盈亏问题公式

一、盈亏问题

人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。

例1 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？

分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4＝1（粒）。每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为 15÷1＝15（人），糖果的粒数为4×15＋9＝69（粒）。 解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人），

4×15＋9＝69（粒）。

答：有15个小朋友，分69粒糖。

例2 小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖果？

分析：本题与例1基本相同，例1中两次分配数之差是5-4=1（粒），本题中两次分配数之差是5-3＝2（粒）。例1中，两种分配方案的盈数与亏数之和为9＋6＝15（粒），本题中，两种分配方案的盈数与

由思考题谈盈亏问题的解法

环保小组的同学上山植树，如果每人种3棵，则还剩3棵；如果每人种4棵，则还差2棵。环保小组有多少人？一共植树多少棵？

分析与解：这是一道典型的盈亏应用题。盈，就是多余；亏，就是不足、少的意思。比较两种植树方式，第一种多了3棵，第二种少了2棵，一多一少共相差

（棵），或

（棵）。显然，相差5棵的原因是第二种植树方式每人种的棵数比第一种多了

（人），一共植树

（棵）。

（棵）。根据“相差的总数÷相差的每份数＝份数”得出，环保小组的人数是

从中得出：解盈亏问题，要先比较“盈”与“亏”两种情况，求出两种情况下总数之间的差，像上题是一盈一亏，差＝盈＋亏；再找出出现这个差的原因是每份数不同，求出两个每份数之间的差；最后根据“差??差”对应求出份数以及总数。 盈亏问题还有另外两种情况：两盈与两不足。有些题还要通过转化，先找出“盈亏”数。

例1. 工程队修一条路，如果每天修150米，则可以提前2天完成任务；如果每天修180米，则可以提前5天完成任务。这条路全长多少米？

分析与解：这道题没有直接给出“盈亏”数，但由题意可知，第一种情况如果再修2天，还可以修第二种情况如果再修5天，还可以修

（米）；

（米）。这300米与900米就是两个“盈”数。因

浅 谈 盈 亏 问 题

吉水阜田中心学校 胡智文 周小燕

在九年义务教育的中小学阶段，盈亏问题一直是一个难点的问题。许多学生碰到这一类问题时，常常搞不懂，不是混淆概念，就是搞错公式，或是不解题意，或者在运算中出错；不是错这，就是错那，总是难以掌握。要学好这方面的知识，笔者认为：作为学生，应该切实注意以下几点： 第一、 先必须弄懂盈亏问题中的六个重要概念：（1）进价；（2）标价；（3）打折；（4）售价；（5）利润；（6）利润率。

概念是基础，是根本，是重中之重。掌握了概念，就好理清思路，就好去代公式，就可以有目的地去解决所问的问题。

第二、 再就是要熟悉盈亏问题中的各个关系及公式： 1、 售价 = 标价×打折（如打8折，则乘以80%） = 进价+利润

= 进价×（1+利润率） 2、 利润 = 售价—进价 = 进价×利润率

3、 利润率 =（售价—进价）÷进价×100%

关系及公式，是我们解决问题的需要，更是依据。若对关系及公式都不知、不熟，那又怎么去解决问题呢？只有理清了关系，掌握了公式，才能有效地进行解题。因此，公式是要背熟的。

四年级（上）数学思维训练（十、盈亏问题2）

例1、某校安排新生宿舍，如果每间住12人，就会有34人没有宿舍住；如果每间住14人，就会空出4间宿舍。这个学校有多少间宿舍？要安排多少个新生？

练习1、学校组织同学去划船，如果每只船坐4人，则少3只船；如果每只船坐6人，还有2人站在岸边，共有多少条船？有多少人去划船？ 2、小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人多分6粒，则有3个小朋友分不到糖果。问：有多少个小朋友？有多少粒糖果？

3、某校组织学生活动，分成若干组，每组8人，后来改为每组12人，这样就减少每个组，有多少组？参加活动的有多少人？

4、校规定上午8时到校。王强上学去，如果每分钟走60米，可以提前10分钟到校；如果每分走50米，可以提前8分钟到校。问：王强什么时候离开家？他家离学校多远？

5、一个学生从家到学校，如果用每分50米的速度走，他会迟到4分；后来他改用每分60米的速度前进；结果早到学校5分。这个学生家到学校的路程是多少米？

1

练一练

1、学校发铅笔给三好学生，每人8支少15支，每人6支少7支，三好学生有多少个？铅笔有多少支？

2、三（1）班同学去公园

盈亏问题

知识点：单位量＝总量的盈亏差距÷单位分得的量的差 “分东西”总量和单位量一般是不变的

1.老师给同学们分卡片，如果每人5张，还剩18张，如果每人7张，就缺2张，请问：有多少个同学？一共有多少张卡片？

2.老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9 个桃，每只小猴分11个桃，则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？

3.学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，还差2本，请问有多少老师？多少本书？

4.某小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出7人，若每条长椅上多坐4人则多出3条长椅，问：到会议室开会的少先队员有多少人？

