数列的交汇问题

一专题检测卷(十三)

第三讲一与数列交汇的综合问题

一二选择题

1.(2012四西安模拟)已知等差数列{a n}中,a3=11,a5= 19,则过点P(n,a n)和Q(n+2,a n+2)(n?N?)的直线的斜率为(一一)

(A)1(B)2(C)3(D)4

2.(2012四泉州模拟)设函数f(x)=(x-1)2+n,(x?[-1,3],n?N?)的最小值为a n,最大值为b n,则c n= b2n-a n b n是(一一)

(A)公差不为零的等差数列

(B)公比不为1的等比数列

(C)常数列

(D)既不是等差数列也不是等比数列

3.三个数a,b,c成等比数列,且a+b+c=m(m>0),则b的取值范围是(一一) (A)[0,m3](B)[-m,-m3]

(C)(0,m3)(D)[-m,0)?(0,m3]

4.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数,且对任意的实数x,y?R,都有f(x)四f(y)=f(x+y),若a1 =12,a n=f(n)(n?N?),则数列{a n}的前n项和S n 的取值范围为(一一) (A)[12,2)(B)[12,2]

(C)[12,1)(D)[12,1]

5.(2012四北京高考)某棵果树前n年的总产量S n与n 之间的关系如图所示.从目

数列与函数交汇的综合题

例22 已知函数f(x)?(x?1)?(x?1)(x?1)?(x?1)4444（x?0）。

（Ⅰ）若f(x)?x且x?R，则称x为f(x)的实不动点，求f(x)的实不动点； （II）在数列{an}中，a1?2，an?1?f(an)（n?N?），求数列{an}的通项公式。 解：（Ⅰ）由f(x)?x?6x?1342x?6x?14x?4x42423及f(x)?x得

234x?4x所以x?1或?1，即f(x)的实不动点为x?1或x??1；

?x?3x?2x?1?0?x?1或x??21（舍去），

（II）由条件得an?1?lnan?1?1an?1?1?4lnan?1an?1(an?1)?(an?1)(an?1)?(an?1)4444?an?1?1an?1?an?1?????，从而有4?1(an?1)?an?1?(an?1)44，

由此及lnan?1an?1a1?1?an?1??ln3?0知：数列?ln?是首项为ln3，公比为4的等比数列，故有

a?1a1?1n??n?1ln?4ln3?an?1an?1?34n?1?an?3344n?1?1?1n?1（n?N?）。

例23 二次函数f(x)符合f(x)?0,且f(x)?2x2恒成

课题： 数列中的最值问题

执 教：宋荷娟

班 级：高三（1）班 教学目标：

1.理解函数单调性与数列单调性的关系，掌握用单调性求数列最值的方法． 2.在解决问题的过程中，体会运用函数性质研究数列性质、求数列最值的方法要领．

3.在交流的过程中，分享多角度解决问题的成功经验，提高综合分析、解决问题的能力，提升数学素养．

教学重点：利用研究函数最值的方法解决数列中的最值问题． 教学难点：利用单调性解决数列中的最值问题．

教学过程：

一． 实例引入

数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用．

问题1：在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的基础上递增5%。设某人年初被A，B两家公司同时录用，试问：该人在A公司工作比在B公司工作的月工资最多时可高出多少元（精确到1元）？

【设计说明】让学生在实际情境中自觉领会和发现知识的形成过程，在思维碰撞中深刻体会其蕴含的数学思想和方法．

思路分析：由题意可知，此人在A、B两公司工作的第n年月

一.专题综述

数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难度不应该太大，数列试题倾向考查基础是基本方向．从课标区的高考试题看，试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空题，一道解答题．由此我们可以预测2012年的高考中，数列试题会以考查基本问题为主，在数列的解答题中可能会出现与不等式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得到控制．

二．考纲解读

三.2012年高考命题趋向

1.等差数列作为最基本的数列模型之一，一直是高考重点考查的对象．难度属中低档的题目较多，但也有难度偏大的题目．其中，选择题、填空题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合等差数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查．预测2012年高考仍将以等差数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．

2.等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高．客观题突出“小而巧”，考查学生对基础知识的掌握程度；主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化

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数列问题的题型与方法

一．复习目标：

1． 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题； 2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前n项的和；

