高中数学平面向量知识点思维导图

高中数学必修4之平面向量

一.向量的基本概念与基本运算

①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c 来表示，或用有向线段的起点与终

点的大写字母表示，如：AB AB，a；坐标表示法a xi yj (x,y) 向

量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大小，记作｜a

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

0与任意向量平行零向量a＝0 ｜②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，

a｜＝由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的

问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量

向量a0为单位向量 ｜a0｜＝

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量

线上a∥b(即自

由向量)

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．

⑤相等向量：a b大

小相等，方向相同(x1,y1) (x2,y2)

x1 x2

y1 y2

求两个向量和的运算叫做向量的加法

设AB a

平面向量

【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】

?????1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a。

?????2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：|AB|或|a|。 ??3.单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|e|?1。

??4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】

5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

????????7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB??BA。

8.三角形法则：

????????????????????????????????????????????AB?BC?AC；AB?BC?CD?DE?AE；AB?AC?CB（指向被减数）

9.平行四边形法则：

??????以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a?b，a?b。

????????10.共线定理：a??b?a//b。当??0时，a与b同向；当??0时，a与b反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

????2???2?22212.向量的模：若a?(x,y)，则|a|?x?y，a?|a|，|a?b|?(a?b

高中数学学习资料--向量部分

高中数学必修内容复习---平面向量

一、 选择题（每题3分，共54分）

1

1、已知向量 (3, 2), ( 5, 1),则等于（

2

1

A．(8,1) B．( 8,1) C．(4, )

22、已知向量a (3, 1),b ( 1,2),则 3a 2b的坐标是（ ）

A．(7,1)

B．( 7, 1)

C．( 7,1)

）

）

1

D．( 4,)

2

D．(7, 1)

3、已知 ( 1,3), (x, 1),且∥，则x等于（

A．3

B． 3

1C．

3

1D．

3

4、若a (3,4),b (5,12),则a与b的夹角的余弦值为（ ）

A．

63 65

B．

33

65

C．

33 65

D．

63 65

5 4 6，与的夹角是135 ，则 等于（ ）

A．12

B．122

C． 122 ）

C．( 9,6)

1

D．(3, )

2

D． 12

6、点( 3,4)关于点B( 6,5)的对称点是（

A．( 3,5)

9

B．(0,)

2

7、下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（ ）

A．(3, 2)

B．(2,3)

C．( 4,6)

D．( 3,2)

8、已知A、B、C三点共线，且A、B、C三点的纵坐标分别为2、5、10，则点A分 所成的比是(

)

3A．

8

3B．

8

8C．

3

8D．

3

9、在平行四边形

高中数学学习资料--向量部分

高中数学必修内容复习---平面向量

一、 选择题（每题3分，共54分）

1

1、已知向量 (3, 2), ( 5, 1),则等于（

2

1

A．(8,1) B．( 8,1) C．(4, )

22、已知向量a (3, 1),b ( 1,2),则 3a 2b的坐标是（ ）

A．(7,1)

B．( 7, 1)

C．( 7,1)

）

）

1

D．( 4,)

2

D．(7, 1)

3、已知 ( 1,3), (x, 1),且∥，则x等于（

A．3

B． 3

1C．

3

1D．

3

4、若a (3,4),b (5,12),则a与b的夹角的余弦值为（ ）

A．

63 65

B．

33

65

C．

33 65

D．

63 65

5 4 6，与的夹角是135 ，则 等于（ ）

A．12

B．122

C． 122 ）

C．( 9,6)

1

D．(3, )

2

D． 12

6、点( 3,4)关于点B( 6,5)的对称点是（

A．( 3,5)

9

B．(0,)

2

7、下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（ ）

A．(3, 2)

B．(2,3)

C．( 4,6)

D．( 3,2)

8、已知A、B、C三点共线，且A、B、C三点的纵坐标分别为2、5、10，则点A分 所成的比是(

)

3A．

8

3B．

8

8C．

3

8D．

3

9、在平行四边形

第五章 平面向量 第一教时

教材：向量

目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 过程：

一、开场白：课本P93（略）

实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图）

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 A B 二、 提出课题：平面向量

1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量

等

注意：1?数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大

小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2． 向量的表示方法： a B 1?几何表示法：点—射线 （终点） 有向线段——具有一定方向的线段 A(起点) 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫）

2?字母表示法：AB可表示为a（印刷时用黑体字） P95 例 用1cm表示5n mail（海里）

3． 模的概念

高中数学知识点《平面向量》《线段的定比分点》精选练习

试题【58】(含答案考点及解析)

班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________

1.已知向量，，若与垂直，则实数 ( )

A．B．C．D．

【答案】A

【考点】高中数学知识点》平面向量》平面向量的应用》平面向量的几何应用

【解析】

试题分析：由题意，因为与垂直，则，解得.

