分式方程增根问题例题及答案

分式方程及其增根

文章来源：现代教育报·思维训练 作者：都卫华 点击数：2101 更新时间：2007-3-14 8:32:53

解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）.

【例1】解方程 .

解：方程两边同乘x（x+1），得 5x-4（x+1）=0.

化简，得x-4=0. 解得x=4.

检验：当x=4时，x（x+1）=4×（4+1）=20≠0，

∴ x=4是原方程的解.

【例2】解方程

解：原方程可化为，

方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）.

化简，得2x-3=-1.解得 x=1.

检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.

【小结】 去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项.

【例3】 解方程 .

解：原方程可变形为 .

解得x=.

检验：当x=

所以x=时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0， 是原方程的解.

【小结】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单

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分式方程

a1?2x有增根，则a=-------答案：7 ?1?x?44?xm2. 解关于x的方程?1下列说法正确的是（C ）

x?5A.方程的解为x? B.当m??m?55时，方程的解为正数 C.当m??5时，方程的解为负数 D.无法确定

x?a3.若分式方程?a无解，则a的值为-----------答案：1或-1

x?1m?x4 若分式方程=1有增根，则m的值为-------------答案：-1

x?11m5.分式方程有增根，则增根为------------答案：2或-1 ?x?2x?11k6. 关于x的方程有增根，则k的值为-----------答案：1 ?1?x?2x?2x?a7. 若分式方程?a无解，则a的值是----------答案：0

am?x18.若分式方程2m??0无解,则m的取值是------答案：-1或-

x?12mx(?1)?59. 若关于x的方程无解，则m的值为-------答案：6，10 ?m?32x?1x?m310. 若关于x的方程??1无解，求m的值为-------答案：

x?1x1. 关于x的方程

分式方程应用题分类讲解与训练

一、【行程中的应用性问题】

如何理解分式方程和分式方程的根

学习分式方程和求解分式方程的根时，容易产生一些模糊的认识，要真正弄懂学好，应注意以下几点：

1. 分式方程是分母含未知数的有理方程。这告诉我们：

x2?1与x?1是不同的两个方程，①分式方程是形式上的定义。如方程前者x为分式方程，后者为整式方程。

②分式方程强调分母是含未知数而不是含有字母，这与分式定义中分母规定不一定。如关于x的方程

1x?m?2?，它不是分式方程，而是整式方程。 m2③分式方程是有理方程。如方程

x?1不是分式方程。 x2. 解分式方程时，去分母的方法不一定要乘最简公分母，但乘以最简公分母意义在于它不仅能使去分母具有可行性，同时演算简洁，有时还可减少增根个数。

如：解方程

x2?2?1，若方程两边乘以(x?1)(x2?2x?1)，解得x?1x?2x?1x??1，而x??1为增根；若方程两边乘以x2?2x?1，解得x?1为原方程的根。

3. 分式方程与它变形之后的整式方程的关系表现在：

一方面，分式方程的根是从整式方程中求出来的，它一定是整式方程的根。但整式方程的根不一定是分式方程的根，若是它的根的条件是要使分母不为零。

另一方面，分式方程的要求解要依靠整式方程，只不过其中排除分母不为零这一因素。如

行程问题课件

分式方程应用（行程问题）

你,我,他——人人都有 创造力. 相信自己是最棒的.

行程问题课件

随时小结

列分式方程解应用题的一般步骤

1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.

2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.

3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程. 4.解:认真仔细. 5.验:有两次检验.

两次检验是:

(1)是否是所列方程的解;

(2)是否满足实际意义.

6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.

行程问题课件

1、在行程问题中，三个基本量是：路程、速度、时间。 它们的关系是： 路程 路程 路程= 速度×时间 ；速度= 时间 ；时间= 速度 .

基础练习： 1 x (1)小汽车的速度为x千米/时，则15分钟能行驶________千米 4

(2)甲乙两地相距300千米，客车的速度为x千米/时，

300 则乘坐该客车从甲地到乙地需_________小时. x

(3)客车从甲地开往乙地需x小时，已知甲乙两地相距450千米，

450 则该客车的速度是__________千米/时. x

在水流行程中:已知船在静水中的速度和水流速度，那么 顺水速度= 静水中的速度 + 水流速度 ；

逆水速度= 静水中的速度 － 水流速度 .

行程问题课件

例题1：某列车

行程问题课件

分式方程应用（行程问题）

你,我,他——人人都有 创造力. 相信自己是最棒的.

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随时小结

列分式方程解应用题的一般步骤

1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.

2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.

