空间向量法向量的运用

难点3 运用向量法解题

平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题. ●难点磁场

(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC边上的中线

AM的长；(2)∠CAB的平分线AD的长；(3)cosABC的值.

●案例探究 ［例1］如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求证：C1C⊥BD. (2)当

CDCC1的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.

命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力. 知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.

错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.

技巧与方法：利用a⊥b?a·b=0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可. (1)证明：设CD=a, CB=b,

难点3 运用向量法解题

平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题. ●难点磁场

(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC边上的中线

AM的长；(2)∠CAB的平分线AD的长；(3)cosABC的值.

●案例探究 ［例1］如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求证：C1C⊥BD. (2)当

CDCC1的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.

命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力. 知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.

错解分析：本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.

技巧与方法：利用a⊥b?a·b=0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可. (1)证明：设CD=a, CB=b,

从平面向量到空间向量学案

第一节 ：从平面向量到空间向量

设计人：陈维江 审核人：席静

上课时间： 班级： 姓名：

学习目标：1、理解空间向量的概念；

2、掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；

3、掌握两个空间向量的夹角、空间向量的方向向量和平面的法向量的概念。

学习重点：理解两个向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念 学习难点：理解共面向量的概念

新课学习：

看课本25-26页回答下列问题：

从平面向量到空间向量学案

做27页练习 总结：本节概念较多，多看课本，理解概念是关键。 课后作业：

陕西科技大学基础课部数学教研室

第十一讲 向量组的秩与向量空间

陕西科技大学基础课部数学教研室

§4.3 向量组的秩 §4.5 向量空间

陕西科技大学基础课部数学教研室

第三节

向量组的秩

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一、向量组的秩1.极大线性无关组 极大线性无关组 如果在A中能选出 个向量a 设有向量组 A ,如果在 中能选出 r 个向量 1 , a2 ,…,ar,满足： 满足： 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关； 向量组A 线性无关； 向量组 2)向量组 中的任一向量均可被向量组 0线性表示； 向量组A中的任一向量均可被向量组 向量组 中的任一向量均可被向量组A 线性表示； 或者满足： 或者满足： 1)向量组 向量组A 线性无关； 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关； 2)向量组 中的任何r+1个向量都线性相关 向量组A中的任何 个向量都线性相关； 2)向量组 中的任何 个向量都线性相关； 那么称向量组A 是向量组A的一个极大线性无关组 的一个极大线性无关组. 那么称向量组 0是向量组 的一个极大线性无关组.

陕西科技大学基础课部数学教研室

向量组的极大线性无关组一般是不唯一的。 向量组的极大线性无关组一般是不唯

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第十一讲 向量组的秩与向量空间

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§4.3 向量组的秩 §4.5 向量空间

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第三节

向量组的秩

陕西科技大学基础课部数学教研室

一、向量组的秩1.极大线性无关组 极大线性无关组 如果在A中能选出 个向量a 设有向量组 A ,如果在 中能选出 r 个向量 1 , a2 ,…,ar,满足： 满足： 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关； 向量组A 线性无关； 向量组 2)向量组 中的任一向量均可被向量组 0线性表示； 向量组A中的任一向量均可被向量组 向量组 中的任一向量均可被向量组A 线性表示； 或者满足： 或者满足： 1)向量组 向量组A 线性无关； 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关； 2)向量组 中的任何r+1个向量都线性相关 向量组A中的任何 个向量都线性相关； 2)向量组 中的任何 个向量都线性相关； 那么称向量组A 是向量组A的一个极大线性无关组 的一个极大线性无关组. 那么称向量组 0是向量组 的一个极大线性无关组.

