四阶上三角行列式试题及答案

四阶行列式的计算；

N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；

矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论；

齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性；

求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量；

讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义

用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算

一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法

定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比

第一章 行列式试题及答案

一 选择题 (每小题3分，共30分)

⑴ n元排列 i1 i2… in经过相邻对换，变为in … i2 i1，则相邻对换的次数为( )

(A) n (B) n/2 (C) 2n

(D) n(n-1)/2

2x1?1⑵ 在函数f?x???2x?x4x中，x3的系数是( )

12x (A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4

⑶ 若Dn=det(aij)=1，则det(－aij) = ( )

(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n

(D) (-1)

n(n-1)/2

?1?1⑷ 设

?2???2?，则n不可取下面的值是( )

?n?n(A)7 (B) 2k

+1(k2) (C) 2k

(k

2) (D) 17

⑸ 下列行列式等于零的是( )

3210030?103?16(A)?321 (B) 0?10 (C) 300 (D) 224

001130001162⑹ 行列式D非零的充分条件是( ) (A) D的所有元素非零 (B) D至少有n个元素非零 (C) D的任何两行元素不成比例

(D)以D为系数矩阵的非齐次线性方程组

第一章 行列式

行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。

§1.1 n阶行列式定义和性质

1.二阶行列式

定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）

a11a21a12?a11a22?a12a21 a22称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数aij称为行列式的元素,它的第一个下标i称为行标,表明该元素位于第i行,第二个下标j称为列标, 表明该元素位于第

2j列.位于第i行第j列的元素称为行列式的(i,j)元。2阶行列式由2个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!?2项，且正负项的各数相同。

应用：解线性方程

例1：二阶线性方程组

?a11x1?a12x2?b1??a21x1?a22x2?b2 且a11a22?a12a21?0. 解：D?

a11a21a11a12a22b1D1,D?a11a22?a12a21，D1??a11b2?b1a21

x2?D2. Db1b2a12a22?b1a22?a12b2，

D2

课题1 二阶与三阶行列式；全排列及其逆序数；n 阶行列式的定义；对换.

1、二阶行列式

ax?ax?b?1111212?把二元线性方程组（1）

ax?ax?b?2212212的四个系数按它们在方程组（1）中的位置，排成二行二列的数表

aa1211（2）aa2212aa?aa称为

数表（2其运算表达式）的二阶行列式，21221112记为aa

1112D?aa?aa? 3 （）

21111222aa2122a(i?1,2;j?1,2)称为行列式（31理解：（）数）的元素ij j?1,2)a(i?1,2;）的元素可表为或元，即行列式（3，ij iia j行的第3元素为列标。）位于该行列式（其中为行标，ij j),(ij元.

第列或称为行列式（3）的第aaaa的联的联线称为主对角线，）把（2到到21122211线称为副对角线，二阶行列式等于各

元素主对角线之积减去副对角线各元素之积.

（3）行列式表示按某种法则运算的结果.

利用行列式的概念，二元线性方程组（1）的求解过程- 3 - / 7 可写为

aaabab1121111112?D?D?D?0. ，，

21bbaaaa2222122222DD21?xx?.

所以，21DD1. 例自学P2、三阶行列式2 9个数排成3行3列

9.3 二阶行列式

一、新课引入：

问题1：解二元一次方程组：（*）??a1x?b1y?c1

?a2x?b2y?c2同加减消元法：①×b2-②×b1得?a1b2?a2b1?x?c1b2?c2b1 ②×a1-①×a2得?a1b2?a2b1?y?a1c2?a2c1 当?a1b2?a2b1??0，方程组有唯一解

c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1? ??y?a1c2?a2c1?a1b2?a2b1?

