一维非稳态导热解析求解

计算传热学程序报告

题目：一维非稳态导热问题的数值解

姓名：

学号：

学院：能源与动力工程学院 专业：工程热物理 日期：2014年5月25日

一维非稳态导热问题数值解

求解下列热传导问题：

??2T1?T?0(0?x?L)?2???t??xT(x,0)?0?

?T(0,t)?1,T(L,t)?0?L?1,??1?1.方程离散化

对方程进行控制体积分得到：

?t??tt?2T1dxd?t?w?x2?e?t??tt?T?w?tdxd te

?t??tt[(?T?T1)e?()w]dt??x?x??ew(Tt??t?Tt)dx

非稳态项：选取T随x阶梯式变化，有

??ew(Tt??t?Tt)dx?(Tpt??t?Tpt)?x

扩散项：选取一阶导数随时间做显示变化，有

t??tt[(?T?T?T?T)e?()w]d

第32卷第5期 辽宁工程技术大学学报（自然科学版） 2013年5月

of Liaoning Technical University（Natural Science） May 2013 Vol.32 No.5 Journal

文章编号：1008-0562(2013)05-0577-05 doi:10.3969/j.issn.1008-0562.2013.05.001

非稳态导热问题有限体积法

秦跃平1，孟 君1,2，贾敬艳1，杨小彬1，刘 伟1

（1.中国矿业大学（北京） 资源与安全工程学院，北京 100083；2.西山煤电（集团）有限责任公司，山西 太原 030053）

摘 要：为了研究非稳态导热问题中的常用有限体积方案（FVM1）和新提出的有限体积方案（FVM2）的精度差异问题，采用理论推导和实例验证的方法，建立基于有限体积法原理的热平衡积分方程，利用矩形网格进行离散化，建立了平面非稳态热传导问题有限体积法数学模型，推

稳态导热习题解析

1 固体内的一维导热问题

例1 具有均匀内热源强度qv的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2δ，导热系数λ为常数，两侧壁温各自均布，分别为 tw1和tw2。

试求该平壁内的温度分布表达式。

解: 根据题意，这是导热系数为常数但有均匀内热源强度的稳态导热现象，x坐标的原点取平壁的中心线。描述该平壁内稳态导热现象的微分方程式为

d2tqv??0 （1）

dx2?边界条件： x= -δ: t=tw1

x= δ: t=tw2 （2）

移项后积分该微分方程式两次可得其通解

qdt??vx?C1 dx?qt??vx2?C1x?C2 （3）

2?代入边界条件

tw1??tw2式（4）+式（5）

qv(??)2?C1(??)?C2 （4） 2?q??v?2?C1??C2 （5）

2?C2?tw1?tw2qv2??

第三章非稳态导热分析解法

本章主要要求：

１、重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维及二维非稳态导热问题。 2 、掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法；

② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。 3 、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。

许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。因此，应确定其内部的瞬时温度场。钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。

§3—1 非稳态导热的基本概念

一、非稳态导热

1 、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。 2 、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：

1 ）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即： 2 ）物体的温度随时间而作周期性变化

如图 3-1 所示，

第三章非稳态导热分析解法

本章主要要求：

１、重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维及二维非稳态导热问题。 2 、掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法；

② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。 3 、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。

许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。因此，应确定其内部的瞬时温度场。钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。

§3—1 非稳态导热的基本概念

一、非稳态导热

1 、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。 2 、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：

1 ）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即： 2 ）物体的温度随时间而作周期性变化

如图 3-1 所示，

高等传热学导热理论

第四讲 非稳态导热

描述非稳态导热问题的微分方程：

??t?2 ?a?t????Cp共有四维，不好解。最简单的情况，如果系统内部无温度差（即无导热），

它的温度变化规律如何？这就是所谓的薄壁问题，此时无需考虑系统的空间坐标，所以又是0维问题。

1．薄壁问题（P40-45）即集总参数系统 薄壁理论：

如果系统内部无温度差，由热力学第一定律可得：

??q??dAd??MCdt 1－2－1

?当热流密度与边界相互垂直时，有：

qAd???VCdt 1－2－2

如边界上的热流密度为q?h(tf?t)

