矩阵论课后答案

习题二

1．化下列矩阵为Smith标准型：

1 （1）

1 2 2

; 2 2

00

00

（2）

0( 1)2 2

0

2

2

00

0 ; 0 0

3 2 2 32 1 2 2 3 （3） 4 2 3 53 2 2 3 4 ;

2 4 2 1

301 2 4 3 60 22 (4) 06 2 0 . 10 100 00 3 31 2 2

解：（1）对矩阵作初等变换

1 1 2

2

1 2 1 2 2

0 0 c c r r

1 2 2 00 ( 1) 2 2

1

3

3

1

10

c2 c1 0 c3 c1

00 10

c3 c2 0 r1 ( 1)

( 1) 00

1

；

( 1)

0 ， ( 1)

则该矩阵为Smith标准型为

（2）矩阵的各阶行列式因子为

D4( ) 4( 1)4,D3( ) 2( 1)2,D2( ) ( 1),D1( ) 1,

从而不变因子为

d1( ) 1,d2( )

矩阵论

第1章 线性空间和线性变换

1.1线性空间

一个数域F上的非空集合V，V的元素为a、b、c……，定义两种运算，一种是V内元素的加法，一种是V内元素与F域上元素的数乘，这两种运算满足加法交换律、结合律、分配律。线性空间中0元素唯一（具体形式未必是0），某元素的负元素唯一。 实线性空间、复线性空间

最大线性无关组，基表示线性空间，维数，向量在某基下的坐标， a={α}X，a={β}Y，{β}={α}C，∴X=CY

N维线性空间一组向量线性相关/无关，等价于在该空间某基下坐标线性相关/无关 子空间：V中子集W，W的元素关于V中的线性运算仍然构成一个线性空间

零空间N(A)={X|AX=0}，列空间R(A)=L{A1,A2,…,AN}都是Fn的子空间 交空间、和空间，并运算的结果却未必是子空间

直和子空间：线性无关组分成两部分组成两个子空间，W1∩W2={0}，直和子空间，0的表达唯一，即0=w1+w2，w1∈W1，w2∈W2。 1.2内积空间

定义了内积的线性空间，内积的结果是数域上的元素。 内积运算的3个性质：对称性（共轭转置）、线性性、正定性。 实内积空间，欧式空间，向量长度欧几里得范数

复内积空间，酉空间

两个向量在同一个基下不同的

南昌航空大学硕士研究生 2009/2010 学年第 一 学期考试卷

学生姓名： 所在学院： 学号： 课程名称： 矩阵论 班级： 成绩： 任课教师姓名： 艾小伟 任课教师所在学院： 数信学院

?0?10???0，求A的值域与核。一．设矩阵A=11（10分） ???1?2?2???

二．设?1=(1,1,1,0), ?2=(-1,-2,-1,-1), ?1=(2,1,3,-1), ?2=(1,-1,0,-2), V1=span(?1,?2),

T

T

T

T

V2=span(?1,?2)，分别求V1∩V2 ，V1+V2 的一组基和维数。（12分）

1

三．在R2?2?1?1??10??01??00?中，定义线性变换Г(X) =??X，求Г在基E11=?00?, E12=?00?, E21=?10?,

02????????E22=??00?下的矩阵。（10分） ??01?

?0四．求矩阵A=??1??1

?40??

南昌航空大学硕士研究生 2009/2010 学年第 一 学期考试卷

学生姓名： 所在学院： 学号： 课程名称： 矩阵论 班级： 成绩： 任课教师姓名： 艾小伟 任课教师所在学院： 数信学院

?0?10???0，求A的值域与核。一．设矩阵A=11（10分） ???1?2?2???

二．设?1=(1,1,1,0), ?2=(-1,-2,-1,-1), ?1=(2,1,3,-1), ?2=(1,-1,0,-2), V1=span(?1,?2),

T

T

T

T

V2=span(?1,?2)，分别求V1∩V2 ，V1+V2 的一组基和维数。（12分）

1

三．在R2?2?1?1??10??01??00?中，定义线性变换Г(X) =??X，求Г在基E11=?00?, E12=?00?, E21=?10?,

02????????E22=??00?下的矩阵。（10分） ??01?

?0四．求矩阵A=??1??1

?40??

《矩阵理论及其应用》-课后习题答案

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《矩阵理论及其应用》-课后习题答案

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关于酿酒过程中的调配问题分析

（山东大学信息科学与技术学院 学号201111768）

摘 要：本文针对酿酒中的调配问题，建立数学模型，通过利用矩阵论的知识来论证调配比例可行性。

关键词：酿酒调配问题 矩阵论 可行性

1.问题的提出

有三种酒甲、乙、丙，它们各含三种主要成分A,B,C的含量如下表：

调酒师现要用这三种酒配置另一种酒，使其对A,B,C含量分别是：66.5%，18.5%，15%，问能否配出合乎要求的酒？比例分配如何？当甲酒缺货时，能否用含三种主要成分为(0.80,0.12,0.08)的丁酒替代？比例分配又如何？ 2.模型的建立与问题求解

（1）设甲乙丙三种酒的比例分配为 x1x2x3 ，根据题意可得矩阵方程

x1

x2

0.70.20.1

x3 0.60.20.2 0.6650.1850.15 0.650.150.2

其正数解即为所求.

