python迭代法求解方程

西安财经学院 本 科 实 验 报 告

学 院（ 部 ） 统计学院 实 验 室 数学专业实训基地 课 程 名 称 大学数学实验 学 生 姓 名 董童丹（编程）杨媚（实验报告） 学 号 0804280125 0804280126 专 业 数学与应用数学0801

教务处制

二0一一年五月十五日

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《迭代法求解非线性方程》实验报告

开课实验室：实验室 312 2011年5月15日 学院 统计学院 年级、专业、班 数学与应用数学0801姓名 董童丹 班 课程 名称 大学数学实验 教师 评语 教师签名： 年 月 日 一、实验目的 掌握用fzero和fsolve程序求解方程根的方法，并根据不同的初值，根的近似值和迭代次数 分析不同根的收敛域； 二、实验环境 本次上机实践所使用的平台和相关软件Matlab。 三、实验内容 ＊题目

求偏导

?x1/3?y3/2?4)-1?f1(x,y)?arctan(??2?2??f2(x,y)?exp(x?y)?4

?f1(x,y)

=?x?f1(x,y) ?y1?2x331 x3+

3y22 +4 +1

=

31x221 x3+

3y22+4 +1x

?f2(x,y)?x?f2(x,y)==

?2?2exp(x?y)?2

?2?2exp(x?y)?2

?y利用二元泰勒公式得到方程组：

y??f(xk,yk)?(x?xk)fx(xk,yk)?(y?yk)fy(xk,yk)?0 ?g(x,y)?(x?x)g(x,y)?(y?y)g(x,y)?0?kxkkkykk?kk求解这个方程组：

当gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?0时

f(xk,yk)gy(xk,yk)?g(xk,yk)fy(xk,yk)??x?xk?gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?? ?y?y?g(xk,yk)fx(xk,yk)?f(xk,yk)fx(xk,yk)k?gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?将f g的骗到分别代入上式即可

先用matlab画图，观察函

《MATLAB程序设计实践》课程考核

1、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。（参考书籍《精通MATLAB科学计算》，王正林等著，电子工业出版社，2009年） “不动点迭代法非线性方程求解” 2、编程解决以下科学计算问题。

7.某工厂2005年度各季度产值（单位：万元）分别为：450.6、395.9、410.2、450.9，试绘制折线图和饼图，并说明图形的实际意义。

x2y2?1绘制平面曲线，并分析参数a对其形状的影响。 8.根据2?a25?a2

2.按要求对指定函数进行插值和拟合。

（1）按表6.4用3次样条方法插值计算0~900范围内整数点的正弦值和

0~750范围内整数点的正切值，然后用5次多项式拟合方法计算相同的函数值，

并将两种计算结果进行比较。

表6.4 特殊角的正弦与正切值表 0 15 30 45 60 75 90 a（度）sina 0 0.2588 0.5000 0.7071 0.8660 0.9659 1.0000 tana 0 0.2679 0.5774 1.0000 1.7320 3.7320 （2）按表6.5用3次多项式方法插值计算1~100之间整数的平方根。

表6.5 1~100内特殊值的

求偏导

?x1/3?y3/2?4)-1?f1(x,y)?arctan(??2?2??f2(x,y)?exp(x?y)?4

?f1(x,y)

=?x?f1(x,y) ?y1?2x331 x3+

3y22 +4 +1

=

31x221 x3+

3y22+4 +1x

?f2(x,y)?x?f2(x,y)==

?2?2exp(x?y)?2

?2?2exp(x?y)?2

?y利用二元泰勒公式得到方程组：

y??f(xk,yk)?(x?xk)fx(xk,yk)?(y?yk)fy(xk,yk)?0 ?g(x,y)?(x?x)g(x,y)?(y?y)g(x,y)?0?kxkkkykk?kk求解这个方程组：

当gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?0时

f(xk,yk)gy(xk,yk)?g(xk,yk)fy(xk,yk)??x?xk?gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?? ?y?y?g(xk,yk)fx(xk,yk)?f(xk,yk)fx(xk,yk)k?gx(xk,yk)fy(xk,yk)?fx(xk,yk)gy(xk,yk)?将f g的骗到分别代入上式即可

先用matlab画图，观察函

2013-2014（1）专业课程实践论文

题目：方程的加速迭代方法

一、算法理论

Aitken加速迭代算法基本原理：

对于收敛的迭代过程，只要迭代足够多次，就可以使结果达到任意的精度。但有时迭代过程收敛缓慢，从而使计算量变得很大，因此，迭代过程的加速是个重要的过程。

设x0是跟x*的某个预测值，只迭代公式校正一次x1?f(x0),而由微分中值定理有：x1?x*?f?。 (t)?(x0?x*)（其中t介于x*与x0之间）

假定f'?x?改变不大，近似的取某个近似值L，则由x1?x*?L?(x0?x*)得到

x*?L?x0x1?1?L1?L,可以期望按上式右端求得

x2?x?LL??x1?x0?x1是比x1更好的近似值，将每得到一次改进?0?x1?1?L1?L1?L?和xk分别表示第K步的校正值和改进值，则加速迭代计值算做一步，并用xk算方案可表述如下：

