函数极限与数列极限的关系

第３０卷

２０１０正第６期１１月高师理科学刊ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｏｆＴｅａｃｈｅｒｓ’ＣｏｌｌｅｇｅａｎｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＶ０１．３０Ｎｏ．６ＮＯＶ．２０１０

文章编号：１００７—９８３１（２０１０）０６—００３５—０４

函数上、下极限与数列上、下极限关系的探讨

张金

（宿迁高等师范学校数学系，江苏宿迁２２３８００）

摘要：将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨

与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题．

关键词：函数；数列；上极限；下极限

中图分类号：０１７１文献标识码：Ａｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—９８３１．２０１０．０６．０１３

１引言及预备知识

数列的上、下极限对于研究数列的性质有重要作用，本文将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题．

引理１【Ｊ脚有界数列矗。｝至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点．

定义１ｕ粥３有界数列｛％｝的最大聚点万与最小聚点堡分别称为数列扛。）的上极限与下极限，分别记作为万＝ｌｉｍｘ。，一ａ＝一ｌｉｍＸ。．＾—＋∞ｎ－－＇－￡ｏ

引理２ｕ脚任

数列的极限

年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____

总分 一 二

得分 阅卷人 一、选择题(共40题，题分合计200分)

1.无穷数列??1??4n2?1??各项的和等于 113A.1 B. 2 C. 4 D.2

132.无穷等比数列｛an｝中，a1=2，q=4设Tn=a22+a24+a26+…+a2lim2n，则n??Tn等于 96A.28 B.7 C.2 D.1

3.已知等比数列｛an｝中，a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=-3，Sn=a1+a2+a3+…+alimn，则n??Sn等于

2748A.4 B.175 C.6 D.12

limS1n??n?4.在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足

a1,那么a1

的取值范围是

A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,2)

三

第1页，共23页

5.

n??limnC2nn?1C2n?2等于

11A.0 B.2 C.2 D.4

数列的极限

年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____

总分 一 二

得分 阅卷人 一、选择题(共40题，题分合计200分)

1.无穷数列??1??4n2?1??各项的和等于 113A.1 B. 2 C. 4 D.2

132.无穷等比数列｛an｝中，a1=2，q=4设Tn=a22+a24+a26+…+a2lim2n，则n??Tn等于 96A.28 B.7 C.2 D.1

3.已知等比数列｛an｝中，a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=-3，Sn=a1+a2+a3+…+alimn，则n??Sn等于

2748A.4 B.175 C.6 D.12

limS1n??n?4.在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足

a1,那么a1

的取值范围是

A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,2)

三

第1页，共23页

5.

n??limnC2nn?1C2n?2等于

11A.0 B.2 C.2 D.4

数列、函数极限和函数连续性

数列极限

定义1（??N语言）：设?an?是个数列，a是一个常数，若???0，?正整数N，使得当n?N时，都有an?a??，则称a是数列?an?当n无限增大时的极限，或称?an?收敛于a，记作liman?a，或an?a?n????.这时，也称?an?的极限

n???存在.

定义2（A?N语言）：若A?0,?正整数N，使得当n?N时，都有an?A,则称

??是数列?an?当n无限增大时的非正常极限，或称?an?发散于??，记作

liman???n???或an????n????，这时，称?an?有非正常极限，对于??,?的定

义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.

1.2 数列极限求法的常用定理

定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若?an?和?bn?为收敛数列，则

?an?bn?,?an?bn?,?an?bn?也都是收敛数列，且有

lim?an?bn??liman?limbn, lima?b?lima?limb.?nn?nnn??n??n??n??n??n??

?an?若再假设bn?0及limbn?0，则??也是收敛数列，且有

专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案

一、单项选择题

1．下面函数与y?x为同一函数的是（ ） A.y?∴选C

4．下列函数在???,???内无界的是（ ）

A.y?1 B.y?arctanx 21?x?x? B.y?2C.y?sinx?cosx D.y?xsinx

解: 排除法：A

x2 C.y?elnx D.y?lnex

解：?y?lnex?xlne?x，且定义域

xx1有界，??21?x2x2Barctanx??2有界，C sinx?cosx?2

???,???， ∴选D

2．已知?是f的反函数，则f?2x?的反函数是（ ）

故选D 5．数列?xn?有界是limxn存在的（ ）

n??A 必要条件 B 充分条件

C 充分必要条件 D 无关条件 解

奥数

一、数列极限的概念辨析

1.若 lim an = C , 那么2 2 n →∞

A. lim an = cn →∞ n →∞

B. lim an = cn →∞ n →∞

B. lim an =| c | D. lim an可能不存在

奥数

2.若 lim an = A, lim bn = B, 则n →∞ n →∞

下列各式中必定成立的是 n n A. lim(nan ) = nA B. lim an = An →∞ n →∞

an A C. lim = n →∞ b B n D. lim(man + kbn ) = mA + kBn →∞

奥数

3.对于下列五个命题： 对于下列五个命题： 对于下列五个命题

an p (1)若 lim an = p, lim bn = r , 则 lim = n →∞ n →∞ n →∞ b r n(2)若 lim(anbn ) = pr , 则 lim an = p, lim bn = rn →∞

