哈工大概率论与数理统计

概率论课程设计论文

1104202班 1110420211 蒋瑞晔

概率论在不等式中的应用

摘要：应用概率方法证明不等式，是个很有用的方法，建立适当概率模型，选择合适

的公式使不等式的证明得到简化。本文主要研究了应用概率论的方法证明代数不等式、积分不等式和相关理论的应用。

关键字：概率论 不等式 证明 广义积分

概率论是从数量侧面研究随机现象规律性的数学学科，它有自己独特的概念和

方法，内容丰富，应用广泛。不等式是数学中一项非常重要的内容，它的应用也相当广泛，尤其是不等式的证明在数学中也越来越受到人们的重视 。因为把概率论的思想方法渗透到高等数学的中, 有助于加深和巩固对高等数学和概率论知识的

［1］

理解掌握, 了解各学科之间的紧密联系, 提高分析问题和解决问题的能力。

马尔科夫不等式是许多概率不等式的基础，从马尔科夫不等式很容易得到切比雪夫不等式，从切比雪夫不等式得到大数定理，大数定理从理论上解释了用频率近似地作为事件发生概率的基本思想。中心极

《概率论与数理统计》课程论文

浅谈概率论的思想发展及应用

能源科学与工程学院

于晓滢 1130240415

哈尔滨工业大学

摘 要

概率论是一门历史悠久的学科，关于它的起源众说纷纭，不过大家都承认的是，概率论是研究偶然、随机现象的规律性的数学理论,它拥有着自己独立的研究问题和有代表性的思想方法，并在现代生活的多个方面发挥着作用，拥有着不可替代的地位。本文将总结概率论中所应用的几种典型思想方法及演变，并陈述概率论在当代生活中的几种必要应用，让我们对这一学科有一个更深刻的了解。

I

目 录

摘 要 ................................................................................................................................................. I 第1章 概率论的诞生 ..................................................................................................................... 1

第一章 随机事件与概率

第一节 随机事件及其运算

1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω

表示基本结果，又称为样本点。

3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A、B、C等表

示，Ω表示必然事件，

?表示不可能事件。

4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X、Y、Z等表示。 5、 时间的表示有多种： （1） 用集合表示，这是最基本形式 （2） 用准确的语言表示 （3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系

（1）包含关系：如果属于A的样本点必属于事件B，即事件 A 发生必然导致事

件B发生，则称A被包含于B，记为A?B;

（2）相等关系：若A?B且B? A，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 （3）互不相容：如果A∩B=

?，即A与B不能同时发生，则称A与B互不相容

7、事件运算

（1）事件A与B的并：事件A与事件B至少有一个发生，记为 A∪B。 （2）事件A与B的交：事件A与事件B同时发生，记为A∩ B或AB。

（3）事件A对B的差：事件A发生而事件B不发生,记为 A－B。用交并补可以

上课时间 第一周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 概率论基本概念 教学目的 使学生掌握随机试验、样本空间、随即事件、频率、概率及古典概型等概念 教学方法 讲授 重点、难点 基本概念的掌握与理解 板书或课件时间分配 教学内容 版面设计 在大量重复试验或观察中所呈现出的固有 规律性就是我们所说的统计规律性。 在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象。 1.1随机试验 具有如下特点的试验称为随机试验： ①可以在相同的条件下重复地进行。 ②每次试验的结果可能不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。 ③进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 1.2样本空间、随机事件

（1）样本空间 我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。 样本空间的元素即E的每个结果，称为样本点。 （2）随机事件 我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。 由一个样本点组成的单点集称为基本事件。 样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，S称

习题一

3 设A,B,为二事件，化简下列事件：

(1)(A?B)(A?B)?(AB?BA?B)?(AB?B)?B (2)(A?B)(A?B)?(AA?AB?BA?B)?B

4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。

p?10?9?8?7?6105?72?42104?3024104?0.3024

5 n张奖券中有m张有奖的，k个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。 答案：1?kCn?mkCn.

6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？ 解；将这五双靴子分别编号分组A?{a1,a2,a3,a4,a5};B?{b1,b2,b3,b4,b5}，则

4C表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有C5.

不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i只，且编号不同，其可能选法为

i4?iC5C5?i;(i?4,3,2,1,0)

3113C54?C5C2?C52C32?C5C4?C54 P(C)?1?P(C)?1?4C105?45?4?2??3?5?4?522?1?10?9?8?7? 4?3?2?110?4

一、 事件的关系与运算

1、设A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（ A ） （A）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”. （B）“甲种产品滞销”. （C）“乙种产品畅销”. （D）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”.

8、 设A、B、C为三个事件，则事件“ A、B、C都不发生”可表示为 ( C )

(A) ABC ； (B) 1?ABC； (C) A B C； (D) A?B?C.

