经济数学第三章导数与微分

P61 习题3-1

1、根据定义求导数：

(1)y?cosx

y??limcos(x??x)?cosx?x?0?x?2sinx??x?xx??x?x?2sin2?limx?0?xsin(x??x?x???lim2)sin2x?0?x2?x???limx?0sin(x??xsin22)??limx?0?x2??sinx1(2)y?x2

11y??lim(x??x)2?x2?x?0?x?(x??x)?x?limx?0?x[x??x?x]

?1?limx?0x??x?x11?1?x?2x22(3)y?xx y??lim(x??x)x??x?xx?x?0?x(x??x)3??x3?limx?0?x[(x??x)x??x?xx]3x2?x?3x?x2??x3??limx?0?x[(x??x)x??x?xx]2?lim3x?3x?x??x2 ?x?0(x??x)x??x?xx3x2?2xx?32x(4)y?ax

??ax??x?axa?xyx?1?limx?0?x?a?limx?0?x设t??x，则

y??axlimat?1t?0t

再设s?at，则t?logas，于是

y??axlims?1s?1logas?axlim1s?11logass?1?ax

第三章 微分中值定理与导数的应用

习题A

一、选择题

1、在区间[?1,1]上满足罗尔定理条件的函数是（ ）；

?A?f(x)?1x2?B?f?x??x?C?f(x)?1?x2?D?f(x)?x?2x?1

22、函数f(x)?x2?2x在[0,4]上满足拉格朗日定理条件的??（ ）；

?A?1?B?2?C?3?D?52

3、设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则（ ）；

?A?至少存在一点???a,b?，使得?B?当???a,b?时，必有

f?(?)?0

f?(?)?0

f?????f(b)?f(a)b?a?C?至少存在一点???a,b?，使得

?D?当???a,b?时，必有f?????f(b)?f(a)b?a

4、在区间[?1,1]上，下列函数中不满足罗尔定理的是（ ）；

?A?f(x)?ex2?1(B)f(x)?ln(1?x)2(C)f(x)?x?1(D)f(x)?11?x2

5、对任意x下列不等式正确的是（ ）；

?A?e?x?1?x(B)e?x?1?x(C)e?x?1?x?D?e?x?1?x

6、设limf?x??f?a?x?a?x?a?2??2，则在x

讨论习题：

1、 求f(x) 1 x在x 0点处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式。 1 x

2、 设函数y y(x)由方程2y3 2y2 2xy x2 1所确定。试求y y(x)

的驻点，并判断它是否为极值点。

3、 讨论函数f(x) x 的单调性与极值，凹凸性与拐点及渐近线。 讨论习题参考答案：

1、解：f(x)

f(k)1x1 x2 1， 1 x1 x( 1)k 2 k!(x) (k 1,2, ,n 1)， k 1(1 x)

2nnn 1故f(x) 1 2x 2x ( 1)2x ( 1)2xn 1

，(0 1) n 2(1 x)

2、解：对2y3 2y2 2xy x2 1两边对隐函数y求导，

3y2y 2yy xy y x 0, ( )

令y 0，得y x，代入原方程得2x3 x2 1 0；

故解出唯一驻点x 1，

对( )式再次求导(3y2 2y x)y 2(3y 1)y 2 2y 1 0 故y (1,1) 0，

即驻点x 1是y y(x)的极小值点。

3、解：函数的定义域为( ,0) (0, ),

1 f(x),即f(x)是奇函数。 x

12又f (x) 1 2,f (x) 3,令f (x) 0，得驻点x 1,不存在二阶导数为xx

~

第三章一元函数的导

数和微分【字体：大中小】【打印】

3.1 导数概念

一、问题的提出

1.切线问题

割线的极限位置——切线位置

如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线.

极限位置即

切线MT 的斜率为

2.自由落体运动的瞬时速度问题

~

二、导数的定义

设函数y=f（x ）在点的某个邻域内有定义，当自变量x 在处取得增量Δx （点仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x ）在点处可导，并称这个极限为函数

y=f（x ）在点处的导数，记为

即

其它形式

关于导数的说明：

在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变

化的快慢程度。

如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。

对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）

~ 的导函数，记作

注意：

2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数.

