导数含参数讨论单调性例题
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含参数导数常见的讨论
含参数导数问题的三个基本讨论点
导数是研究函数图像和性质的重要工具,自从导数进入高中数学教材以来,有关导数问题是每年高考的必考试题之一。随着高考对导数考查的不断深入,含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论,因而它也是绝大多数考生答题的难点,具体表现在:他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过,而且在众多的教辅资料中也难得一见,本文就来讨论这一问题,供大家参考。
一、
求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),从而引起讨论。
?1,x?1?例1(2008年高考广东卷(理科) 设k?R,函数f(x)??1?x,F(x)?f(x)?kx,x?R,
??x?1,x?1?试讨论函数F(x)的单调性。
?1?k?1?x?2,x?1??12?kx,x?1,???1?x?,F'(x)??解:F(x)?f(x)?kx??1?x。
??x?1?kx,x?1?1?2kx?1?,x?1??2x?1?考虑导函数F'(x)?0是否有实根,从而需要对参数k的取值进行讨论。
1?k?1?x?2(一)若x?1,则F'(x)??1?x?2。由于当k?0时,F'(x)?0无实根
导数的应用--单调性-知识讲解 -
导数的应用一---函数的单调性
要点一、函数的单调性与导数的关系:我们知道,如果函数f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说f(x)在这一区间具有单调性,先看下面的例子:
函数y?f(x)?x?4x?3的图象如图所示。考虑到曲线y?f(x)的切线的斜率就是函数f(x)的导数,从图象可以看到:在区间(2,+∞)内,切线的斜率为正,即f'(x)?0时,
2f(x)为增函数;在区间(-∞,2)内,切线的斜率为负,即f'(x)?0时,f(x)为减函数。
导数的符号与函数的单调性:一般地,设函数y?f(x)在某个区间内有导数,则在这个区间上,
①若f?(x)?0,则f(x)在这个区间上为增函数; ②若f?(x)?0,则f(x)在这个区间上为减函数; ③若恒有f?(x)?0,则f(x)在这一区间上为常函数.
反之,若f(x)在某区间上单调递增,则在该区间上有f?(x)?0恒成立(但不恒等于0);若f(x)在某区间上单调递减,则在该区间上有f?(x)?0恒成立(但不恒等于0).
要点诠释:1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率,故当在某区间上f?(x)?0,即切线斜率为正时,函数f(x)在这个区间上为增函数;当在某区间上f?(x)?0,即切线斜率为
函数的单调性与导数3
1.3.1 函数的单调性与导数
6.已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的 单调增区间;(2)若f(x)在定义域 R内单调递增,求a的取值范围; (3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0] 上单调递减,在[0,+∞)上单调递增? 若存在,求出a值;若不存在,说明理 解析:f′(x)=ex-a. 由. (1)若a≤0,f′(x)=ex-a≥0恒成立, 即f(x)在R上递增. 若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna. ∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).
(2)∵f(x)在R内单调递增,∴f′(x)≥0在R上恒成立
∴ex-a≥0,即a≤ex在R上恒成立.∴a≤(ex)min,又∵ex>0,∴a≤0. (3)解法一由题意知ex-a≤0在(-∞,0]上恒成立. ∴a≥ex在(-∞,0]上恒成立. ∵ex在(-∞,0]上为增函数.
∴x=0时,ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在[0,+∞)上恒成立. ∴a≤ex在[0,+∞)上恒成立.∴a≤1,∴a=1. 解法二由题意知,x=0为f(x)的极小值点. ∴f′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1.
例4:方程根的问题1 求证:方
1.3.1函数的单调性与导数
3.3数导研在究函中的数用应3.3.1函数单调性与导 数
v 观察、一P2: h h2t( ) 49.t 2 6 5t. 1 0h (' t) .9t 8 65.
0a
bt
0 a t 运b动从起员跳最高到点,以及从最点高入水到 两这时间的段运动态状什有区别?么1()运动从员跳到最高点,起离面水的度高h随时间的增t加而 加增即,h(t是增函)数。应地,v相t() h '(t ) 0 .2)(最高点到入从水运,员动离水面的高h随时度间t增加的而减小 ,h即()是t减数。函应地,v(t相) h (t') 0.
