立体几何高考考点分析

河北师范大学2012级数学专业14-15-2学期

中学学科教材分析与课堂教学实践

年 级：_ __ 2012级 学 号：___2012012823____ 姓 名：_ ___ 王宇 日 期： 2015年10月23日

高中立体几何部分的教材分析

一.教材分析的理论

1.教材分析的内容

立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间。所以，学习立体几何对我们认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义。《立体几何初步》这部分内容，是在义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，教材的编写力图凸显《普通高中数学课程标准》对立体几何的教学要求，通过直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法，以帮助学生实现逐步形成空间想像能力这一教学目的。

本文研究的是普通高中课程标准实验教科书《数学2》的立体几何部分。 2.教材分析的方法

教材分析的方法，经常沿用的有知识分析法，心理分析法和方法论分析法。 （1）知识分析法。知识分析首先要确定教材中的一般知识、重要知识、重点知识和扩展、应用性知识等，进而根据这些知识的内在联系，形成知识网络，必要时整理成知识

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数 学 G单元 立体几何

G1 空间几何体的结构 19．、、[2014·安徽卷] 如图1-5所示，四棱锥P - ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

图1-5 (1)证明：GH∥EF；

(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积． 19．解： (1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.

同理可证EF∥BC，因此GH∥EF. (2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK. 因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO⊥平面ABCD.

又因为平面GEFH⊥平面ABCD， 且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH. 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK， 所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD. 又EF?平面ABCD，所以GK

高一、2级部数学组

立体几何

一、考点分析

基本图形 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

?斜棱柱?底面是正多形①棱柱?棱垂直于底面??正棱柱★ ???????直棱柱?????????其他棱柱??②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形

长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体 E'D'SF' C'侧面顶点高侧面A'B' 侧棱底面 侧棱 ED底面FC斜高 DCABOH AB

2. 棱锥

棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

球面3．球

轴球心球的性质：

半径①球心与截面圆心的连线垂直于截面；

l★②r?R?d（其中，球心到截面的距离为RAr22Od、球的半径为R、截面的半径为r）

立体几何专题 1 共12页

dO1B高一、2级部数学组

★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正

1．两条异面直线所成角的求法

设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

范围 求法

2.直线与平面所成角的求法

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝3．求二面角的大小

(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小→→θ＝〈AB，CD〉．

|a·n|. |a||n|l1与l2所成的角θ π(0，] 2|a·b|cos θ＝ |a||b|a与b的夹角β [0，π] cos β＝a·b |a||b|

(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 【知识拓展】

利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离

→

设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2＋?z1－z2?2.

(2)点到平面的距离

如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为→n|→|AB·

|BO|＝

立体几何专题学科网 【例题解析】学科网 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算学科网 例1 某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a?b的最大值为学科网 A． 22

B． 23

C． 4

D． 25学科网 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为m,n,k，由题意得

m2?n2?k2?7，

m2?k2?6?n?1，学1?k2?a，1?m2?b，所以(a2?1)?(b2?1)?6?a2?b2?8，

学科网 ∴(a?b)2?a2?2ab?b2?8?2ab?8?a2?b2?16?a?b?4当且仅当a?b?2时取等号．例2下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是学科网 A．9π

B．10π

C．11π

D．12π学科网 解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是1，母线长是3，球的半径是1，故其表面积是2??1?3?2???1?4??1?12?，答案D．学科网 例3 已知一个正三棱锥P?ABC的主视图如图所示，若AC?BC?223， 学科网 2PC?6，则此正三

高考数学立体几何试题汇编

一、选择题

1．（全国Ⅰ?理?7题）如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ D ）

A．

1234 B． C． D． 55552．（全国Ⅱ?理?7题）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，

则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于（ A ）

A． 6 4 B．2310 C． D． 2243．（北京?理?3题）平面?∥平面?的一个充分条件是（ D ）

A．存在一条直线?，a∥?，a∥? B．存在一条直线a，a??，a∥? C．存在两条平行直线a，b，a??，b??，a∥?，b∥? D．存在两条异面直线a，b，a??，a∥?，b∥?

4．（安徽?理?2题）设l，m，n均为直线，其中m，n在平面?内，“l??”是l?m且“l?n”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（安徽?理?8题）半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为（ ）

A．arcco

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1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为矩形，SD?底面ABCD，

AD?2，DC?SD?2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60。

（I）证明：M是侧棱SC的中点；

????求二面角S?AM?B的大小。

2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的

A1 C1 角的大小

B1 D A B E

C 3.（2009浙江卷）如图，DC?平面ABC，EB//DC，AC?BC?EB?2DC?2，

?ACB?120，P,Q分别为AE,AB的中点．（I）证明：PQ//平面ACD；（II）求AD与平

面ABE所成角的正弦值．

4.（2009北京卷）如图，四棱锥P?ABCD的底面是正方形，

PD?底面ABCD，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AEC?平面PDB；（Ⅱ）当PD?2AB且E为PB的中点时，

PM求AE与平面PDB所成的角的大小.

5.（2009江西卷）如图，在四棱锥P?AB

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高考数学专题训练：立体几何（四）

第四次高考训练

一、证明两条直线平行的方法

1、证明直线与直线平行的方法：

（1）、证明直线与平面的判定定理得到直线与平面平行； （2）、根据直线与平面平行的性质定理得到两条直线平行。 2、线与面平行的性质定理：

如果直线与平面平行，那么过这条直线与该平面的交线与这条直线平行。 如下图所示：

因为：直线a//平面?，直线??平面?，平面??平面??直线b； 所以：直线a//直线b。

二、证明两条直线平行的训练

【训练一】：【2015年高考理科数学安徽卷第19题】如图所示，在多面体A1B1D1DCBA，四边形AAADD1B1B，1A1，

ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F。

（Ⅰ）证明：EF//B1C

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【分析过程】： 。

【证明

立体几何易做易错题选

一、选择题：

1．在正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM( )

A 是AC和MN的公垂线 B 垂直于AC但不垂直于MN

C 垂直于MN，但不垂直于AC D 与AC、MN都不垂直

正确答案：A 错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影。

2．已知平面 ∥平面 ，直线L 平面 ,点P 直线L,平面 、 间的距离为8，则在 内到点P的距离为10，且到L的距离为9的点的轨迹是（ ）

A 一个圆 B 四个点 C 两条直线 D 两个点

正确答案：B 错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系不能灵活掌握。

3．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹（ ）

A 线段B1C B BB1的中点与CC1中点连成的线段

C 线段BC1 D CB中点与B1C1中点连成的线段

正确答案：A 错因：学生观察能力较差，对三垂线定理逆定理不

高考考前复习资料—高中数学立体几何部分错题精选

一、选择题：

1．（石庄中学）设ABCD是空间四边形，E，F分别是AB，CD的中点，则EF,AD,BC满足（ ）

A 共线 B 共面 C 不共面 D 可作为空间基向量

正确答案：B 错因：学生把向量看为直线。

2．（石庄中学）在正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、

D1C1的中点，则直线OM( )

A 是AC和MN的公垂线 B 垂直于AC但不垂直于MN C 垂直于MN，但不垂直于AC D 与AC、MN都不垂直 正确答案：A 错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影。

3．（石庄中学）已知平面?∥平面?，直线L?平面?,点P?直线L,平面?、?间的距离为8，则在?内到点P的距离为10，且到L的距离为9的点的轨迹是（ ）

A 一个圆 B 四个点 C 两条直线 D 两个点

正确答案：B 错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系不能灵活掌握。 4．（石庄中学）正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC