用判别式法求值域注意事项

用判别式法法求值域

一、 判别式法

分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型

对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。

二、例题讲解

1、求函数y 2x

x22 4x 7 2x 3的值域。

由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：xy 2xy 3y 2x 4x 7整理得：(y 2)x 2(y 2)x 3y 7 0当y 2时，上式可以看成关于x的二次方程，该方程的x范围应该满足f(x) x 2x 3 0即x R此时方程有实根即△ 0，△ 2(y 2)] 4(y 2)(3y 7) 0 y [ 222229

2,2]. 注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是y 2,y

将y 2,y

2、求函数y 9229292）代回方程检验。 ,2)。 分别代入检验得y 2不符合方程，所以y [ x 1x 2x 2的值域。

2解答：先将此函数化成隐函数的形式得：yx (2y 1)x 2y 1 0，(1)

这是一个关于x的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方

4数学通讯　　　　　　　　　　　　　2001年第20期

用判别式法求函数值域的几点思考

邱　旭

(成都市第十八中学,四川610072)

(其中a2+d2≠　　形如y=2

dx+ex+f

0)的有理分式函数一般可转化为关于x的

2

一元二次方程(dy-a)x2+(ey-b)x+(fy-c)=0(以下简称方程※,其中将y看作方

≤y≤3且y≠1.3

综上所述,原函数的值域为[,3].

3

思考1　为什么必须讨论二次项系数为4(y-1)2≥0,解得

零的情形呢?

当二次项系数为零时,方程不再是二次方程,更无判别式可言.因此在用判别式法求函数值域时,必须考虑到二次项系数dy-a=0即y=

的情形,而且必须注意此时的yd

程的系数),由方程有实根的条件Δ≥0来求函数值域的方法叫做“判别式法”.在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹.

2例1　求函数y=2的值域.

x-x+1

解　函数式变形为

(y-1)x2+(1-y)x+y=0

(1)

d

值.若不存在这样的x值或存在这样的x值

值是否在函数定义域内有与之相对应的x

当y=1时,方程(1)为1=0,这显然不成立,因此y=1不在函数值域中:

当y≠1时,∵x∈R,

∴Δ=(1-y)2-4y(y-1)≥0,解得-≤y<1.3

∴函数

4数学通讯　　　　　　　　　　　　　2001年第20期

用判别式法求函数值域的几点思考

邱　旭

(成都市第十八中学,四川610072)

(其中a2+d2≠　　形如y=2

dx+ex+f

0)的有理分式函数一般可转化为关于x的

2

一元二次方程(dy-a)x2+(ey-b)x+(fy-c)=0(以下简称方程※,其中将y看作方

≤y≤3且y≠1.3

综上所述,原函数的值域为[,3].

3

思考1　为什么必须讨论二次项系数为4(y-1)2≥0,解得

零的情形呢?

当二次项系数为零时,方程不再是二次方程,更无判别式可言.因此在用判别式法求函数值域时,必须考虑到二次项系数dy-a=0即y=

的情形,而且必须注意此时的yd

程的系数),由方程有实根的条件Δ≥0来求函数值域的方法叫做“判别式法”.在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹.

2例1　求函数y=2的值域.

x-x+1

解　函数式变形为

(y-1)x2+(1-y)x+y=0

(1)

d

值.若不存在这样的x值或存在这样的x值

值是否在函数定义域内有与之相对应的x

当y=1时,方程(1)为1=0,这显然不成立,因此y=1不在函数值域中:

当y≠1时,∵x∈R,

∴Δ=(1-y)2-4y(y-1)≥0,解得-≤y<1.3

∴函数

围场卉原初中初三数学导学案N0２2. 编制人：李建利 刘海龙 鲁秀峰 霍志科 孙松峰 审核： 包科组长签字： 时间：2010. 姓名： 层次: 评价区：

一元二次方程的根的判别式练习学案

教学目标：1、了解一元二次方程的根的判别式的产生过程；

2、能运用根的判别式判别方程根的情况，会进行有关的推理论证； 3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；

4、激情投入,阳光展示。

一、导学部分

1、一般地，式子 2、若 则 ，方程有两个不相等的实数根 若，则方程有两个相等的实数根 若，则方程没有实数根。 二、学习新知

例1：不解方程判别下列方程根的情况

1 2x2 3x 4 0 2 16y2 9 24y 3 5 x2 1 7x 0

4 x2 k2 0

例2：求证关于x的方程 m2 1 x2 2mx m2 4 0没有实数根

三、巩固提高 （一）、选择题

1. （2009年台湾）若a、b为方程式x2

4(x 1)=1的两根，且a＞b，则a=（ ）

A．－5 B．－

判别式与韦达定理

根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.