考点：平面向量垂直的充要条件.

2.已知和是平面内两个单位向量，它们的夹角为，则与的夹角是（）A．B．C．D．

【答案】C

【考点】高中数学知识点》平面向量》数量积及其应用

【解析】

试题分析：由题意，，，

，故，

，所以，故与的夹角是．

考点：向量的数量积．

3.设平面向量，，已知函数在上的最大值为6．（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若，．求的值．

【答案】(I)3;(II)

【考点】高中数学知识点》平面向量》数量积及其应用》数量积的应用

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先利用平面向量的数量积计算公式，得到，

并化简为，根据角的范围，得到

利用已知条件得到，求得，此类题目具有一定的综合性，关键是熟练掌握三

角公式，难度不大.

（Ⅱ）本小题应注意角，以便于利用三角函数同角公式，确定正负号的选取.解题过程中，灵活变角

平面向量

【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】

1. 向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或 a 。

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作： | AB |或 | a |。

3. 单位向量：长度为 1 的向量。若e是单位向量，则| e| 1。

4.零向量：长度为 0 的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】

5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7. 相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA。

8.三角形法则：

AB BC AC ； AB BC CD DE AE ； AB AC CB （指向被减数）

9. 平行四边形法则：

以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a b ， a b 。

10. 共线定理：a b a / /b 。当0 时，a与b同向；当0 时，a与b反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12. 向量的模：若 a (x, y) ，则| a | x2 y 2

2

| a |2， | a b | ( a b)2 ， a

13. 数量积与夹角公式： a b | a | | b | cos ；cos

a b | a

必修4第二章平面向量知识点

1、向量：______________________． 数量：_______________________． 有向线段的三要素：__________________． 零向量：__________________． 单位向量：______________________________． 平行向量（______________）：_______________________________．零向量与任一向量平行． 相等向量：____________且____________． 2、向量加法运算：

⑴三角形法则的口诀：________________． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：

??????a?b?a?b?a?b．

⑷运算性质：①交换律：______________；_______________________；

②结合律：

????⑸坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b?? x 1 ?, y1y 2 ? ．2 x ?

3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：______________________________．

C ?a

基础练习

1、若(3,5)AB =u u u r ，(1,7)AC =u u u r , 则BC =u u u r （ ）

A ．（－2，－2）

B ．（－2，2）

C ．（4， 2）

D ．（－4,－12）

2、已知平面向量→a ＝(1，1)，→b ＝(1，－1)，则向量12→a －32→b ＝ ( ) A 、(－2，－1) B 、(－2，1) C 、(－1，0) D 、(－1，2)

3、已知平面向量a r =（1，－3），b r =（4，－2），a b λ+r r 与a r 垂直，则λ是（ ）

A. －1

B. 1

C. －2

D. 2

4、若平面向量b r 与向量a r =（1，－2）的夹角是180°，且|b r |=，则b r =（ ）

A ．（－1，2）

B ．（－3，6）

C ．（3，－6）

D ．（－3，6）或（3，－6）

5、在ABC AB BC AB ABC ?=+??则中，若,02是（ ）

A ．锐角三角形

B ． 直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形

6、直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则·＝（ ）

（A ）20 （B ）21

段宇昕数学资料 平面向量知识点归纳

§5.1 平面向量的概念及线性运算

1．向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律：a＋b加法 求两个向量和的运算 求a与b的相反向减法 量－b的和的运算叫做a与b的差 求实数λ与向量a的积的运算 三角形法则 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；a－b＝a＋(－b) ＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝定义 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 长度为0的向量；其方向是任意的 长度等于1个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 0的相反向量为0 0与任一向量平行或共线 备注 平面向量是自由向量 记作0 a非零向量a的单位向量为± |a|a＋(b＋c)． 数乘 向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 方法与技巧

1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．

→→

2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB∥CD且AB与CD不共线，则AB∥CD；

→→

若AB∥BC，则A、B、C三点共线．

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