??1?f?xk? 校正：xk??1?改进：xk?1?xk??1?xk?L??xk

1?L然而上述加速公式有个缺点，由于其中含有倒数f??x?的有关信息L，实际使用不便。

仍设已知x*的某个猜测值为x0，将校正值x1?f?x0?,再校正一次，又得

x2?f?x1?。由于x2?x*?L??x1?x*?将它

第八章 解线性方程组的迭代法习题参考答案

1. 设方程组

(a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性; (b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当||x终止． (k 1) 5x1 2x2 x3 12 x1 4x2 2x3 20 2x 3x 10x 323 1 x(k)|| 10 4时迭代

1. (a) Jacobi迭代矩阵

0.40.2 0 B D 1(L U) 0.2500.5 0.2 0.30

3特征方程为 | I B| 0.21 0.055 0

特征根均小于1，Jacobi迭代法收敛。

Gauss-Seidel迭代矩阵

00.40.2 G (D L) 1U 00.40.7 00.040.17

32| I G| 0.57 0.09 6 0 特征方程为

特征根均小于1，Gauss-Seidel迭代法收敛。 (b) Jacobi迭代格式为

X(k 1) BX(k) f1

1T其中B如上，f1 Db ( 1.250.3)，

迭代18次得

， X 3.99999642.99997391.9999999

Gauss-Seidel迭代格式为 T

X(k 1) GX(k) f2

1

西 安 邮 电 大 学

（计算机学院）

课内实验报告

实验名称 用迭代法解方程

专业名称： 计算机科学与技术 班 级： 学生姓名： 学号（8位） 指导教师：

实验日期： 2013年11月

一. 实验目的及实验环境

实验目的：编写程序，比较两种迭代法的优劣。 在MATLAB数学软件下求解 二. 实验内容

求下列方程的实根

(1) x^2-3x+2-e^x=0; (2) x^3+2x^2+10x-20=0.

要求：(1)设计一种不动点迭代法，要使迭代序列收敛，然后再用斯特芬森加速迭代，计算到|x(k)-x(k-1)|<10^(-8)为止。(2)用牛顿迭代，同样计算到|x(k)-x(k-1)|<10^(-8)。输出迭代初值及各次迭代值和迭代次数k，比较方法的优劣。 三．方案设计

1.在Matlab中直接求解

2.采用不动点迭代法、斯特芬森加速迭代和牛顿迭代法实现并比较优劣。 四．测试数据及运行结果

（1）先用画图的方法估计根的范围 ezplot('x^2-3*x+2-exp(x)'); grid on;

x2-3 x+2-exp(x)500-50-100-150-200-6-4-20x246

可以估计到方程的根在区间（0,1）;选取迭代初值为x0=0.5； 构造不动点迭代公式x(k+1)=( x(k)^2

实验二：迭代法、初始值与收敛性

一：实验要求

考虑一个简单的代数方程

x2 x 1 0,

针对上述方程，可以构造多种迭代法，

如xn 1 xn 1,xn 1 1

2

1xn

,xn 1 在实

轴上取初值，分别用以上迭代做实验，记录各算法的迭代过程。

二：实验要求及实验结果

（1） 取定某个初始值，按如上迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同放

入初始值，反复实验。请读者自行设计一种比较形象的记录方式（如何利用Matlab的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值的选取关系。

（2） 对三个迭代法中的某一个，取不同的初值进行迭代，结果如何？试分析对不同的初

值是否有差异？

实验内容：

ⅰ）对xn 1 xn 1进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值-0.6， 1.6进行

2

实验，并画出迭代结果的趋势图。

编写MATLAB运算程序如下：

%迭代法求解 %令x=x^2-1 clear

n=30; x=-0.5;

x1=x^2-1; for i=1:n

end

m=linspace(0,29,n);

x1=x1^2-1; xx(i)=x

Jacobi

迭代法与Gauss-Seidel迭代

法算法比较

目录

1 引言 .............................................................................................................................................. 1

1.1 Jacobi迭代法 .................................................................................................................... 2 1.2 Gauss-Seidel迭代法 .......................................................................................................... 2 1.3 逐次超松弛（SOR）迭代法 ...................................................

1. jacobi迭代法解方程组的MATLAB程序

function x=jacobi(a,b,x0,m)%a:系数矩阵 b:等号右边矩阵 x0:迭代初值 m:迭代次数 x_temp=x0; for k=1:m

for i=1:length(b) sum=0; for j=1:length(b) if(j~=i)

sum=sum+a(i,j)*x_temp(j); end end

x(i)=-(sum-b(i))/a(i,i); end x_temp=x; end 2.

gauss-seidel迭代法解方程组的MATLAB程序

function x=gaussseidel(a,b,x0,m) x=x0; for k=1:m

for i=1:length(b) sum=0; for j=1:length(b) if(j~=i)

sum=sum+a(i,j)*x(j);