3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；

4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．

5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．

6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．

二．考试要求：

1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式

数列与 贷款——生活中的数列问题 成都七中国际部数学组

住房贷款问题 成都房价走势图，图片来源：搜房网

http://www.77cn.com.cn/fangjia/

住房贷款问题 成都高新区房价走势图，图片来源：搜房网

http://www.77cn.com.cn/fangjia/

住房贷款问题 成都高新区保利百合花园房价， 价格说明：均价13000元/㎡,98㎡、101㎡、

129㎡三种户型在售。除了“楼王”以外，其他 房源成交即优惠2万5。 图片来源：搜房网 http://www.77cn.com.cn/fangjia/

住房贷款问题 老王通过对比观察，决定购买上述“保利百合

花园”101m2户型一套。经协商，开发商决定 以均价(1.3万元/m2)的96%出售该套房屋， 并同时享受成交优惠(成交即减2.5万元)。 请问老王一共要支付多少费用才能购买该房？

支付总费用 p = 1.3 0.96 101 – 2.5 (万元) = 123.548 (万元)

住房贷款问题 购房总价123.548

(万元) 老王手头有现金45万元，只能选择首付一部分， 然后向工商银行利用公积金贷款购买； 如果老王要保证手头有5万元左右的现金余留，

v1.0 可编辑可修改

1

第11讲数列问题的题型与方法

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，

等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

一、知识整合

1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解

数列求和问题的探讨

【摘要】数列求和问题是数列的基本内容之一，由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧逐一探讨。本文将用一些较为简单和具代表性的例子，探讨将数列求和的方法和技巧渗透、融合，实现方法与内容的整合实践，阐述数列求和中一些具体方法与思想。

【关键词】 数列求和 通项公式 方法

一、数列求和的思路

数列是数学的重点内容之一，而数列求和是数列中较难的一个问题，技巧性强，覆盖面广，而且能有效地测试学生的运算能力、逻辑推理能力以及分析问题的能力。数列求和是一个较复杂的数学问题，因此必须挖掘题设条件，从中发现规律，顺利完成求和问题。等比、等差数列前n 项和可以直接用通项公式求和；非等比、等差数列前n项求和的关键是从通项出发，分析其结构特征，若问题能转化为等差 数列或等比数列求和的问题，则有基本求和公式可用，或变换通项，经过裂相等方法消去中间相，达到求和的目的；若通项是项数n 的一次、二次、三次多项式的 形式，则可以转化为正整数平方数列、立方数列进行求和。

二、探究数列求和的方法

1. 公式求和法

数列中的恒成立问题

【常用方法和策略】：

数列中的恒成立问题历来是高考的热点，其形式多样，变化众多，综合性强，属于能力题，主要考查学生思维的灵活性与创造性．

数列中等式恒成立问题通常采用赋值法和待定系数法，利用关于n的方程有无数个解确定参数的值，也可采用观察、归纳猜想再证明的思想；

与不等式有关的数列恒成立问题，常常使用分离参数法、利用函数性质法等，转化为研究数列的最值问题．

【课前预习】：

1. 已知数列?an?是无穷等差数列，a1?1，公差d?0，若对任意正整数n，前n项的和与前3n项的和

之比为同一个常数，则数列?an?的通项公式是_______________. 【解析】由已知得，Sn?n?n(n?1)d3n(3n?1)dS，S3n?3n?，设n?t为常数，则22S3n?d?2?9td?d?dn?2?d?9tdn?6t?3td对?n?N*恒成立，所以?，由于d?0，解得?1

t??2?d?6t?3td??9故an?2n?1

2. 设Sn是等差数列?an?的前n项和，若数列?an?满足an?Sn?An2?Bn?C且A?0，则

的最小值为 ．

【解析】根据an?Sn?An2?Bn?C及等差数列的性质，可设Sn=An2+Dn

用函数思想解决数列问题

06

级数学与应用数学 张志斌

【论文摘要】 函数是高中数学的主线，函数思想是中学数学中最重要的数学思想，而数列本身就是特殊的函数,故许多数列问题均可以从函数的角度去分析,去思考。可以构造函数解决数列问题，也可以利用an与n、Sn与n、还可以利用函数思想解决数列Sn与d、Sn与an的函数关系来解决数列问题，中的恒成立问题。 【关键词】

函数 函数思想 数列 构造， 图象， 离散， 前n项和， 通项， 恒成立

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函数思想是中学数学中最重要的数学思想,函数是中学数学,特别是高中数学的主线，函数思想的建立使常量数学进入了变量数学，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数,尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重函数思想是相当重要的．高考中对函数思想的考查的力度较大，考试中心对考试大纲的说明中指出：“高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度