带余除法例子

带余除法

我们知道两个整数的和、差、积仍然是整数，但是用一不等于零的整数去除另一个整数所得的商却不一定是整数，因此我们引进整除的概念；

定义 设a,b是任意两个整数，其中b?0，如果存在一个整数q使得等式

a?bq ?1? 成立，我们就说b整除a或a被b整除，记作b|a，此时我们把b叫作a的因数，把a叫作b的倍数.

如果?1?里的整数q不存在，我们就说b不能整除a或a不被b整除，记作b？a.

整除这个概念虽然简单，但却是数论中的基本概念，我们很容易从定义出发，证明下面那些关于可除性的基本定理.

定理1 若a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c的倍数，也就是

b趑a,cb?c a.

a,c就是说存在两个整数b证 b趑b1，a1使得

a=a1b,b=b1c

成立，因此

a=?a1b1?c.

a. 证完 但a1b1是一个整数，故c? 定理2 若a,b都是m的倍数，则a?b也是m的倍数.

证 a,b是m

“MOC3041”的 应 用

图2是用双向可控硅的云台控制单路电路图。图中的光耦MOC3041是用来隔离可控硅上的交流高压和直流低压控制信号的。其输出用来触发双向可控硅，选用ST

Microelectronics公司的T4系列，内部集成有缓冲续流电路，不用在双向可控硅两端并联RC吸收电路，可以直接触发，电路设计比较简单。

P1.0通过可控硅、交流接触器、过流保护器和断相保护器控制电机，图中仅给出带过零触发的双向晶闸管触发电路。MOC3041为光耦合双向可控硅驱动器，输入端驱动电流为15mA，适用于220V交流电路。

1、MOC3041的工作电流仅十余个毫安，直接驱动20瓦的功率非常勉强，不敢保证长时间工作不会烧坏，应该让3041驱动97A6的可控硅，再用可控硅驱动电磁阀。

2、实践证明，51单片机驱动PNP管的时候，在工作条件接近临界点的时候，会出现关不断的现象，其原因在于：（1）端口的高电平并不是严格的Vcc电压，而是比Vcc略低，这种略低的电压足以形成给Q1一个很小的偏置电压Vbe，虽然该电压远小于0.7V，但经过三极管放大后，却能够造成Q1集电极有极小的电流存在，尽管该电流不足以导致LED发出用肉眼

能看到的亮光，但是在密

第七节 带余除法

内容讲解

用一个整数a去除整数b，且a>0，则必有并且只有两个整数q与r，使b=aq+r，?0≤r

b，b不能被a整除，或者说，b除以a有余数．

利用余数将自然数分类，在解决实际问题中有广泛应用．我们说，任何一个自然数b被正整数a除时，余数只可能是0、1、2、…、a-1．这样就可以把自然数分为a类．例如，一个自然数被4除，余数只能是0、1、2、3中的一个．因此，所有自然数按被4除时的余数分为4类，即4k，4k+1，4k+2，4k+3．任何自然数都在这四类之中．

我们还关心带余除法中的另一个问题，即是当两个整数a、b去除不为0?的同一整除n时，余数相同，称为同余问题．一般地，记为a≡b（mod n）．记号“≡”读作“同余于”，“mod”读作“模”，此式读作“a同余于b模n”或“a与b对模n?同余”． 例如：32≡7（mon 5），是由于32与7分别被5除，余数都是2．读作“32与7对模5同余”．

在同余问题中，常用的性质有： （1）同一模的同余式可以相加，就是 如果a1≡b1（mod n），a2≡b2（mod n）， 那么a1+a2≡b1+b2（mod n）

奥数精品

带余除法

知识框架

带余除法的定义及性质

1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,

0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当r?0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当r?0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图

这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质

⑴ 被除数?除数?商?余数；除数?（被除数?余数）?商；商?（被除数?余数）?除数； ⑵ 余数小于除数． 3、解题关键

理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．

例题精讲

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【例 1】 某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于

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带余除法

知识框架

带余除法的定义及性质

1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,

0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当r?0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当r?0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型:如图

这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质

⑴ 被除数?除数?商?余数；除数?（被除数?余数）?商；商?（被除数?余数）?除数； ⑵ 余数小于除数． 3、解题关键

理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．

例题精讲

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【例 1】 某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于

教学基本信息 课题 笔算除法例2 学科 数学 学段 中年级 年级 四年级 相关领域 教材 数与代数 书名：义务教育教科书 出版社：人教 出版日期：2012年6月 教学设计参与人员 姓名 xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx 单位 联系方式 xx xx xx xx xx 设计者 实施者 指导者 课件制作者 其他参与者 指导思想和理论依据 新课标注指出，运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养学生运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简介的运算途径解决问题。本节课旨在课标的指导下，以实际生活情景，学生在原有知识的认知上解决问题，从而通过探究感悟笔算除法中，用“四舍五入法”把除数看作整十数来试商的需要。通过学生探究试商的过程，体会试商后所得的余数比除数大从而进行调商的情况，直到试商结束。提升学生的运算能力再反回来解决实际的生活问题。提升学生学习知识的成就感。 教学背景分析 （一） 教学内容分析 本课的教学任务是人教版小学数学四年级上册P84页。在二年级下册设置了表内除