hA(tf?t)d???VCdt 1－2－3

??0t?t0

实际情况 t不可能相同。什么条件下可用薄壁公式呢？

工程界用得最多的判据是：

Bi?0.1 1－2－4

对平壁，圆柱和球，此时内部温差小于5％ 有人对此判据提出异议：在加热初期极短时间内，任何有限薄壁可看作半无限大体，温度只影响边界附近薄层中，与薄壁概念

拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用

王欣然 学号：2010319214

（河北建筑工程学院城建系热动102班）

摘 要：许多工程实际问题涉及到非稳态导热，通过对非稳态导热过程的分析，得出其数学模型为偏微分方程。偏微分方程的求解经常用到拉普拉斯变换方法。给出了利用拉普拉斯变换法求解非稳态导热问题的方法步骤，并采用此方法对边界条件为恒定热流和变热流两种情况进行了求解。发现其求解步骤明确、规范，便于在工程技术中应用，具有很好的推广价值。 关键词：拉普拉斯变换；非稳态导热；定解条件；通解

The Application of Laplace Transform in Unsteady StateHeat Conduction

Problem

Wang xin-ran

Abstract：Many of practical issues are related to unsteady state heat condition.Through analysis for its process, it is found that its mathematical model is partial differential equations. Lap

第五次作业（前三题写在作业纸上）

一、用有限差分方法求解一维非定常热传导方程，初始条件和边界条件见说明.pdf文件，热扩散系数α=const，

?T?2T??2 ?t?x1. 用Tylaor展开法推导出FTCS格式的差分方程

2. 讨论该方程的相容性和稳定性，并说明稳定性要求对求解差分方程的影响。 3. 说明该方程的类型和定解条件，如何在程序中实现这些定解条件。

4. 编写M文件求解上述方程，并用适当的文字对程序做出说明。（部分由网络搜索得

到，添加，修改后得到。） function rechuandaopde

%以下所用数据，除了t的范围我根据题目要求取到了20000，其余均从pdf中得来 a=0.00001;%a的取值 xspan=[0 1];%x的取值范围 tspan=[0 20000];%t的取值范围

ngrid=[100 10];%分割的份数，前面的是t轴的，后面的是x轴的 f=@(x)0;%初值

g1=@(t)100;%边界条件一 g2=@(t)100;%边界条件二

[T,x,t]=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid);%计算所调用的函数 [x,t]=meshgrid(x,t);

mesh

大学实验

稳态法测量不良导体导热系数

摘要：导热系数是反映材料导热性能的物理量，在加热器、散热器、导热管道、冰箱制造、建筑保温隔热设计等领域都涉及该设计参数。材料的导热系数与材料的容量、空隙率、湿度、温度等因素有关，小于0.25W/m·K的材料为绝热材料。导热系数的测量方法有稳态法和动态法两类，本实验采用稳态法。

关键词：稳态法 导热系数 热流量 比热容 冷却速率

Steady method for measuring the poor

conductor coefficient of thermal conductivity

Abstract: the coefficient of thermal conductivity is reflect material thermal conductivity physical quantities, in the heater, radiator, thermal pipe,

refrigerator manufacture, construction insulation design, and other fields involve the design parameters. The the

第五次作业（前三题写在作业纸上）

一、用有限差分方法求解一维非定常热传导方程，初始条件和边界条件见说明.pdf文件，热扩散系数α=const，

?T?2T??2 ?t?x1. 用Tylaor展开法推导出FTCS格式的差分方程

2. 讨论该方程的相容性和稳定性，并说明稳定性要求对求解差分方程的影响。 3. 说明该方程的类型和定解条件，如何在程序中实现这些定解条件。

4. 编写M文件求解上述方程，并用适当的文字对程序做出说明。（部分由网络搜索得

到，添加，修改后得到。） function rechuandaopde

%以下所用数据，除了t的范围我根据题目要求取到了20000，其余均从pdf中得来 a=0.00001;%a的取值 xspan=[0 1];%x的取值范围 tspan=[0 20000];%t的取值范围

ngrid=[100 10];%分割的份数，前面的是t轴的，后面的是x轴的 f=@(x)0;%初值

g1=@(t)100;%边界条件一 g2=@(t)100;%边界条件二

[T,x,t]=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid);%计算所调用的函数 [x,t]=meshgrid(x,t);

mesh