值范围

?x?2?例1、 若x、y满足约束条件?y?2，则z=x+2y的取值范围是 （ ）

?x?y?2?A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5]

解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将

y 2 O 2 B y =2 x x + y =2 A l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值

2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A

x=2 二、求可行域的面积

?2x?y?6?0?例2、不等式组?x?y?3?0表示的平面区域的面积为 （ ）

?y?2? A、4 B、1 C、5 D、无穷大

解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC

的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B

y x＋y – 3 = 0 M A O B y =2 C x 2x + y – 6= 0 = 5 三、求可行域中整点个数

例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个

y ?x?y?2?x?y?2?解：|x|＋|y|≤2等价于???x?y?2???x?y?2(x?0,y?0)(x?0,y?0)

红十字会善款投资优化设计

摘要

作为慈善机构，某省红十字会为救助四川灾区患病儿童，打算将救灾的剩余善款存入银行或购买国库券，为了充分利用这笔善款，必须要做出合理的分配方案来提高每年的救助金额，并且保证在n年末仍保留原有善款数额，才能最大限度使用剩余善款。

为了给红十字会提供一种最优方案，本文本着为红十字会设计一种能最大限度使用善款存款本息且n年末仍保留原有善款数额的原则，以n年内用于存款或购买国库券的利息额之和的最大值为目标函数，运用线性规划的相关知识，并通过LINGO软件对模型进行求解，递出了一种符合题目要求的最优分配方案。

关键词：线性规划，LINGO软件

一、问题的重述

某省红十字会打算将四川特大地震后全国人民捐款救灾的剩余善款存入银行或购买国库券。

红十字会计划在n年内用此剩余善款的部分本息救助患病儿童，并使每年的救助金额大致相同，且在n年内仍保留原有善款数额。

通过设计最佳的使用方案，提高每年的救助金额，帮助红十字会在如下情况下，设计这笔剩余善款的使用方案，并对M?5000万元，n?10年给出具体结果。

（1） 只在银行存款而不购买国库券； （2） 既可存款也可以购买国库券；

（3） 红十字会在剩余的善款到位后的第三年要举行成

数学建模 非线性规划(xin)

非线性规划 (Nonlinear Programming)第一章 一般的非线性规划问题§1.1 问题概论

(模型) min s .t

f (x)

g i ( x ) 0, i 1,..., m h j ( x ) 0, j 1,..., n1

数学建模 非线性规划(xin)

(两类问题)无约束极值问题与约束极值问题

(一些基本定义)梯度

df df T f ( x) ( ,..., ) dx1 dxn

Hesse矩阵

H ( x)

f11 f m1

f1n f mn

Jaccobi矩阵

f1T F ( x ) f T n 2

数学建模 非线性规划(xin)

§ 1.2 最优解分类 (注：不一定存在)

定义1.2.1 整体(全局)最优解 定义1.2.2 局部最优解 (已有算法基本都是求局部 最优解的)§ 1.3 凸集与凸函数 定义1.3.1 凸集 定义1.3.2 (严格)凸函数 称定义在凸集K上的实值 ，有： 函数f (x)为凸函数，若 x1,x2 K及 01 f ( x1

线性规划

数学建模案例之线性规划 奶制品的生产与销售

2010.10

线性规划

引优化问题及其一般模型：

言

优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中 最常遇到的问题之一。例如： 设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸， 使 结构总重量最轻； 公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格，使所获 利润最高； 调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点 到需求点的运量和路线，使运输总费用最低； 投资者要选择一些股票,债券下注,使收益最大,而风险最小 …………

线性规划

引

言

一般地，优化模型可以表述如下：

min z f ( x ) s.t . gi ( x ) 0 ,= 1, , i 2, m这是一个多元函数的条件极值问题，其中 x = [ x 1 , x 2 , … , x n ]。

许多实际问题归结出的这种优化模型，但是其决策变量个数 n 和约束条件个数 m 一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不 能简单地用微分法求解，数学规划就是解决这类问题的有效方法。

线性规划

引数学规划模型分类:

言

“数学规划是运筹学和管理科学中应用及其广泛的分支。在许多情况下， 应用数学规划取得的如此成功，以致它的用途

线性规划常见题型及解法

由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围

?x?2?例1、 若x、y满足约束条件?y?2，则z=x+2y的取值范围是 （ ）

?x?y?2?A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5]