(3)若 lim an = p, 则 lim (a ) = p (m为常数)m n →∞ n →∞

n →∞ m n

n→

(4)若 lim an = p, 则 lim (nan ) = npn →∞ n →∞

c (5)若 lim =

第一章 函数与极限

一、填空题 1．已知f(sin1x2)=1+cosx，则f(cos1xx2)= 。

2．f(x)?ex?e1?1，则f(x)连续区间为 ，f(?0)= ，

ex?exf(?0)= 。

(4?3x)223．limx??x(1?x) = 。

4．x?0时，tgx?sinx是x的 阶无穷小。 5．limxsinx?0k1x=0成立的k为 。

6．limeatctgx? 。

x???x?ex?1,x?07．f(x)??，在x=0处连续，则b= 。

?x?b,x?08．limln(3x?1)6xx?0? 。

二、单项选择题

1．设f(x)、g(x)是[?l,l]上的偶函数，h(x)是[?l,l]上的奇函数，则 所给的函数必为奇函数。

（A）f(x)?g(x)；（B）f(x)?h(x)；(C)f(x)[h(x)?g(x)]；（D）f(x)g(x)h(x)

《数列的极限》教学设计

南海市桂城中学 邝满榆

(一)教材分析

数列和极限是初等数学和高等数学衔接与联系最紧密的内容之一，是学习高等数学的基础，微积分中所有重要概念，如导数、定积分等，都是建立在极限概念的基础上，极限的概念是微积分的重要概念和重点，本节数列的极限是极限的一类，与函数极限形式不同，但它们的思想是完全相同的，通过数列极限(ε－N定义)概念的教学，使学生初步理解极限的思想方法，为学习高等数学打下基础。

(二)教学对象

学生在初中已知道：当圆的内接正多边形的边数不断的成倍增加时，多边形的周长Pn不断增大，并越来越接近于圆的周长C。在高一立几推导球的表面积公式时也接触过极限的思想。这些都为学生理解数列极限的定义打下基础。但因为学生以前接触的代数运算都是有限运算，而极限概念中含有“无限”，比较抽象，又要将“无限”定量描述出来，即用ε－N的语言叙述出来更困难了，所以这一课是数列极限这一章中学生最难听得懂，教师也最难讲得好的一课。讲好的关键是结合数列的图象和表格讲清“无限”的几何意义，使学生对数列极限有较丰富的感性认识并讲清“无限趋近”和“无限增大”的意义和二者之间的联系。

(三)教学媒体：投影仪 (四)教学目标

⑴掌握数列极限的定义。

⑵应

函数与极限资料二 2011-10-21

分类讨论求极限

例 已知数列?an?、?bn?都是由正数组成的等比数列，公比分别为p,q，其中p?q，且p?1，q?1，设cn?an?bn，Sn为数列?Cn?的前n项和，求limSn.

n??S?1na1pn?1b1qn?1解： Sn? ?p?1q?1????Sna1?q?1?pn?1?b1?p?1?qn?1. ?n?1n?1Sn?1a1?q?1?p?1?b1?p?1?q?1????????分两种情况讨论； （1）当p?1时，∵ p?q?0，故0?q?1， p∴limSn n??Sn?1???qn?1?1???n?p?a1?q?1???1?pn???b1?p?1???pn?pn??????????? lim?n?1?????q?1?1??pn?1?a1?q?1????????1??bp?1?n?1n?1???pn?1?1?p???????p????p?a1?q?1??1?0??b1?p?1??0 a1?q?1??1?0??b1?p?1??0a1?q?1??p a1?q?1??p?（2）当p?1时，∵ 0?q?p?1， ∴ limSn

n??Sn?1a1?q?1?pn

《数列的极限》教学设计

南海市桂城中学 邝满榆

(一)教材分析

数列和极限是初等数学和高等数学衔接与联系最紧密的内容之一，是学习高等数学的基础，微积分中所有重要概念，如导数、定积分等，都是建立在极限概念的基础上，极限的概念是微积分的重要概念和重点，本节数列的极限是极限的一类，与函数极限形式不同，但它们的思想是完全相同的，通过数列极限(ε－N定义)概念的教学，使学生初步理解极限的思想方法，为学习高等数学打下基础。

(二)教学对象

学生在初中已知道：当圆的内接正多边形的边数不断的成倍增加时，多边形的周长Pn不断增大，并越来越接近于圆的周长C。在高一立几推导球的表面积公式时也接触过极限的思想。这些都为学生理解数列极限的定义打下基础。但因为学生以前接触的代数运算都是有限运算，而极限概念中含有“无限”，比较抽象，又要将“无限”定量描述出来，即用ε－N的语言叙述出来更困难了，所以这一课是数列极限这一章中学生最难听得懂，教师也最难讲得好的一课。讲好的关键是结合数列的图象和表格讲清“无限”的几何意义，使学生对数列极限有较丰富的感性认识并讲清“无限趋近”和“无限增大”的意义和二者之间的联系。

(三)教学媒体：投影仪 (四)教学目标

⑴掌握数列极限的定义。

⑵应