1

法、三年级上册设置了有余数的除法以及三年级下册设置的除数是一位数的除法。本课内容为四

ABAQUS 入门教程

1. 什么是有限元

对于连续的实体，或者流体，如果形状，边界条件较复杂，是不能得到位

移或者应力应变的解析解的，因此提出了利用有限个单元（Finite Element）的集合来离散（Discretize）表示结构的实际几何形状，如下图，该实体由六面体单元和四面体单元(Element)组成，每一个单元代表这个实际结构的一个离散部分。单元由节点构成，单元和单元之间通过共有的节点（Node）连接。节点与单元的集合称为网格（Mesh）。在一个特定网格中的单元数目称为网格密度（Mesh Density），可以很轻易地得到网格密度是和计算精度密切相关的，但是过密的网格会导致庞大的计算量，因此需要根据情况合理确定网格尺寸。

各种单元类型，

不同的单元类型适用于不同的情况。

有限元求解方法：

隐式方法(Implicit) 由胡克定理得： F??Kx

其中F代表力矩阵，K为刚度矩阵，由每个单元的局部刚度矩阵结合得到，x为位移矩阵，代表每个节点的各个方向的位移。隐式方法主要就是求解该方程。位移法步骤如下：

1. 结构离散

2. 单元分析，形成单元刚度矩阵

3. 结构分析，形成总刚度矩阵（包含所有单元刚度矩阵） 4. 约束处理

5. 求解线

成分赘余的例子

通过以上典型例子可以看出，句子成分赘余大多属于以下两种情况：一是词语同义反复，二是修饰语与中心词重复。

（01）感到自惭形秽（“惭”本身有“感到”之意，删去“感到”）

（02）凯旋而归、凯旋归来（“旋”本身有“归”之意，删去“而归”和“归来”）

（03）被人贻笑大方（“贻笑大方”本身有被动之意，“大方”本身就是表人的，删去“被人”）

（04）出乎意料之外（“出乎”与“之外”重复，删去“之外”）

（05）长期以来的夙愿、多年的夙愿（“长期以来的”与“夙”重复，删去“长期以来”和“多年的”）

（06）除了??之外（以外）（“除了??”本身表示在什么之外，相当于“??除外”，其与“之外”或“以外”不能同时使用）

（07）众多莘莘学子、一位莘莘学子（“莘莘”本身就是众多之意，用“众多”就重复了，用“一位”就相矛盾）

（08）显得相形见绌（“见”有显现之意，与“显得”重复了，应去掉“显得”） （09）互相厮打（“厮”已含有互相的意思，删去“互相”） （10）这其中、这其间（“其”即这，删去“这”）

（11）见诸于、付诸于（“诸”是文言中的一个兼词，是“之于”的合音，应删去“于”字） （12）否则不这样（“否则”有不这样之意，删去“不这样

一个题根从小学讲到高中

----------由带余除法到中国剩余定理

（一）什么是带余除法？

顾名思义,带余除法就是两个整数相除,除不尽而带有余数. 例如:7÷3=2…1.

这个式子的含义是：7除以3是除不尽的,运算的结果是商2余1. 这个式子带有省略号,不算太清楚,所以一般将其改写为;

7=3×2+1.

一般地,如果被除数是b,除以除数a后商数是q,余数是r,则有;

b?aq?r这个式子

题,就主要讲解并消化这个公式.

???

???,是带余除法的基本公式,也是研究整除问题的题根.我们这个专

千万别不屑一顾:无非是带余除法么？有什么高深莫测的？ 那么我且问你,以下几个问题你真的清楚吗？ 1.余数的基本性质.

问题1.如果除数是5,那么余数有哪几种可能？

【解析】直接举例,5,6,7,8,9除以5,余数分别为0,1,2,3,4; 以下10,11,12,13,14除以5,余数仍为0,1,2,3,4;

可以预见,再往下推理,余数仍然逃不出0,1,2,3,4这5个数的范围. 这就是说,任一整数除以5,其余数只有5种可能.

1

一般地说,任一整数除以正整数n,其余数有且只有0,1,2,…,n-1共n种可能. 特别提醒,余数必须是自然数而且比除数要小

●

解题技巧与方法

●静

●

多项或 除法獬高次余◎黄嘉威 (暨南大学信息科技学院数学系，广东 广州 5 1 0 6 3 2 )

【摘要】本文研究了高次同余的计算问题，利用公式和递推的方法，推广了多项式除法的结果。

除P .展开即：

【关键词】同余；费马小定理；组合数；多项式1 .引言

’

定理2 . 1 X m p s∑ (一 1 ) c . m p - ( p - 1 ) i ( m o d p )用一个例子比较一下这个递推式与欧拉定理 aE 1 (m0 d n) .¨

由费马小定理开始高次同余有了计算方法，欧拉定理

葺 2x一

(m0 d 7 ) 4 4暑

(m 0 d 72 )

把它推广到合数情况， C a r m i c h a e l函数更使同余运算更进一

前者能在更小次方的情况下递推，更多的情况下 m p小于( P一1 ) P一+m.

步.

本文将透过多项式除法让高次同余运算得到更大的发展.

要是用前者递推高次同余，没能一步过的话会很麻烦，欧拉定理却能一步过 .。 0o

2 .费马小定理的推广费马小定理，即当。与 P互素，且 P为素数时，有o1(m o d D) .

掌 2x 9 4一 B 8三 3 x 8 8— 2x B 2鲁…