拉普拉斯变换求解二阶微分方程

目 录

引言 ............................................................... 1 1 拉普拉斯变换以及性质 ............................................. 1 1.1 拉普拉斯变换的定义 ....................................................... 1 1.2 拉普拉斯变换的性质 ....................................................... 2 2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 ............................. 3 3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 ............................. 4 3.1 初值问题与边值问题 ....................................................... 4 3.2 常系数与变系数常微分方程 ................................................ 5 3.

拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:

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?目录

引言 ............................................... 错误!未定义书签。

1 拉普拉斯变换以及性质1?

1．１拉普拉斯变换的定义?错误!未定义书签。

1．2拉普拉斯变换的性质?错误!未定义书签。

2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 ............ 错误!未定义书签。

3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 ............. 错误!未定义书签。３.1初值问题与边值问题?错误!未定义书签。

3.２常系数与变系数常微分方程 ............................. 错误!未定义书签。

3.3含 函数的常微分方程.................................... 错误!未定义书签。

3.4常微分方程组.............................................. 错误!未定义书签。３．5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 .....

拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

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引言 ............................................... 错误!未定义书签。

1 拉普拉斯变换以及性质1?

1．１拉普拉斯变换的定义?错误!未定义书签。

1．2拉普拉斯变换的性质?错误!未定义书签。

2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 ............ 错误!未定义书签。

3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 ............. 错误!未定义书签。３.1初值问题与边值问题?错误!未定义书签。

3.２常系数与变系数常微分方程 ............................. 错误!未定义书签。

3.3含 函数的常微分方程.................................... 错误!未定义书签。

3.4常微分方程组.............................................. 错误!未定义书签。３．5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 .....

目 录

引言................................................................ 1 1 拉普拉斯变换以及性质.............................................. 1 1.1 拉普拉斯变换的定义 .............................................. 1 1.2 拉普拉斯变换的性质 .............................................. 2 2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤.............................. 2 3 拉普拉斯变换在求解线性微分方程中的应用............................ 3 3.1 初值问题与边值问题 .............................................. 3 3.2 常系数与变系数微分方程 .......................................... 4 3.3 含?函数的微分方程 .......................

拉普拉斯变换

基本要求

拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。

知识要点

1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换

??[f(t)]?F(s)??f(t)edt

0??st逆变换

?[F(s)?]ft(?)2?j???j?1??j?Fse(ds)

st双边拉普拉斯变换： 正变换

FB(s)??f(t)?1???f(t)edt

?st逆变换

2?j???j???j?FB(s)eds

?0则f(t)e??tst（2） 定义域 若???0时，limf(t)et????t在?积分???0的全部范围内收敛，

??0?f(t)edt?st存在，即f(t)的拉普拉斯变换存在。?数f(t)的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若

??0就是f(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域。?0与函

?[f1(t)]?F1(S),

?[f2(t)

六．拉普拉斯变换 ㈠选择

㈡填空

1.f(t)?2?(t)的拉普拉斯变换是_______________ 2.f(t)?u(t?1)的拉普拉斯变换是_________________. 3.f(t)?u(t?2)的拉普拉斯变换是_________________. 4.f(t)?t2?e2t的拉普拉斯变换是_______________. 5.f(t)?e2t?5?(t)的拉普拉斯变换是_______________ 6.f(t)?e2tu(t?2)的拉普拉斯变换是________________. 7.f(t)?tnekt(k为实数)的拉普拉斯变换是__________________. 8.f(t)?e?2tsin3t的拉普拉斯变换是__________________. 9.f(t)?e?2t的拉普拉斯变换是_________________. 10.f(t)?e2t的拉普拉斯变换是__________________。 11.f(t)?t的拉普拉斯变换是________________ 12.f(t)?te的拉普拉斯变换是____________________. 13.f(t)?cos2t的拉普拉斯变换是_____________

第十二章 拉普拉斯变换及逆变换

拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。

第一节 拉普拉斯变换

在代数中，直接计算

N?6.28?357819.8是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为

?20?(1.164)

235然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N。

这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。

13lgN?lg6.28?(lg5781?lg9.8?2lg20)?lg1.16435

一、拉氏变换的基本概念

定义12.1 设函数f(t)当t?0时有定义，若广义积分

???0f(t)e?ptdt在P的某一区域内

收敛，则此积分就确定了一个参量为P的函数，记作F(P)，即

0 （12.1）

称（12.1）式为函数f(t)的拉氏变换式，用记号L[f(t)]?F(P)表示。函数F(P)称为f(t)

成 绩 评 定 表

学生姓名 中国好学长 专 业 通信工程 班级学号 课程设计题目 典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换 评 语 组长签字： 成绩 日期

1

2016 年 7 月 日

课程设计任务书

学 院 学生姓名 课程设计题目 信息科学与工程学院 专 业 班级学号 通信工程 典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换 实践教学要求与任务: 1、 学习Matlab软件及应用； 2、 学习并研究拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换有关理论； 3、利用Matlab编程，完成拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换分析与处理； 4、写出课程设计报告，打印程序，给出运行结果。 工作计划与进度安排: 第1-2天： 1、学习使用Matlab软件、上机练习 2、明确课题内容，初步编程 第3-5天： 1、上机编程、调试 2、撰写课程设计报告书 3、检查编程、运行结果、答辩 4、上交课程设计报告 指导教师： 专业负责人： 学院教学副院长： 2016 年 7月 6 日 2016 年7 月 6日 2016 年 7 月 6 日

2

目录

1.Matlab介绍 ..........

一傅里叶变换在应用上的局限性

在第三章中，已经介绍了一个时间函数f?t?满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。即

F?j?????f?t?e?j?tdt??? (正变换) (5.1)

f?t??

12?????F?j??ej?td? (反变换) (5.2)

但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号U?t?，斜变信号

tU?t?，单边正弦信号sin?tU?t?等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅

里叶变换。

at还有一些信号，例如单边增长的指数信号eU?t??a?0?等，则根本就不存在傅里叶变

换。

另外，在求傅里叶反变换时，需要求?从??到?区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。

利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。

由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉

一傅里叶变换在应用上的局限性

在第三章中，已经介绍了一个时间函数f?t?满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。即

F?j?????f?t?e?j?tdt??? (正变换) (5.1)

f?t??

12?????F?j??ej?td? (反变换) (5.2)

但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号U?t?，斜变信号

tU?t?，单边正弦信号sin?tU?t?等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅

里叶变换。

at还有一些信号，例如单边增长的指数信号eU?t??a?0?等，则根本就不存在傅里叶变

换。

另外，在求傅里叶反变换时，需要求?从??到?区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。

利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。

由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