二、新课讲授 1、二阶行列式 （1）定义：我们用记号

a1b1a2b2表示算式a1b2?a2b1,即

a1b1a2b2 = a1b2?a2b1,

其中记号教育网

a1b1a2b2叫做行列式，因为它只有两行、两列，所以把它叫做二阶行列式。21世纪（2）展开式：a1b2?a2b1,叫做行列式

a1b1a2b2b1的展开式，其计算结果叫做行列式的值。

（3）元素：a1,b2,a2,b1,叫做行列式

2、二阶行列式的计算

a1a2b2的元素。

a1三角形法则：

b1实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示的对角线叫副对角线。二

a2b2阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)

上两个元素的乘

9.3 二阶行列式

一、新课引入：

问题1：解二元一次方程组：（*）??a1x?b1y?c1

?a2x?b2y?c2同加减消元法：①×b2-②×b1得?a1b2?a2b1?x?c1b2?c2b1 ②×a1-①×a2得?a1b2?a2b1?y?a1c2?a2c1 当?a1b2?a2b1??0，方程组有唯一解

c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1? ??y?a1c2?a2c1?a1b2?a2b1?

二、新课讲授 1、二阶行列式 （1）定义：我们用记号

a1b1a2b2表示算式a1b2?a2b1,即

a1b1a2b2 = a1b2?a2b1,

其中记号教育网

a1b1a2b2叫做行列式，因为它只有两行、两列，所以把它叫做二阶行列式。21世纪（2）展开式：a1b2?a2b1,叫做行列式

a1b1a2b2b1的展开式，其计算结果叫做行列式的值。

（3）元素：a1,b2,a2,b1,叫做行列式

2、二阶行列式的计算

a1a2b2的元素。

a1三角形法则：

b1实线表示的对角线叫主对角线，虚线表示的对角线叫副对角线。二

a2b2阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)

上两个元素的乘

线性代数

第一章

行列式

行列式是一个重要的工 具，它在数学的各个领 域及其它各学科都有着 广泛的应用

内容提要§1 §2 §3 §4 n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行(列)展开 克拉默法则

§1● ● ●

n阶行列式的定义二阶与三阶行列式 排列与逆序 n阶行列式的定义

一、二阶与三阶行列式1.二阶行列式二元线性方程组 由消元法，得

a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2

(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2 (a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21

当 a11a22 a12a21 0 时，该方程组有唯一解

b1a22 a12b2 x1 a11a22 a12a21

a11b2 b1a21 x2 a11a22 a12a21

二元线性方程组

a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2求解公式为 请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.

线性代数练习题 第一章 行 列 式

系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式

一．选择题

121．若行列式153?2 = 0，则x? [ C ] 25x（A）2 （B）?2 （C）3 （D）?3

?x1?2x2?32．线性方程组?，则方程组的解(x1,x2)= [ C ]

3x?7x?42?1（A）（13，5） （B）（?13，5） （C）（13，?5） （D）（?13,?5）

1x3．方程12x24?0根的个数是 [ C ] 913（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

4．下列构成六阶行列式

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

201abc111xyx?yx?yx. （1）1?4?1； （2）bca; （3）abc； （4）y?183caba2b2c2x?yxy201解 （1）1?4?1?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1)

?183=?24?8?16?4=?4

abc333（2）bca?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc?3abc?a?b?c

cab

111222222（3）abc?bc?ca?ab?ac?ba?cb?(a?b)(b?c)(c?a)

a2b2c2

xyx?yx?yx?x(x?y)y?yx(x?y)?(x?y)yx?y3?(x?y)3?x3 （4）yx?yxy?3xy(x?y)?y3?3x2y?3y2x?x3?y3?x3

??2(x3?y3)

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n?1) 2

厦门理工

线性代数练习题 第一章 行 列 式

系 专业 班 姓名 学号 第一节 二阶与三阶行列式 第三节 n阶行列式的定义

一．选择题

121．若行列式15x3??2 = 0，则x? [ C ]

25（A）2 （B）?2 （C）3 （D）?3

??x1?2x2?32．线性方程组?，则方程组的解(x1,x2)= [ C ]

3x?7x?4?2?1（A）（13，5） （B）（?13，5） （C）（13，?5） （D）（?13,?5）

1x3．方程12x24?0根的个数是 [ C ] 913（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

4．下列构成六阶