3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程. 4.解:认真仔细. 5.验:有两次检验.

两次检验是:

(1)是否是所列方程的解;

(2)是否满足实际意义.

6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.

行程问题课件

1、在行程问题中，三个基本量是：路程、速度、时间。 它们的关系是： 路程 路程 路程= 速度×时间 ；速度= 时间 ；时间= 速度 .

基础练习： 1 x (1)小汽车的速度为x千米/时，则15分钟能行驶________千米 4

(2)甲乙两地相距300千米，客车的速度为x千米/时，

300 则乘坐该客车从甲地到乙地需_________小时. x

(3)客车从甲地开往乙地需x小时，已知甲乙两地相距450千米，

450 则该客车的速度是__________千米/时. x

在水流行程中:已知船在静水中的速度和水流速度，那么 顺水速度= 静水中的速度 + 水流速度 ；

逆水速度= 静水中的速度 － 水流速度 .

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例题1：某列车

分式及分式方程复习

◆知识讲解 1．分式

用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，若B中含有字母，式子就叫做分式． 2．分式的基本性质 AA?MAA?M=（其中M是不等于零的整式） ,?BB?MBB?MABAB3．分式的符号法则 a?aa?a=????． b?b?bb4．分式的运算 aba?bacad?bc． ,??cccbdbdacacacadad（2）乘除法：·?,???? bdbdbdbcbc（1）加减法：??anan（3）乘方（）=n（n为正整数） bb5．约分 根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中公因式约分，叫做约分． 6．通分 根据分式的基本性质，?把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分． 例1填空题：

x2?4（1）若分式2的值为零，则x的值为________；

x?x?2

（2）若a，b都是正数，且－=例2选择题：

（1）已知两个分式：A=

1a1b2ab,则22，则=______． a?ba?b411，其中x≠±2， ,B??x2?4x?22?x那么A与B的关系是（） （2）已知a2?b3?c4,则2a?3b?c3a?b?c的值为（）， a?1a2?41例3先化简再求值：，其中a满足a2－a

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分式应用题

1、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分才能完工。问：乙单独整理需多少分钟完工？

2、小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多，问：她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？

3、某商店经销一种纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。

⑴求这种纪念品4月份的销售价格。

⑵若4月份销售这种纪念品获利800元，问：5月份销售这种纪念品获利多少元？

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4、某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款1.5万元，乙工程队款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：

方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；

方案三：若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独完成，也正好如期完成。

试问：在不耽

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分式应用题

1、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材，甲单独整理需要40分钟完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分才能完工。问：乙单独整理需多少分钟完工？

2、小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多，问：她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？

3、某商店经销一种纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。

⑴求这种纪念品4月份的销售价格。

⑵若4月份销售这种纪念品获利800元，问：5月份销售这种纪念品获利多少元？

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4、某一项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队款1.5万元，乙工程队款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：

方案一：甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；

方案三：若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独完成，也正好如期完成。

试问：在不耽

辅 导 教 案学生姓名 任课老师 课 题 重 点 分式和分式方程分式的化简求值和解分式方程

年 级 上课日期

初二

科 目 时间段 教研组审批

数 学

难 点 教 学 过 程

分式的化简求值和解分式方程

一、基础知识 1、分式的定义(概念；分子、分母；有意义的条件) 、性质、运算 2、分式方程的定义、解法、关于增根 二、要点提示 1、分式值为 0、正数、负数、1、-1 的条件；分式有意义的条件 2、分式的性质(分子、分母——加减、乘除) 3、分式的约分(分子、分母必须分解因式)——最简分式的定义(分子、分母无公因式) 4、分式的通分(找最简公分母；利用分式的乘法性质变式)确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

5、分式的四则运算与分式的乘方 a b a b a c ad bc c c c b d bd a c a c a c a d a d b d b

分式方程应用题总汇及答案

1、A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度。

【提示】设共交车速度为x，小汽车速度为3x，列方程得：80/(3x) +3=80/x +20/60

2、为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成。问原来规定修好这条公路需多长时间？

【提示】设时间为x个月，列方程得：[1/x+1/(x+6)]*4+(x-4)/(x+6)=1

3、某工人原计划在规定时间内恰好加工1500个零件，改进了工具和操作方法后，工作效率提高为原来的2倍，因此加工1500个零件时，比原计划提前了五小时，问原计划每小时加工多少个零件？

【提示】设原计划每小时加工x个零件，列方程得：1500/2x +5=1500/x

4、甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，结果两组学生同时到达敬老院，如果步行的速度是骑自