概率论第三章答案解析浙江大学

第三章 随机变量与分布函数

1、 解：令?n表在n次移动中向右移动的次数，则?n服从二项分布，

kkP{?n?k}?Cnp(1?p)n?k,k?0,1,?n

以Sn表时刻时质点的位置，则

Sn??n?(n??n)?2?n?n。

?n的分布列为

?0??(1?p)n?Sn的分布列为

12122Cnp(1?p)n?1Cnp(1?p)n?2n??。

?pn?????n??(1?p)n??n?2

?n?4122Cnp(1?p)n?1Cnp(1?p)n?2n??。

?pn???2、 解：P{??1}?P{失成}?P{成失}?pq?qp，

P{??2}?P{失失成}?P{成成失}?ppq?qqp?p2q?q2p,?

所以?的概率分布为

p{?k}?pkq?q2p,k?1,2,?。

3、 解： （1）1??f(k)?k?1Nc?N， ?c?1。 N?1 （2）1?c?k!?c(e??1)， ?c?(e??1)k?1??k。

4、 证：f(x)?0，且

?

???f(x)dx????1?|x|edx??e?|x|dx??e?x

0??2????f(x)是一个密度函数。

5、 解：（1）P(6???9)?P?(6?10)?11?1

1.盒子里装有2只黑球、3只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.

2.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

ππ??sinxsiny,0?x?,0?y?F（x，y）=?22

?其他.?0,?πππ?求二维随机变量（X，Y）在长方形域??x?,0?y??内的概率.

34??6

3.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码

为X，最大的号码为Y.

（1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？

4.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 1 2 3 X Y 2 0.1 0.30 0.35 4 0.1 0.12 0.03 （1）求关于X和关于Y的边缘分布； （2） X与Y是否相互独立？

5.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律

及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. y1 y2 y3 P{X=xi}=pi Y X

三、（18分）1、设随机变量X，Y相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布.

（1） 写出 (X, Y)的联合密度f (x, y).

（2） 试求t的方程 t2?Xt?Y?0 有实根的概率. （3） 计算?1?

P?max(X,Y)??.2??2、设随机向量 (X, Y ) 具有如下的概率分布：

P(X?n,Y?m)?0.5en?1m!(n?m)!,m?0,1,2,?,n；n?0,1,2,?.

（1） 分别求出X，Y的概率分布. （2） 判断X，Y是否相互独立，说明理由. 解：1、 （1）

?1, 0?x?1,0?y?1,

f(x,y)???0, 其他.（2）方程 t2?Xt?Y?0 有实根，则判别式 ?=X2?4Y?0.

P(X21??4Y?0)?P?Y?X4?2?????110dx?4x201dy??1101

xdx?.4122（3）1?1??1?1 ??由X,Y相互独立，P?max(X,Y)???P?X??P?Y???.2?2??2?4??2、

（1）P(X?n)??0.5en!?n?1nnn?m?0P(X?n,Y?m)?n!0.5en!?n?1?m?0n0.5en?1

?1m!(n?m)!C

第三章历年考题

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设二维随机变量（X，Y）的分布律为

， 则P{X+Y=0}=（ ） A.0.2 C.0.5 答案：C

B.0.3 D.0.7

度为

c, 1 x 1, 1 y 1;

f(x,y)

0,

则常数c=（ 1

A.4

C.2

答案：A

）1B.2

D.4

其他,

律为

设

pij=P{X=i,Y=j}i,j=0,1，则下列各式中错误的是（ ） ．．A．p00<p01 C．p00<p11

B．p10<p11 D．p10<p01

答案：D

律为

，

则P{X=Y}=（ ） A．0.3 C．0.7 答案：A

5.设随机变量（X，Y）的联合概率密

x 2yx 0,y 0; Aee,

其它.度为f(x,y)= 0,

B．0.5 D．0.8

则A=（ ）

1A.2

B.1

3

C.2 D.2

答案：D

6.设二维随机变量（X、Y）的联合分布为（ ）

则P{XY=0}=（ ） A. 14

B.512

3

C.4

D.1

答案：C

7．已知X，Y的联合概率分布如题6表所示

题6表

F（x,y）为

第三章历年考题

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设二维随机变量（X，Y）的分布律为

， 则P{X+Y=0}=（ ） A.0.2 C.0.5 答案：C

B.0.3 D.0.7

度为

c, 1 x 1, 1 y 1;

f(x,y)