1、某地震现场应急工作组对震区三幢楼房开展建筑安全评估与鉴定，设事件Ai={第i幢楼房经评估鉴定为安全}（i=1，2，3）。事件“恰有一幢楼房经评估鉴定为安全” 用A1、A2、A3可表示为

A1A2 A3?A1A2A3?A1 A2A3；

二、 五大公式：

3、设X在1,2,3,4中等可能取值，Y再从1,?,X中等可能取一整数，则 ； P（Y?4）?（A）

(A) 1/16 ； (B) 7/48； (C) 13/48； (D) 25/48.

P(B)?0.5，1、已知事件A，条件概率P(B|A)?0.3，则P(A?B)? B有概率P(A)?0.4，0.62 ．

1、已知事件

概率论与数理统计 课件

第 2 章

随机变量的分布与数字特征

§2.1 随机变量及其分布 §2.2 随机变量的数字特征 §2.3 常用的离散型分布 §2.4 常用的连续型分布 §2.5 随机变量函数的分布

概率论与数理统计 课件

§2.1 随机变量及其分布一、随机变量的概念 二、离散型随机变量的概率分布 三、分布函数 四、离散型随机变量的分布函数 五、连续型随机变量及其概率密度

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一、 随机变量的概念随机变量的直观定义 从直观上讲，随机变量就是基本结果的数量特征。 这些数值因试验结果的不确定性而带有随机性， 因此称为随机变量。 随机变量是概率论的重要概念，把试验的基本结 果数量化可使我们对随机试验有更清晰的了解， 还可借助更多的数学知识对其进行深入研究。 有的基本结果本身就是由数值来表示，如掷骰子 的点数、灯泡的使用寿命等。 而有些虽本无数值意义但可用某种方式与数值联 系，如抛硬币时规定出现正面时用1表示，出现反 面时用0表示。

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例1将一枚均匀硬币抛掷3次。我们感兴趣的是三 次投掷中，出现H的总次数，而对H,T出现的 顺序不关心。以X

概率论与数理统计

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2.3 连续型随机变量的概率密度2.3.1 连续型 r.v.的概念 的概念 定义 设 X 是随机变量 若存在一个非负 是随机变量, 可积函数 f ( x ), 使得

F(x) = ∫ ∞ f (t)dt

x

∞ < x < +∞

其中F 其中 ( x )是它的分布函数 是它的分布函数 是它的概率 则称 X 是 连续型 r.v. ,f ( x )是它的概率 是它的 密度函数( 简记为d.f. 密度函数 p.d.f. ),简记为 简记为1

概率论与数理统计

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分布函数与密度函数 几何意义f ( x) F(x)0.08 0.06 0.04 0.02

y = f (x)

-10

-5

5

x

x2

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说明: 说明: (1) 离散型随机变量的分布函数总是右连续 的阶跃函数； 的阶跃函数； (2) 连续型随机变量的分布函数一定是在整个 数轴上的连续函数. 数轴上的连续函数

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p.d.f. f ( x )的性质 的性质① f (x) ≥ 0 ②

∫ ∞ f (x)dx = F(+∞) =1

+∞

常利用这两个性质检验一个函数能否作为 连续型 r.v.的 d.f. 的 ③

上课时间 第一周 上课节次 3节 课 型 理论 课 题 概率论基本概念 教学目的 使学生掌握随机试验、样本空间、随即事件、频率、概率及古典概型等概念 教学方法 讲授 重点、难点 基本概念的掌握与理解 板书或课件时间分配 教学内容 版面设计 在大量重复试验或观察中所呈现出的固有 规律性就是我们所说的统计规律性。 在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象。 1.1随机试验 具有如下特点的试验称为随机试验： ①可以在相同的条件下重复地进行。 ②每次试验的结果可能不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。 ③进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 1.2样本空间、随机事件

（1）样本空间 我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。 样本空间的元素即E的每个结果，称为样本点。 （2）随机事件 我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。 由一个样本点组成的单点集称为基本事件。 样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，S称

《概率论与数理统计》试卷1

一、填空题

1.设A,B是两个随机事件，P(A)?0.5，P(A?B)?0.8，(1)若A与B互不相容，则P(B)= ；

(2)若A与B相互独立，则P(B)= . 2.一袋中装有10个球，其中4个黑球，6个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）.已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的仍是黑球的概率为 . 3.设离散型随机变量X的概率分布为P?X?k??3a，k?1,2,?，则常数a? . k4.设随机变量X的分布函数为

?0,x?0?F(x)??ax2,0?x?2

?1,x?2?则常数a? ，P{1?X?3}= .

5.设随机变量X的概率分布为

-1 0 X

0.3 0.5 P 2则E(3X?3)= .

1 0.2 6.如果随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，且E(X)?3，D(X)?4，则a= ，b= . 327.设随机变量X，Y相互独立，且都服从参数为0.6的0?1分布，则P{X?Y}= . 8.设X，Y是两个随机变量，E(X)?2，E(X)?20， E