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向量组的极大线性无关组一般是不唯一的。 向量组的极大线性无关组一般是不唯

3.2立体几何中的向 量方法---------方向向量与法向量

一、方向向量与法向量 1.直线的方向向量如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

A

l

a

P

直线的方向 向量不唯一

直线l的向量式方程

AP ta

练习 (, 1 2, 3 ),( B 2, 1, 2 ),(, P 1 1, 2 ) 2.已知两点 A , 点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 平面 α的向量式方程 注：平面 α的法向量 不唯一 l

a AP 0

几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互 相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m是与平面平行或在平面内， 则有

aAP

n m 0

巩固性训练11.设

a,

第一讲：空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量

一、空间向量的坐标运算

??1． 若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，则

（1）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； （2）a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； （3）?a?(?a1,?a2,?a3),??R； （4）a?b?a1b1?a2b2?a3b3； （5）a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3,(b?0,??R)； （6）a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0； （7）a?（8）cos?a,b??22a?a?a12?a2?a3；

a1b1?a2b2?a3b3a?b. ?222222a?ba1?a2?a3?b1?b2?b3?????????例1 已知a?(2,?3,5),b?(?3,1,?4),求a?b,a?b,8a,a?b,的坐标.

????2.若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)

练习1: 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB,PC的中点，且PA=AD=1，

?????求向量MN的坐标.

二、空间直角坐标系中平面

3.2立体几何中的向 量方法---------方向向量与法向量

一、方向向量与法向量 1.直线的方向向量如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量

A

l

a

P

直线的方向 向量不唯一

直线l的向量式方程

AP ta

练习 (, 1 2, 3 ),( B 2, 1, 2 ),(, P 1 1, 2 ) 2.已知两点 A , 点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3

2、平面的法向量

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 平面 α的向量式方程 注：平面 α的法向量 不唯一 l

a AP 0

几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互 相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m是与平面平行或在平面内， 则有

aAP

n m 0

巩固性训练11.设

a,

3.1.3空间向量基本定理

教学目标：

1.掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任意一向量可以用三个不共

面的向量线性表示，并且这种表示是唯一的。

2.在简单的问题中，会选择适当的基底表示任一空间向量

教学重点：空间向量基本定理

教学难点：会用适当的基底表示任一空间向量

教学过程：

一.复习回顾

1、平面向量共线定理

2、平面向量基本定理

3 共面向量定理:

问题思考：空间任意一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗？

二数学建构

空间向量基本定理：

基底：

单位正交基底：

说明：1、空间中任意不共面的三个向量都可以构成空间的一个基底；

2、由于零向量可以认为与任意一个向量共线，与任意两个向量共面，所以三个

向量不共面，就隐含着它们都不是零向量；

3、一个基底是一组向量，一个基向量是基底中的某一个向量.

推论：

三 典型例题

例1.已知向量 是空间的一个基底，从

中选哪一个向量，一定可以与向量 ， 构成空间的另一个基底？

变式：已知空间四边形OABC ，M 和N 分别是OA 、BC 的中点，点G 在MN 上，且使MG=2GN ，试用基底 表示向量 .

{,,}a b c ,,a b c =+p a b =-p a b

''''',,

《

各位专家评委：上午好！

的说课稿

说课人：利辛高级中学数学组 刘洪涛

今天我说课的课题是：高中数学北师大版选修2—1，第二章《空间向量与立体几何》第1节《从平面向量到空间向量》，下面我将从九个方面进行阐述，谈谈我对这堂课的构思及理由。

一、教材分析

本节内容是在学生系统地学习了平面向量相关内容之后，由平面向量向空间向量的一个过渡，起到呈上启下的作用，是今后更好的以向量为工具解决空间几何问题的基础，是对平面向量的扩展与升华，是空间向量的开门之作。

二、学情分析

在此之前，学生已经学习了向量的相关概念、性质与运算，掌握了用向量方法解决平面几何问题的能力。有了这些知识与方法，学生完全有能力更进一步，把平面向量向空间向量推广与过渡。

三、教学目标分析

高中数学新课程标准要求：与时俱进的认识“多基”，重视基础知识教学、基本技能训练和基本能力培养，据此，特将本节课三维教学目标设定如下：

1.知识与能力目标：

（1）使学生理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母示法； （2）掌握两个空间向量的夹角、空间直线的方向向量和平面的法向量的概念； 2．过程与方法目标：通过空间向量概念的生成，向学生渗透由特殊到一般、类比转化的数学思想，培养学生观察