0,

则常数c=（ 1

A.4

C.2

答案：A

）1B.2

D.4

其他,

律为

设

pij=P{X=i,Y=j}i,j=0,1，则下列各式中错误的是（ ） ．．A．p00<p01 C．p00<p11

B．p10<p11 D．p10<p01

答案：D

律为

，

则P{X=Y}=（ ） A．0.3 C．0.7 答案：A

5.设随机变量（X，Y）的联合概率密

x 2yx 0,y 0; Aee,

其它.度为f(x,y)= 0,

B．0.5 D．0.8

则A=（ ）

1A.2

B.1

3

C.2 D.2

答案：D

6.设二维随机变量（X、Y）的联合分布为（ ）

则P{XY=0}=（ ） A. 14

B.512

3

C.4

D.1

答案：C

7．已知X，Y的联合概率分布如题6表所示

题6表

F（x,y）为

第三章、二维随机变量

08年1月

??Ae?xe?2y,x?0,y?0;5.设随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)=?则A=（ ）

其它.?0,?A.

1 B.1 2C.

3 D.2 26.设二维随机变量（X、Y）的联合分布为（ ）

Y

0 5 X 0 2 则P{XY=0}=（ ） A. C.

1 41 41 61 45 121 3B.

3 4D.1 Y X 0 1 17.设（X，Y）的分布律为：

则?=_______。

-1 1 151 2 1 15? 3 1014 5 15

18.设X~N（-1，4），Y~N（1，9）且X与Y相互独立，则X+Y~___________。 ?1?(x?y),0?x?2,0?y?1;19.设二维随机变量（X，Y）概率密度为f（x,y）=?3则

?0,其它。?fx(x)?______________________。

08年4月

20.设随机变量X和Y相互独立，它们的分布律分别为

X -1 0 1 ， 135 P

12123则P?X?Y?1??__________

第三章 多维随机变量及其分布

1、在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：

,??0,若第一次取出的是正品X??

??1,若第一次取出的是次品?,??0,若第二次取出的是正品Y??

??1,若第二次取出的是次品?试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。

解：（1）放回抽样情况

由于每次取物是独立的。由独立性定义知。

P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)

101025P (X=0, Y=0 )= ??1212361025P (X=0, Y=1 )= ??1212362105P (X=1, Y=0 )= ??121236221P (X=1, Y=1 )= ??121236或写成

X 0 1 Y 2550 3636511 3636（2）不放回抽样的情况 10945P {X=0, Y=0 }= ??12116610210P {X=0, Y=1 }= ??12116621010P {X=1, Y=0 }= ??121166211P {X=1, Y=1 }= ??121166或写成

X 0 1 Y 45

第六、七、八章 数理统计 （抽样分布、参数估计、假设检验）

一、思考题

1．统计抽样工作中，得到的都是具体数值，即样本值。为什么说样本是随机变量？ 2．参数的区间估计中，参数与置信区间谁是随机的？

3．假设检验中两类错误的关系如何？要想同时减少犯两类错误的概率，办法是什么？ 4．在单边检验问题中，建立原假设与备择假设的原则是什么？ 二、单项选择题

1. 设X1,X2,?,Xn,(n?1)是来自正态总体N(?,?2)的一个简单随机样本，X为样本均值，则

P{|X??|??}（ ）P{|X??|??}。

（A）> （B）< （C）≥ （D）≤

2

2. 设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(?,?2)的一个简单随机样本，X和S分别为样本均值和

n样本方差，则?i?1?Xi???。 ??～（ ）

???2（A） N(0,1) （B）?2(n?1) （C）?2(n) (D)t(n?1)

3. 设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(0,1)的一个样本，则下列统计量中，服从自由度为n-1

的 ?2分布的是 （ ）。

n（A）?Xi2

i?1

Chapter 3. Random Variables and Probability Distribution

1. Concept of a Random Variable

Example: three electronic components are tested sample space (N: non defective, D: defective)

S =｛NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD｝ allocate a numerical description of each outcome concerned with the number of defectives

each point in the sample space will be assigned a numerical value of 0, 1, 2, or 3. random variable X: the number of defective items, a random quantity

random variable Definition 3.1

A random varia

Chapter 3. Random Variables and Probability Distribution

1. Concept of a Random Variable

Example: three electronic components are tested sample space (N: non defective, D: defective)

S =｛NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD｝ allocate a numerical description of each outcome concerned with the number of defectives

each point in the sample space will be assigned a numerical value of 0, 1, 2, or 3. random variable X: the number of defective items, a random quantity

random variable Definition 3.1

A random varia