0.70.20.1

可以得出 0.60.20.2

0.650.150.2

1

2 54

215 16 854

所以 x1x2

0.70.20.1

x3 0.6650.1850.15 0.60.20.2

0.650.150.

关于酿酒过程中的调配问题分析

（山东大学信息科学与技术学院 学号201111768）

摘 要：本文针对酿酒中的调配问题，建立数学模型，通过利用矩阵论的知识来论证调配比例可行性。

关键词：酿酒调配问题 矩阵论 可行性

1.问题的提出

有三种酒甲、乙、丙，它们各含三种主要成分A,B,C的含量如下表：

调酒师现要用这三种酒配置另一种酒，使其对A,B,C含量分别是：66.5%，18.5%，15%，问能否配出合乎要求的酒？比例分配如何？当甲酒缺货时，能否用含三种主要成分为(0.80,0.12,0.08)的丁酒替代？比例分配又如何？ 2.模型的建立与问题求解

（1）设甲乙丙三种酒的比例分配为 x1x2x3 ，根据题意可得矩阵方程

x1

x2

0.70.20.1

x3 0.60.20.2 0.6650.1850.15 0.650.150.2

其正数解即为所求.

0.70.20.1

可以得出 0.60.20.2

0.650.150.2

1

2 54

215 16 854

所以 x1x2

0.70.20.1

x3 0.6650.1850.15 0.60.20.2

0.650.150.

重庆大学研究生矩阵论考题

名姓 密 号学 ） （ 别类 封 ）域领（业专 线 院学校训：耐劳苦、尚俭朴、勤学业、爱国家 重庆大学研究生试卷（2011版） 第 1 页 共 4 页

重庆大学研究生《矩阵论》课程试卷

二、（10分）在R2 2中，（1）求基(I)

2012 ~2013 学年 第 一 学期（秋）

A 开课学院： 数学与统计 课程编号： 考试日期：

21 01 21 13

01 ,A

1 2 22 ,A3 12 ,A4 12

考试方式： 考试时间： 120 分钟

到基(II) B 12 1 1 11 10 ,B2 11 ,B3 2 11 ,B4 1 1

01

的过渡矩阵；（2）求A B1 2B2 3B3 4B4在基(I)下的坐标。

解：不难看出，由简单基E11，E12，E21，E22到基（I）和基（II）的过渡矩阵分别为

一、判断题。(每题

第 一 章 习 题 一

1（4）解：设B1=“两件都是不合格品”，B2=“一件是合格品，另一件是不合格品”，A=“已知所取两件中有一件是不合格品”，则A?B1?B2，由题意知，

12C6C4282P(B1)?2?,P(B1)?2?,P(A)?P(B1)?P(B2)?

C1015C10153C42故P{B1 |A}=

P(AB1)P(A)?P(B1)P(A)?2/151? 2/353. 解：A:表示两个一级队被分在不同组，则A:表示两个一级队被分在同一组

P(A)?C2C18C201019?0.526,P(A)?1?P(A)?0.474

5．解：设一段长为x，另一段长为y，样本空间?:0?x?a,0?y?a,0?x?y?a，

a?0?x??2?a? 0?y??2??x?y?(a?x?y)??所求事件满足：

从而所求概率＝S?CDES?OAB?14.

X,Y,样本空间占

6．解：设所取两数为

4S(?)?S(D)1?S(D)P??S(?)11有区域?,

两数之积小于1:XY?1,故所求概率

4,

,故所求概

4)而

S(

11．从（0，1）中随机取两个数，求下列事件的概率；（1）两数之和小于数之积小于

6；（2）两51。 461的事件为A，两数之积小于的事件为B。 54如下图，样本空间为单位正方形区域?，事件A为区域C，事件B为区域D，于是

11217 P(A)?C的面积/?的面积/=1?(1?)?

2525解 （此系几何概型问题）设两数之和小于

P(B)?D的面积/?的面积?

y

1 y?x?6 5

C

1O 1 x 5

11111??1dx??lnx444x441141?(1?ln4) 4y 1 O xy 1 ? D 1414x

14．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区，从该地区报名表中抽取1份，求抽到的1份是女生报名表的概率。

解 此系条件概率问题。

设Ai表示“抽到第i个地区”(i?1,2,3)，B表示“抽到的是女生报名表”。则据全概率公式，所求概率为

13171529P(B)??P(Ai)P(BAi)???????

31031532590i?115．三个箱子，第一个