高中数学合情推理和演绎推理

4 推理与证明知识回顾

对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力．通过本章的复习，培养推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．

一、推理部分

1．知识结构框图：

2．合情推理：＿＿＿＿与＿＿＿＿统称为合情推理．

①归纳推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

②类比推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

定义特点：归纳推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；两者都能由已知推测、猜想未知，从而推出结论．但是结论的可靠性有待证明． ③推理过程：

从具体问题出发→＿＿＿＿＿＿→归纳类比→＿＿＿＿＿＿．

3．演绎推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；

②学习要点：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；

推理模式：“三段论”：

ⅰ大前提：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

ⅱ小前提：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

ⅲ结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

集合简述：

ⅰ大前提：x M ∈且x 具有性质P ；

ⅱ小前提：y S ∈且S M ?；

ⅲ结论：y 也具有性质P ；

４．合情推理与演绎推理的关系：

①合情推理中的归纳推理是由特殊到一般的推理，演绎推

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2.1.1 合情推理

A级 基础巩固

一、选择题

1．下列推理是归纳推理的是( )

A．F1，F2为定点，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得P的轨迹为椭圆 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

x2y2

C．由圆x＋y＝r的面积πr，猜想出椭圆2＋2＝1的面积S＝πab

ab2

2

2

2

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理． 答案：B

2．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是( )

A．白色 C．白色的可能性大

B．黑色

D．黑色的可能性大

解析：由题图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．

答案：A

3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )

解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．

答案：A

12

第2章 推理与证明 §2.1 合情推理与演绎推理

2．1.1 合情推理

课时目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．

1．归纳推理

(1)定义：从__________中推演出__________的结论，这样的推理称为归纳推理． (2)思维过程

→ →

2．类比推理 (1)定义

根据两个(或两类)对象之间在某些方面的________或________，推演出它们在其他方面也__________或________，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．

(2)思维过程

观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论

3．合情推理的含义

合情推理是根据已有的事实和正确的结论，___________________________________等推测出某些结果的推理过程．

____________和____________是数学活动中常用的合情推理．

一、填空题

1．数列2,5,11,20，x,47，?中的x的值为________．

2．如图由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：

通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有______根；第n

第45讲 合情推理与演绎推理

1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理与类比推理．

2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行简单的演绎推理．

3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异．

知识梳理 1．合情推理

(1)归纳推理：由某类事物的 部分 对象具有某些特征，推出该类事物的 全部 对象都具有这些特征的推理，或者由个别事物概括出 一般结论 的推理．归纳推理是由部分到整体、由 个别 到 一般 的推理．

(2)类比推理：由两类对象具有 某些类似特征 和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理．

(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察 ， 分析 ， 比较 ， 联想 ，再进行 归纳 ， 类比 ，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

2．演绎推理

(1)从 一般性 的原理出发，推出某个 特殊情况 下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，演绎推理是由 一般 到 特殊 的推理．

(2)三段论是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提—— 已知的一般原理 ； ②小前提—— 所研究的特殊情况 ；

③结论—— 根据一般

限时规范检测(三十九) 合情推理与演绎推理

(时间：45分钟 分值：69分)

一、选择题(共5个小题，每题5分)

1．推理“①矩形是平行四边形；②正方形是平行四边形；③正方形是矩形”中的小前提是( )

A．① B．② C．③ D．①和②

2．(2012·江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，?，则a10＋b10＝( )

A．28 B．76 C．123 D．199

3．(2012·福州质检)将正奇数1,3,5,7，?排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是( )

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列

15 17 31

1 3 5 7 13 11 9

19 21 23 29 27 25 ??

A．第一列 B．第二列 C．第三列 D．第四列 1

4．(2012·临沂模拟)已知x>0，由不等式x＋≥2

x

3xx414xx4

x·＝2，x＋2＝＋＋2≥3

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第1讲 合情推理与演绎推理

【2015年高考会这样考】

1．从近年来的新课标高考来看，高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档题为主．

2．演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题． 【复习指导】

本讲复习时，要注意做好以下两点：一要联系具体实例，体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵及特点，并会用这些方法分析、解决具体问题．二由于归纳、类比、演绎推理思维方式贯穿于高中数学的整个知识体系，所以复习时要有意识地培养逻辑分析等方面的训练．

基础梳理

1．合情推理

(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察

2.1 合情推理与演绎推理

2.1.1 合情推理

1．下面使用类比推理恰当的是( )．

A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b” B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc” a＋bab

C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“c＝c＋c(c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn” 解析 由实数运算的知识易得C项正确． 答案 C

2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )． 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111 …

A．1 111 110 C．1 111 112

B．1 111 111 D．1 111 113

解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111. 答案 B

3．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )．

A．白色 C．白色可能性大

B．黑色

D．黑色可能性大

解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色． 答案 A

学案37合情推理与演绎推理

导学目标： 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．

自主梳理

自我检测

1．(2010·山东)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x) 等于()

A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)

2．(2010·珠海质检)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d ∈Q，则a＋b2＝c＋d2?a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0?a>b”．其中类比结论正确的个数是()

A．0 B．1 C．2 D

课时跟踪检测（十二） 合情推理

一、题组对点训练

对点练一 数(式)中的归纳推理

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n·an(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )

2222A． C．n D． 2 B．?n＋1?n?n＋1?2－12n－112

解析：选B 由a1＝1，S2＝2·a2＝a1＋a2得a2＝，

31

由a1＋a2＋a3＝9×a3得a3＝，

6

12

由a1＋a2＋a3＋a4＝4·a4得a4＝，…，

10猜想an＝

2

，故选B.

n?n＋1?

2

2．将正整数排列如下图： 1

2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 …

则2 018出现在 A．第44行第81列 C．第44行第82列

B．第45行第81列 D．第45行第82列

解析：选D 由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n，因为44＝1 936，45＝2 025，且1 936<2 018<2 025，所以2 018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D.

3．观察下列各式：1＝12＋3＋4＝33＋4＋5＋6＋7＝54＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝7，…可以得出的一般结论是(

2.1.1合情推理●归纳推理 合情推理● 合情推理

古时候一个地主有4 古时候一个地主有4个儿 大儿子叫大宝， 子，大儿子叫大宝，二儿子 叫二宝，三儿子叫三宝， 叫二宝，三儿子叫三宝，那 小儿子叫什么名字呢？ 小儿子叫什么名字呢

小宝

问题情境： 问题情境：

当看到天空乌云密布，燕子低飞， 当看到天空乌云密布，燕子低飞， 蚂蚁搬家等现象时， 蚂蚁搬家等现象时，我们会得到一个 天要下雨了。 天要下雨了。 判断： 判断：

已知 判断 前提

新的 判断 结论

是人们思维活动的过程， 推理 是人们思维活动的过程，是根 据一个或几个已知的判断来确定一个新的 判断的思维过程。

铜能导电 铝能导电 金能导电 一切金属都 能导电. 能导电

部分 银能导电。

整 体

个别 三角形内角和为180 三角形内角和为凸四边形内角和为360 凸四边形内角和为 凸五边形内角和为540 凸五边形内角和为

。 。

}

凸n边形内 边形内 一 般 角和为

(n 2) 180o.

统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象 通过从总体中抽取部分对象进 部分对象进 整体做出推断 行观测或试验，进而对整体做出推断. 行观测或试验，进而对整体做出推断.

成语“一叶知秋” 成语“一叶知秋” 意思是从一片树叶