幂函数的概念引入

§2.3幂函数 幂函数

学习目标1、通过实例，了解幂函数的概念. 2、通过具体实例研究幂函数的图 象和性质. 3、掌握幂函数的简单应用.

问题引入

我们先看几个具体问题:

(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需 要支付p=w元,这里p是w的函数; y = x 2 (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 S = a , 2 这里S是a的函数; y=x 3 (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积 V = a , 3 y=x 这里V是a函数; (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的 1 1 边长 a= 2 , 这里a是 S的函数; y = x 2 s (5)如果人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度 1 1 y=x v = km/ s, 这里v是t的函数.

t

若将它们的自变量全部用x来表示 函数值用 若将它们的自变量全部用 来表示,函数值用 来表 来表示 函数值用y来表 α 则它们的函数关系式将是: 示,则它们的函数关系式将是 则它们的函数关系式将是 y=

x

定义α是 数 常 .一 地函 y = x 叫 幂 数其 x 自 量 般 , 数 做 函 , 中是 变 ,α

几点说明: 几点说明1 = x

教学过程： 一、幂函数

1．幂函数的定义

⑴一般地，形如y x （x R）的函数称为幂函数，其中x是自变量， 是常数； ⑵y x,y x,y x等都是幂函数，在中学里我们只研究 为有理数的情形； ⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数. 2．幂函数的图像

2

13

14

x

12

x 1

⑵归纳幂函数的性质： ① 当 0时：

ⅰ）图象都过 0,0 , 1,1 点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数，且 越大，上升速度越快。 ⅲ）当 1时，图象下凸；当0 1时，图象上凸。

② 当 0时： ⅰ）图象都过 1,1 点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐下降，都是减函数，且 越小，下降速度越快。 思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 例题讲解：

[键入文字] [键入文字]

14

[键入文字]

例1 写出下列函数的定义域和奇偶性

（1）y x （2）y x （3）y x 3 （4）y x 2

例2 比较下列各组中两个值的大小： （1）2,3 ；（2）3.14与

1

6

164

34

34

；（3）( 0.88)与( 0.89)．

34

34

23

34

32

38

5353

幂函数的概念及其性质

一、单选题(共12道，每道8分) 1.下列命题正确的是( )

A.幂函数在第一象限都是增函数

B.幂函数的图象都经过点(0，0)和(1，1) C.若幂函数

是奇函数，则

是定义域上的增函数

D.幂函数的图象不可能出现在第四象限

答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象

2.下列函数中既是偶函数，又在(-∞，0)上是增函数的是( )

A.B.

C.D.

答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用

3.若幂函数上是减函数，则实数a的取值范围是( )

A.B. C.D.

答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 4.当时，幂函数

为减函数，在实数m的值是(

A.2 B.﹣1

C.﹣1或2 D.

答案：A 解题思路：

)

试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性

5.函数

的图象大致是( )

A.B.

C.

答案：B 解题思路：

D.

试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象

6.若

是幂函数，且满足，则的值是( )

A.B.

C.2 D.4

答案：B 解题思路：

一．指数函数

1.y=a^x：

（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3） 函数图形都是下凹的。

（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。 （5） 函数总是通过（0，1）这点。

（6） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

二．对数与对数函数

（一）对数： 1.零和负数没有对数 2.三个对数恒等式

3.三个运算法则:(在a>0，a≠1的前提下)

1

(1) (2) (3)

4.两个换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下： (1) (2)

练习：1.解出下列的x 2.求下列函数的定义域：

(2)log3(x-1)=log9(x+5).

3.已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求4.求值:(1)

（二）对数函数的性质及应用

。 (2)

2

练习：

1. 若logm3.5>logn3.5(m，n>0，且m≠1，n≠1)，试比较m ，n的大小。

(-x2+2x+3)的值域和单调区间。

2. 求函数y=

3.已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)。

(1)若函数f(x)的定义域为

2.3 幂函数

教学分析

一、 教学目标：

1、掌握幂函数的概念；熟悉α=1,2,3，?，

-1时的1幂函数的图象和性质；能利用幂函数的性质 解决实际问题。

2、通过学生对情境的观察、思考、归纳、总结形成结论，

培养学生的发现问题，解决问题的力。

二、教学重难点：

重点：幂函数的定义，图象与性质。

难点：幂函数的图象与性质。

三、教学准备：

1 教师：将幂函数y?x,y?x,y?x,y?x2,y?x图象提前画

在小黑板上。

23?1四、教学导图:

情境引入 函数的概念幂 课堂练习 画出α=1,2,3，?，-1图象

师生交流归纳出五个具体幂函数的性质

课堂练习 例题分析 课堂小结 课后作业 教学设计

一、 教学过程：

（一）教学内容：幂函数概念的引入。

设计意图：从学生熟悉的背景出

1

幂函数及函数应用（讲义）

? 知识点睛

一、幂函数

1. 定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．

2. 函数图象及图象性质

（1）在同一平面直角坐标系内作出幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3

，12

y x =，1y x -=的图象：

（2）图象性质

（3）幂函数图象的画法

第一步：根据单调性判断函数y x α=的图象变化趋势．

①当1α>时，函数y x α=在第一象限内的图象呈快速上升趋势，比如y =x 2； ②当01α<<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈缓慢上升趋势，比如