思考:这种况是情否有一具性呢般?
y
y xy
y x2
xO
xO
y
y x3
y
y 1xx
OxO
y函数单调加增f ( x>0)
f(x) 0
=数函单减调少f ( x<) 0 f x)<( f0f x)(<0 ( x)<0f ( x)<0
f (x)>0f x()>0f (x)0>0x
Ox
数单函性的判调定定:一理地般函,的单数性调与其导数的函正有如负下系关:
某在区间(个 a b,内 如)果f ´x) > 0,(函数则在个这间区
函数的单调性与导数导学案
2014-2015学年度第一学期南阳五中高二数学导学案(文)
§4.1.1导数与函数的单调性
学习目标
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理;2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
学习过程
一、课前准备(预习教材,找出疑惑之处) 复习1:以前,我们用定义来判断函数的单调性。 对于任意的两个自变量x1,x2∈I,
当x1<x2时,都有f(x1)?f(x2),那么函数f(x)在区间I上单调递增。 当x1<x2时,都有f(x1)?f(x2),那么函数f(x)在区间I上单调递减。 复习2: C'?0;(xn)'?nxn?1;(sinx)'?cosx;(cosx)'??sinx;(lnx)'?1; x(logax)'?复习3:
1;(ex)'?ex;(ax)'?axlna; xlna[f(x)?g(x)]'?f?(x)?g?(x)f(x)f?(x)g(x)?g?(x)f(x)[]??g(x)g2(x)[f(x)g(x)]'?f?(x)g(x)?g?(x)f(x)
二、新课导学
探究任务一:函数的导数与函数的单调性的关系:
问题:我们知道,曲线y?f(x)在点x0的切线的斜率就是函数y?f(x)在该点的导数f?(x0)。从函数y?x?4x?3的图
1.3.1 利用导数判断函数的单调性
利用导数判断函数的单调性
日照实验高中2007级数学导学案---导数
利用导数判断函数的单调性
证法一:(用以前学的方法证)任取两个数 x1,x2∈(0,+∞)设 x1<x2. f(x1)-f(x2)=
1 1 x2 x1 = x1 x2 x1 x2
教师备课 学习笔记
∵x1>0,x2>0,∴x1x2>0
∵x1<x2,∴x2-x1>0, ∴
x2 x1 >0 x1 x2∴f(x)=
∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) 证法二:(用导数方法证) ∵f′(x)=(
1 在(0,+∞)上是减函数. x
1 1 - )′=(-1)·x 2=- 2 ,x>0, x x 1 1 <0. ∴f′(x)<0,∴f(x)= 2 在(0,+∞)上是减函数. 2 x x
∴x2>0,∴-
例 4 求函数 y=x2(1-x)3 的单调区间. 解:y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1) =x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2·(2-5x) 令 x(1-x)2(2-5x)>0,解得 0<
1.3.1 利用导数判断函数的单调性
利用导数判断函数的单调性
日照实验高中2007级数学导学案---导数
利用导数判断函数的单调性
证法一:(用以前学的方法证)任取两个数 x1,x2∈(0,+∞)设 x1<x2. f(x1)-f(x2)=
1 1 x2 x1 = x1 x2 x1 x2
教师备课 学习笔记
∵x1>0,x2>0,∴x1x2>0
∵x1<x2,∴x2-x1>0, ∴
x2 x1 >0 x1 x2∴f(x)=
∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) 证法二:(用导数方法证) ∵f′(x)=(
1 在(0,+∞)上是减函数. x
1 1 - )′=(-1)·x 2=- 2 ,x>0, x x 1 1 <0. ∴f′(x)<0,∴f(x)= 2 在(0,+∞)上是减函数. 2 x x
∴x2>0,∴-
例 4 求函数 y=x2(1-x)3 的单调区间. 解:y′=[x2(1-x)3]′=2x(1-x)3+x2·3(1-x)2·(-1) =x(1-x)2[2(1-x)-3x]=x(1-x)2·(2-5x) 令 x(1-x)2(2-5x)>0,解得 0<
课时跟踪检测(十四) 导数与函数单调性
课时跟踪检测(十四) 导数与函数单调性
(分Ⅰ、Ⅱ卷,共2页)
第Ⅰ卷:夯基保分卷
1.函数f(x)=x+eln x的单调递增区间为( ) A.(0,+∞) C.(-∞,0)和(0,+∞)
B.(-∞,0) D.R
2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) C.(1,4)
B.(0,3) D.(2,+∞)
3.函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0,1?设a=f(0),b=f??2?,c=f(3),则( )
A.aB.c11
,+∞?上是增函数,则a的取值范围是( ) 4.若函数f(x)=x2+ax+在?2?x?A.[-1,0] C.[0,3]
B.[-1,+∞) D.[3,+∞)
5.函数f(x)=1+x-sin x在(0,2π)上的单调情况是________.