5.军队分配宿舍，如果每间住3人，则多出20人，如果每间住6人，余下2人可以每人各住一个房间，现在每间住10人，可以空出多少个房间？

6.A、B 两人买了相同张数的信纸，A 在每个信封里装1 张信纸，最后用完所有的信封还剩40 张信纸，B 在每个信封里装3 张信纸，最后用完所有的信纸还剩40 个信封，他们都买了多少张信纸？

7.一个班的学生去划船，如果增加一条船，正好每

第12讲 盈亏问题

一、知识要点

盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。例如：把一代饼干分给小班的小朋友，每人分3块，多12块；如果每人分4块，少8块。小朋友有多少人？饼干有多少块？这种一盈一亏的情况，就是我们通常说的标准的盈亏问题。

盈亏问题的基本数量关系是：（盈＋亏）÷两次所分之差=人数；还有一些非标准的盈亏问题，它们被分为四类：1.两盈：两次分配都有多余；2.两不足：两次分配都不够；3.盈适足：一次分配有余，一次分配够分；4，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。

一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们可以记住：

1.“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；

2.“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数；

3.“一盈一亏”问题的数量关系是：盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总数。

二、精讲精练

【例题1】 某校乒乓球队有若干名学生，如果少一名女生，增加一名男生，则男生为总数的一半；如果少一名男生，增加一名女生，

四年级奥数 五道例题 练习题(分A,B卷)

盈亏问题

解答公式：两次分配的结果差÷两次分配数差＝人数

或，由于参加分配的总人数不变，参加分配的物品总数不变，因此，可根据

第一种分法的人数＝第二种分法的人数

第一种分法物品总数＝第二种分法物品总数，列出方程来解。

1、一批树苗，如果每人种树苗8棵，则缺少3棵；如果每人种7棵，则有4棵没人种。求参加种树的人数是多少？这批树苗共有多少棵？

分析：

每人种8棵，则缺少3棵，也就是少3棵。每人种7棵，则有4棵没人种，也就是多4棵。 那么两次分配的结果差是3＋4＝7，两次分配的数差是 8－7＝1

种树人数是：7÷1＝7（人）树苗总数是：8×7－3＝53（人）

解法一：（3＋4）÷（8－7）

＝7÷1

＝7（人）

8×7－3＝53（棵）

答：参加种树的人数是7人，这批树苗共有53棵。

解法二：这道题种树人数不变，树苗总棵数不变，若设种树人数为X人，根据第一种分法的树苗总棵数＝第二种分法的树苗总棵数，列方程解。

解：设种树人数为X人，列方程得

8X－3＝7X＋4

8X－7X＝4＋3

X＝7

8×7－3＝53（棵）

答：（略）

2、幼儿园老师把一堆苹果分给小朋友，如果每人分6个，则少1

盈亏问题讲义

第一部分：知识介绍

盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”． 可以得出盈亏问题的基本关系式：

盈亏型：(盈?亏)?两次分得之差?人数或单位数 盈盈型：(盈?盈)?两次分得之差?人数或单位数 亏亏型：(亏?亏)?两次分得之差?人数或单位数

物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.

注意：1.条件转换（判断盈亏类型）； 2.关系互换（确定盈亏数量）

第二部分：例题精讲

【例 1】 幼儿园的老师给小朋友们发梨。每人6个就剩12个，每人7个便少11个。一共有

多少位小朋友？一共有多少个梨？

【考点】盈亏问题——盈亏型

【解析】 盈亏问题中的盈亏型，(11?12)?(7?6)?23（人），23?6?12?150（个）梨。 【答案】23个小朋友，150个梨。

【例 2】 明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果

知识点详解

1.把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足

（或两次都有余）， 或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分 配人数的问题，叫做盈亏问题。

2,解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差， 就得到分配者的数，进而再求得物品数。 3.解题规律：总差额÷每人差额=人数 4.总差额的求法可以分为以下四种情况：

(1)第一次多余，第二次不足：总差额=多余+ 不足

(2)第一次正好，第二次多余或不足：总差额=多余或不足 (3)第一次多余，第二次也多余：总差额=大多余-小多余 (4)第一次不足，第二次也不足：总差额= 大不足-小不足 5.解盈亏问题的公式

【一盈一亏的解法】

(盈数+亏数)÷两次每人分配数的差 【双盈的解法】

(大盈-小盈)÷两次每人分配数的差 【双亏的解法】

(大亏-小亏)÷两次每人分配数的差

例题详解

1.某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人。问：学生有多少人？

2.老师把一篮苹果分给小朋

小学奥数第五讲 盈亏问题

1 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖.这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？

2 妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少8个苹果.那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？

3 学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？

4 少先队员去植树.如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完.问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？

5 红山小学学生乘汽车到香山春游.如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？

6.学校进行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其余各擦5块，则余12块；若每人擦6块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？

家庭作业：

1.阿姨给幼儿园小朋友分饼干.如果每人分3块，则多出16块饼干；如果每人分5块，那么就缺4块饼干.问有多少小朋友，有多少块饼干？

2.某校