1． 判别式的应用

2

例1 已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程ax+2bx+c=0必有实根.

2

证明 △=（2b）-4ac.①若一元二次方程有实根，

必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得

2

△ =（Pc+Ra）-4ac

22

=（Pc）+2PcRa+（Ra）-4ac

2

=（Pc-Ra）+4ac（PR-1）.

∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0， （1）当ac≥0时，有△≥0；

2

（2）当ac＜0时，有△=（2b）-4ac＞0.

2

（1）、（2）证明了△≥0，故方程ax+2bx+c=0必有实数根.

例2 k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数a.P是数轴上另一点,坐

2

标是x,x＜a，且OP=k·PA·OA.

（1） k为何值时，x有两个解x1，x2（设x1＜x2）；

（2） 若k＞1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接.

2

解 （1）由已知可得x=k

应变计粘贴、连接、防护方法简述

在电阻的各种安装方法中，粘贴法应用最多。应变计粘贴质量的好坏，是决定应变测试成功与否的关键因素之一，因此，粘贴时必须严格按照粘贴的工艺流程进行操作。

一、 应变计粘贴和防护的工艺流程：

（1）应变计选择→（2）胶粘剂选择→（3）构件打磨→（4）表面清洗→

（5）画线定位→（6）应变计清洗→（7）涂敷底胶→（8）应变计粘贴→（9）加热固化→（10）贴片质量检查→（11）引线连接→（12）质量检查→（13）常温及温度性能补偿→（14）质量检查→（15）性能测试→（16）防护处理。