13
6.(2014·河南省三市调研)若函数f(x)=x3-x2+ax+4恰在[-1,4]上单调递减,则实
32数a的值为________.
ln x+k
7.(2014·武汉武昌区联考)已知函数f(x)=(k为常数,e是自然对数的底数),曲
ex线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求k的值; (2)求f(
课时跟踪检测(十四) 导数与函数单调性
课时跟踪检测(十四) 导数与函数单调性
(分Ⅰ、Ⅱ卷,共2页)
第Ⅰ卷:夯基保分卷
1.函数f(x)=x+eln x的单调递增区间为( ) A.(0,+∞) C.(-∞,0)和(0,+∞)
B.(-∞,0) D.R
2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) C.(1,4)
B.(0,3) D.(2,+∞)
3.函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f′(x)<0,1?设a=f(0),b=f??2?,c=f(3),则( )
A.aB.c11
,+∞?上是增函数,则a的取值范围是( ) 4.若函数f(x)=x2+ax+在?2?x?A.[-1,0] C.[0,3]
B.[-1,+∞) D.[3,+∞)
5.函数f(x)=1+x-sin x在(0,2π)上的单调情况是________.
13
6.(2014·河南省三市调研)若函数f(x)=x3-x2+ax+4恰在[-1,4]上单调递减,则实
32数a的值为________.
ln x+k
7.(2014·武汉武昌区联考)已知函数f(x)=(k为常数,e是自然对数的底数),曲
ex线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求k的值; (2)求f(
《函数的单调性与导数》评课稿
《函数的单调性与导数》评课稿
恩平一中 谭青华
本节课郑凯老师运用多种教学手段,创设了丰富、生动的教学情境,设计了新颖、活泼的学生活动。成功的地激发了学生的学习兴趣。下面我谈谈我的几点看法:
一、 教学目标
本节课的教学目标简明扼要、具体,便于实施,便于检测,注重数学思想、能力的培养、兼顾情感态度与价值观的教育。广度和深度都符合数学课程标准和教材的要求,符合学生的实际情况。教师准备的也比较充分,清楚的知道学生应该理解什么、掌握什么、学会什么。本堂课很好的完成了预定的教学目标。
二、 教学内容
执教者因材施教,充分考虑到该班学生的实际情况,把本节课分为两个课时进行。教学内容紧紧围绕教学目标展开。准确的确定了本节课的教学重、难点:探究函数的单调性与导数的关系,并在处理时,分为三个层次进行,层层递进,化难为易。学生易于理解、掌握。很好的处理了新旧知识的结合点,抓住知识的生长点,讲授具有启发性,层次详略得当。对于课后作业的布置分必做题、选做题、思考题。很好的照顾到了不同知识水平的学生,鼓励学生不断努力、挑战自我,体现了分层教学思想。
三、 教学方法
教师本堂课主要采用启发式、探究式的教学方法,并对学生进行学法的指导。使学生积极思维、主动学习、自主学习,从而达到会学