1

2

y x =；

③当0α<时，函数y x α=在第一象限内的图象呈下降趋势，比如1y x -=． 第二步：根据函数的奇偶性判断图象整体分布情况．

2

① 当m n

α=（m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象．

② 当m n

α=-（m ，n ∈N *，且互质）时： 若m ，n 均为奇数，则函数y x α=是奇函数，其图象关于原点对称； 若m 为偶数，n 为奇数，则函数y x α=是偶函数，其图象关于y 轴对称； 若m 为奇数，n 为偶数，则函数y x α=是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象．

3. 幂函数

简单的幂函数

我们学过一次函数，反比例函数，二次函数

1 2 y x, y , y x 它们有什么共同特点? x

y x1 , y x 1 , y x2 形式上只有指数不同如果一个函数，底数是自变量x,指数是常量α即

y x2

幂函数3 5 4

如y x , y x , y x , y x

下列函数中是幂函数的是( B ) ①y=axm(a,m为非零常数,且a≠1);②1 3

y x x ;2

③y=xπ; ④y=(x-1)3.A.①③④ B.③ C.③④ D.都不是

是否具备y=xα的形式

例1 画出函数f(x)=x3的图像，讨论其单调性. y 解 先列出x,y的对应值表 8x y … -2 -1 … -8 -1 增减性旋转

1 2 1 8

0 0

1 2 1 8

1 1

2 8

… …

6 4 2

y=x3是R上的增函数-2 -4 -6 -8

x

对称性 关于原点对称

对定义域内任意x, f(-x)=(-x)3=-x3即f(-x) =-f(x) 奇函数 函数图像关于原点对称 奇函数

f(-x) =-f(x)

y=x2的图像对称性 关于y轴对称

y=x26 5 4 3 2 1

y

偶函数 函数图像关于y轴对称对定义域内任意 x,有f(-x)= f

幂函数说课稿

对于本节课，我将从1教材分析、2目标分析、3教法、学法分析、4教学过程分析 等四个方面进行说课 一、教材分析 （一）地位与作用

《幂函数》选自高一数学新教材必修1第2章第3节。幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数，学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成。从教材的整体安排看，学习了解幂函数是为了让学生更系统地掌握有关函数知识和研究函数的方法，为今后学习三角函数等其他函数打下良好的基础． （二）学情分析

（1）学生已经接触的函数，已经确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性来研究一个函数的意识 ，已初步形成对数学问题的合作探究能力。

（2）虽然前面学生已经学会用描点画图的方法来绘制指数函数，对数函数图像，但是对于幂函数的图像画法仍然缺乏感性认识。 二、目标分析

根据幂函数在教材内容中的地位与作用，结合学情分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定了如下教学目标：

新课标“三维目标”

知识与技能：①理解幂函数的概念，会画幂函数的图象。

②结合几个幂函数的图象，了解幂函图象的变化情况和性质

1

例、已知幂函数f(x)＝(t－t＋1)x5(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．

p

分析 关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设q (|p|、|q|互质)，

pp

当q为偶数时，p必为奇数，y＝xq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xq的奇偶性与p的值相对应．

解 ∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0.

7

当t＝0时，f(x)＝x5是奇函数；

2

当t＝－1时，f(x)＝x5是偶函数；

828

当t＝1时，f(x)＝x5是偶函数，且5和5都大于0， 在(0，＋∞)上为增函数．

82

故t＝1且f(x)＝x5或t＝－1且f(x)＝x5.

PS: 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．

例、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )

3

A．-11 D．n<－1，m>1

解析 在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0

PS:在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．

例、已知x>x3，求

幂函数的性质与图象

上海大学附属中学 钱寒静

【教学材料】高中一年级第一学期数学4.1《幂函数的性质与图像》 【教材分析】

幂函数、指、对函数是最基本、最常用的函数模型，是学习其它函数的基础。学生在初中已经学过了正比例、反比例、一次和二次函数，学过指数和幂的知识，本节课是在初中知识的基础上对形如y?xk（的函数进行系统、全面的探究，这既有利于 k为常数，k?Q）学生对函数概念的理解，又对今后学习其它函数提供了方法，从而提高学生的数学应用能力。 【学情分析】

学生在初中已经接触过函数，学习过有关幂的运算性质，并具有一定的列表、画图的能力，授课的班级为上海市示范性高中的学生，他们的数学基础扎实。 【教学目标】 知识与技能：

1、 知道幂函数的概念，理解幂函数当k>0时在第一象限内的图象特征； 2、 类比让学生发现当k<0时，幂函数在第一象限内的图象特征； 3、掌握幂函数当k变化时的图象特征； 过程能力与方法：

在教学中充分发挥学生的主体作用，让他们经历幂函数性质发现的全过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察反思，最终自己得到幂函数的所有性质。

情感、态度与价值观：

让学生认识到幂函数图象的奇特魅力，体会数学的对称美与和谐美，增强学生科学严谨的学习态度，最终深刻理解到量变引起质变的哲学道理。 【重点