解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将

l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值 2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A

y 2 O 2 B y =2 x x + y =2 A x=2 二、求可行域的面积

?2x?y?6?0?例2、不等式组?x?y?3?0表示的平面区域的面积为 （ ）

?y?2? A、4 B、1 C、5 D、无穷大

解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC

的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B

y x＋y – 3 = 0 M A O B y =2 三、求可行域中整点个数

例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个

C x 2x + y

例1 (任务安排)某厂计划在下月内生产4种产品B1，B2，B3，B4。每种产品都可用三条流水作业线A1，A2，A3中的任何一条加工出来．每条流水线（Ai）加工每件产品（Bj）所需的工时数(i＝1,2,3,j=1,2,3,4)、每条流水线在下月内可供利用的工时数及各种产品的需求均列表于4.1中．又A1，A2，A3三条流水线的生产成本分别为每小时7，8，9元。现应如何安排各条流水线下月的生产任务，才能使总的生产成本最少？ 产品 每件产品耗时数 流水线 A1 A2 A3 需求量/件 B1 B2 B3 B4 2 1 3 2 3 2 4 4 1 2 1 2 200 150 250 300 可用工时数 1500 1800 2000 生产成本 7 8 9

例2 (外购合同)某公司下月需要B1，B2，B3，B4四种型号的钢板分别为1000，1200，1500，2000吨。它准备向生产这些钢板的A1，A2，A3三家工厂订货。该公司掌握了这三家工厂生产各种钢板的效率（吨/小时）及下月的生产能力（小时），如表4.2所示。而它们销售各种型号钢板的价格如表4.3所示。该公司当然希望能以最少的代价

线性规划和概率论的应用论文

郑州师范学院 10级数学系 数学与应用数学二班

李玲玲 15036131624

1

线性规划及概率统计的应用和体会

摘要：随着现代生产的规模越来越大，各个部门的相互联系越来越密切和复杂，

在生产的组织与计划、交通与运输、财贸等方面都要求有新的数学方法来

为他们服务。所以我对学习线性规划、概率统计比较感兴趣，对它的应用的总结他的思考较多。

应用：一个工厂或车间有各种不同类型的车床各若干台，各种不同车床

生产各种零件的效益不同，在一个生产周期，应如何安排各车床的生产时间使得成套的产品总量最大，根据问题运用运筹学知识，统筹安排，列出约束条件，追寻整个问题的某个整体指标最优的安排方案，以使人力物力消耗最少而所获经济效益最高。篮球赛中若一方胜四场（不出现平局），为什么实力相差越大比赛次数越少，实力相当比赛次数越多。

体

313数学教育1、2班，510数学教育1、2、3班数学建模上机测试题，需要把运行结果写出来。模型包括目标函数、约束条件，编写的程序和程序运行结果四部分内容。写在作业本上。

按学号顺序做，如35号同学做习题35

习题1：某厂计划生产甲、乙、丙三种零件，有机器、人工工时和原材料的限制，有关数据见下表： 机器（时） 人工（时） 原材料（公斤） 产品售价（元） 产品甲 10 5 1 10 产品乙 5 10 1 15 产品丙 2 4 2 10 资源总量 3000 2000 500 1、 试建立获得最大产值的生产计划的线性规划模型。 2、 若原材料为2元/公斤，试建立获得最大利润生产计划的线性规划模型。

习题2：一塑料厂利用四种化工原料合成一种塑料产品。这四种原料含A、B、C的成分见下表，这种塑料产品要求含A为25%，含B、C都不得少于30%。问各种原料投放比例为多少能使成本最低？试建立线性规划模型。 原料 成分 含A 含B 含C 原料价（元） 1 30% 20% 40% 20 2 40% 30% 25% 20 3 20% 60% 15% 30 4 15% 40% 30% 15

习题3：建立以下线性规划模型

1）某家具厂生产桌椅，每张

篇一：典型例题：简单的线性规划问题

典型例题

【例1】求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.

【例2】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?

参考答案

例1：

【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.

【解】｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为

或其平面区域如图：

或或

∴面积S=×4×4=8

【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.

例2：

【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.

【解】设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么

z=252x+160y，

作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图

作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.

观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满

机械工程学院工业工程专业

学号： 姓名：

线性规划问题建模与求解

一．实验目的

1． 掌握线性规划问题建模基本方法。

2． 熟练应用Excel“规划求解”功能对线性规划问题进行建模与求解。

3．掌握线性规划问题的对偶理论和灵敏度分析。

二．实验设备 硬件：PC机。

软件：Microsoft Excel。

三．实验内容

1．建立线性规划问题的数学模型。

2．利用Excel“规划求解”功能对线性规划问题进行建模与求解。 3．根据实验优化结果，进行灵敏度及经济分析。

四．实验步骤

某出版单位有4500个空闲的印刷机时和4000个空闲的装订工时，拟用于下列4种图书的印刷和装订。已知各种书每册所需的印刷和装订工时如表2所示。

表2 印刷和装订工时数据表

工 序 书 印刷 装订 预期利润（千元/千册） 问：

①该出版单位为了实现利润最大化，如何安排4种图书的生产？ ②该单位是否愿意出50元的加班费，让工人加班1小时？

③由于管理工作的进步，使得第1种产品成本每件下降0.2元，此时得最优生产方案是否有变化，总利润是多少？

④出版第2种书的方案之一是降低成本，若第2种书的印刷加装订成本合计每册6元，则第2种书的成本为多少时，