二、应变计粘贴工艺方法

使用不同粘结剂粘贴应变计的工艺是有差异的，这里我们只对其中的一些共同性的内容加以介绍。 （1） 应变计的准备

应变计的准备是指应变计的选择、应变计检查和应变计表面处理。应变计的 选择我们在前面已经做了专门介绍，这里仅介绍其它两方面的内容。

a. 应变计检查：包括外观检查和阻值检查

外观检查主要看基底和盖层有否破损，敏感栅有否锈斑，引线有无折断的危

险，敏感栅排列是否整齐，有无短路、缺口、断栅、划伤和变形，基底是否有气泡、皱折、坑点存在。

测量电阻应该精确到0.1Ω。 b. 应变计表面处理

应变计在

资源二室四平地区二类调查注意事项

1、外业前，各组组长负责检查各项资料及工作程序准备是否齐全。各单位要与

相临单位进行接图，防止外业出现错、漏。

2、应充分收集利用局方掌握的与本次调查相关的各种资料和信息，对调查单位的情况进行充分的了解，保证工作的顺利开展。

3、样地除落入大片耕地外，其它都应现地落实。改设样地的GPS坐标值一般应为“00”点。样地地类是按中心点小班地类确定，当样地落在小班边缘时要注意地类的确定。

4、样地应进行有林地成数计算，计算过程可记录在样地最后一页（即样地位置图的背面），精确到0.1。

5、当一个乡镇内含有多个国营林场时，要注意区分。

6、各级被调查单位驻址、非林地小班的四旁树、新修建的主要道路和水渠等，调查时不要漏。部分道路和渠在卫片上分辨不清的，要现地落实，并及时修改线图。

7、林带不要含跨公路、铁路、水渠等扣面积的非林地线性小班。

8、明确小班因子借用条件。林带小班借用因子后，林带宽度仍需实测。借用的小班号在备注栏注明。

9、做样圆时，严格用皮尺实测样木距离，禁止目测。

10、能使用PDA调绘的，要注意原始数据（包括小班、样圆、样带、角规、踩点

数据）的备份，注意严格按程序要求的步骤操作，避免因操作失误引起错误。

这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习

韦达定理与根的判别式

知识点：

1、根的判别式b2

4ac

（1）b2

4ac 0 ，方程有两个不相等的实数根； （2）b2 4ac 0，方程有两个相等的实数根； （3）b2 4ac 0，方程没有实数根； 2、韦达定理

已知x1,x2是一元二次方程的两根，则有

xb1 x2

a

x1x2

ca

例1：已知一元二次方程x2

2x m 1 0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设x2

1,x2是方程的两个实数根，且满足x1 x1x2 1，求m的值 练习：

1

、方程x2

3 0的根的情况是（ ）

A有两个不等的有理实根 B有两个相等的有理实根 C有两个不等的无理实根 D有两个相等的无理实根 2、已知x2

1,x2是方程2x 3x 4 0的两个根，则（ ） A x331 x2 2 ，x1x2 2 B x1 x2 2 ，x1x2 2 C x1 x32

2

，x1x2 2 D x31 x2

2

，x1x2 2

3

、已知方程x2 2 0，则此方程（ ）

A 无实数根 B

两根之和为 C两根之积为2

D

有一根为2

资源二室四平地区二类调查注意事项

1、外业前，各组组长负责检查各项资料及工作程序准备是否齐全。各单位要与

相临单位进行接图，防止外业出现错、漏。

2、应充分收集利用局方掌握的与本次调查相关的各种资料和信息，对调查单位的情况进行充分的了解，保证工作的顺利开展。

3、样地除落入大片耕地外，其它都应现地落实。改设样地的GPS坐标值一般应为“00”点。样地地类是按中心点小班地类确定，当样地落在小班边缘时要注意地类的确定。

4、样地应进行有林地成数计算，计算过程可记录在样地最后一页（即样地位置图的背面），精确到0.1。

5、当一个乡镇内含有多个国营林场时，要注意区分。

6、各级被调查单位驻址、非林地小班的四旁树、新修建的主要道路和水渠等，调查时不要漏。部分道路和渠在卫片上分辨不清的，要现地落实，并及时修改线图。

7、林带不要含跨公路、铁路、水渠等扣面积的非林地线性小班。

8、明确小班因子借用条件。林带小班借用因子后，林带宽度仍需实测。借用的小班号在备注栏注明。

9、做样圆时，严格用皮尺实测样木距离，禁止目测。

10、能使用PDA调绘的，要注意原始数据（包括小班、样圆、样带、角规、踩点

数据）的备份，注意严格按程序要求的步骤操作，避免因操作失误引起错误。

美国旅游注意事项-1

特别注意：美国禁止携带打火机入境，美国交通部将打火机列入危险品，并禁

止将打火机装入经过安检的行李中。美国运输安全管理局将处理所有带到安检点的打火机。美国运输安全管理局强烈奉劝乘客在赶往机场前，仔细详尽地检查其随身行李和托运行李中是否携带了这些违禁物品。

一.出境须知：

1. 客人在出发前往机场前，请务必仔细检查护照、签证、机票（必须有确切的

回程日期）、邀请函、出境卡等一切出境证件、资料。上述物品请随身携带，切勿放于行李箱内； 2. 如在机场领取，请仔细检查一资料上的姓名是否正确，并妥善保管上述物品。 3. 携带的可拆卸变焦镜头相机、数码相机、录像机、笔记本电脑等请务必在中

国海关办理出关申报手续，并保管好申报单，手机等小件物品不用申报。如对带出物品拿不准是否应申报时，请向海关咨询。

4. 按照现行规定，每位客人出境时可携带5000美元或等值外币。

二.搭乘国际航班须知：

1. 旅行团机票属于团体机票，按照航空公司规定团队机票不能退，不能改、不能换。

2. 行李托运：免费托运两件行李（一件行李的三边之和在158厘米以内，两件

行李的三边之和不超过273厘米，每件行李的重量不超过20公斤）。乘客携带的利器，如小刀、指甲刀等请放在