考研高数需要掌握的定理证明

高数中的重要定理与公式及其证明（一）

考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。

由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。 1）常用的极限

ln(1?x)1?cosx1ex?1ax?1(1?x)a?1lim?1，lim? lim?1，lim?lna，lim?a，x?0x?0x?0x?0x?0xx22xxx【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想

?x)?e与过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1x?01xsinx?1的推论，它们的推导过程中

一、极限存在准则

1． 准则I （夹逼准则）：如果数列xn,yn及zn满足下列条件: （1）yn?xn?zn(n?1,2,3,?); （2）limyn?a,limzn?a,

n??n??那末数列xn的极限存在, 且limxn?a.

n??思路提示：

1）利用夹逼准则求极限，关键是构造出yn与zn, 并且yn与zn的极限相同且容易求. 2）一般通过放大或缩小分母来找出两边数列的通项（右边取分母最小，左边取分母最大） 例题1 证明limn?(n??1n?12?1n?22???1n?n2)?1

解：因为

n22n?nn22?n?(1n?1n22?1n?22???1n?n12)?n22n?11n?22，

2而limn??n?1?limn??n?n?1?limn?(n??n?12????1n?n2)?1。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例题2 计算lim?n?????1n?12?1n?22?????. ?2n?n?1解：

四、重点关注题目

1.证明：方程

?x0t4dt?4x?2在区间（1,2）只有唯一实根。

2.设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)?1，证明：方程2x?个实根。

3.设f(x)在?0,?上连续，且f(x)?1，证明：方程

2?x0f(t)dt?1在（0,1）内只有一

?π????x01?t4f(t)dt??0cosxe?tdt?0在

2?π?

?0,?内有唯一实根。 ?2?

4. 试证:当0?x1?x2??2时,

tanx2x2? tanx1x15. 当x?0时,arctanx?1?? x26.当x?0时，(1?x)e?2x?1?x

7.证明：当1?x?0时，2ln(1?x)?ln2(1?x)?2x 8.证明：当x?0时，(1?x)ln(1?x)?arctanx

9.证明：当0?x?y??2时，

1tany?tanx1??

cos2xy?xcos2y10. 当x?1时，试证：

1n?1x?1x?1x?1?ln?. x?1221n1n?11naa?aa??(a?1,n?1)

(n?1)2lnan2x?ln(x?1)?x 12.证明：当x?0时，

x?111. 证明：

13.试证：当a?b?0,n?1时，nbn?1(a?b)?an?bn?nan?1(a?b).

(李正元考研高数基础讲义)

新东方高等数学笔记（主讲：李正元） 第四章微分、中值定理及其应用

第四章 微分、中值定理及其应用

§1一元函数微分学中的基本定理 ——中值定理

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第四章微分、中值定理及其应用

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新东方高等数学笔记（主讲：李正元） 第四章微分、中值定理及其应用

§2 微分学理论的应用

——利用导数研究函数的变化

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1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0

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1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0

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无税收条件下的MM定理 1.1 假设条件

假设1：无摩擦市场假设

? 不考虑税收；

? 公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用； ? 无关联交易存在；

? 不管举债多少，公司和个人均无破产风险；

? 产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；

不存在自然垄断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵状况；不存在帕累托改善；等等；

? 资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会； ? 投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。

假设2：一致预期假设

? 所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且

对其进行完全理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险都按照马克维兹的投资组合理论衡量。

1.2 MM定理第一命题及其推论

MM定理第一命题：

有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。

第一命题的含义：

即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本结构无关，而只与其盈利水平有关。这说明未来具有完全相同的盈利能

篇一：勾股定理16种证明方法

勾股定理的证明（看前5个就可以了）

【证法1】（课本的证明）

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即

11

a2?b2?4?ab?c2?4?ab

22， 整理得 a2?b2?c2.

【证法2】（邹元治证明）

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积

1ab

等于2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、

C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o,

∴ ∠D

篇一：正弦定理的几种证明

正弦定理的几种证明

内蒙古赤峰建筑工程学校 迟冰 邮编（024400）

正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题（测量）的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养学生的探索精神，体验数学的探索活动过程，也有利于教师根据不同的教学质量要求和学次，进行适当的选择。

正弦定理的内容：

在?ABC中的三边和三角分别是

a

sinA=b

sinB=c

sinC:a,b,c和A,B,C则：

一向量法

证明：在?ABC中做单位向量

i?AB?i?(AC?CB)

|sinA?|i||CB|sinCi

⊥AC,，则：?c

sinC

a

sinA?

:bsinBa

sinA?b

sinB?c

sinC 同理可证：即正弦定理可证

证明：在?ABC中做高线CD,

则在Rt?ADC和Rt?BDC中

CD=bsinA,

CD=asinB

即bsinA=asinB

a

sinA=b

sinB,同理可证：ac

sinA=sinC,

即正弦定理可证

三外接圆法

证明：做

?ABC的外接圆O,过点C连接圆心与圆交于点设圆的半径为R

∴?CAD为Rt?,且b?RsinD,且a∠D?∠B

∴b?2RsinB,即b

sinB?2R

同理:ac

sinA?2R,sinC?2R

∴ac

sinA?b

si

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