导数定义例题：

例1、115页8

设函数f（x）在点x=a可导，求：

（1）

【答疑编号11030101：针对该题提问】

（2）

【答疑编号11030102：针对该题提问】

~

三、单侧导数

1.左导数：

2.右导

第三章 工程经济分析与评价的基本方法重点： 了解：经济效益的基本原理 熟悉：静态评价方法、动态评价方法 掌握：投资方案的类型与评价方法 难点：不确定性分析

经济效益的基本原理一、经济效益的概念是指人们在经济实践活动中取得的有用成果和劳动 耗费之比。

有用成果 经济效益 劳动耗费

经济效益 = 有用成果-劳动耗费

二、经济效益评价指标时间指标：借款偿还期、投资回收期等。 绝对指标：净现值、净年值、费用现值、费用年 值、单位产品投资额、总投资、建设周 期、利润总额 相对指标：资金成本率、销售收入利润率、投资收 益率、内部收益率、

经济效益的基本原理三、经济效益的评价原则1、技术与经济相结合的评价原则 2、定性分析和定量分析相结合的评价原则 3、财务分析和国民经济分析相结合的评价原则 4、满足可比的原则 产量的可比 、质量的可比 、品种的可比 、消耗费用的可 比、 价格的可比、时间的可比、

四、多指标评价的主要指标 在评价工业化住宅建筑体系的设计方案时，常把单方造价、 施工工期、一次性投资、劳动力耗用量、主要材料耗用量等 五项指标作为主要指标。 常把建筑自重、房屋服务年限、经常使用费、工业废料利用 与能源消耗等五项指标列为辅助指标。3

经济效益的基

目 录

第三章 曲面的第一基本形式 ................................................................................................................... 27

§ 3.1 正则参数曲面 ............................................................................................................................. 27

一、参数曲面 ............................................................................................................................... 27 二、参数变换 ..................................................................................................

第三章 导数及其应用基础训练

姓名：___________ 学号：____________ 班次：____________ 成绩：__________ 一、选择题

1．若函数y?f(x)在区间(a,b)内可导，且x0?(a,b)则limh?0f(x0?h)?f(x0?h)

h的值为（ ）

A．f'(x0) B．2f'(x0) C．?2f'(x0) D．0

2．一个物体的运动方程为s?1?t?t2其中s的单位是米，t的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒 3．函数y=x+x的递增区间是（ ）

A．(0,??) B．(??,1) C．(??,??) D．(1,??)

4．f(x)?ax?3x?2,若f(?1)?4,则a的值等于（ ）

A．

32'31916 B． 331310 D． 33C．

5．函数y?f(x)在一点的导数值为0是函数y?f(x)在这点取极值的（ ）

A．充分条件 B．

第三章 激光与光电子器件 激光器的分类： ① 按工作物质：固体激光器、气体激光器、液体激光器、 半导体激光器、自由电子激光器等 ② 按运转方式：连续激光器、脉冲激光器、超短脉冲激 光器、稳频激光器、可调谐激光器、单模激光器、多 模激光器、锁模激光器、Q开关激光器 ③ 按激光波长：红外激光器、可见光激光器、紫外激光 器、毫米激光器、x射线激光器、γ射线激光器 ④ 按泵浦方式：电激励激光器、光泵浦激光器、核能激 光器、热激励激光器、化学激光器、拉曼自旋反转激 光器、光参量振荡器等 ⑤ 按谐振腔结构：内腔激光器、外腔激光器、环形腔激 光器、折叠腔激光器、光栅腔激光器、光纤激光器、 薄膜激光器、波导激光器、分布反馈激光器等。

3.1 气体激光器 气体激光器是以气体或蒸汽为工作物质的激光器。 它是目前种类最多、波长分步区域最宽、应用最广 的一类激光器，有近万条激光谱线，波长覆盖从紫外到红 外的整个光谱区，目前已经扩展到X射线和毫米波波段。 气体激光器的输出光束质量非常高，其单色性和发 散性均优于固体和半导体激光器，也是目前连续输出功率 最大的激光器。具有转换效率高、结构简单、造价低廉等 优点，得以广泛应用。

一、气体激光器的激励方式 大部分气体激光器是采用

第三章 导数与微分

一、本章提要

1. 基本概念

瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2. 基本公式

基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3. 基本方法

⑴ 利用导数定义求导数；

⑵ 利用导数公式与求导法则求导数； ⑶ 利用复合函数求导法则求导数； ⑷ 隐含数微分法； ⑸ 参数方程微分法； ⑹ 对数求导法；

⑺ 利用微分运算法则求微分或导数．

二、要点解析

问题1 从瞬时速度出发论述导数的实际意义，并列举一些常见变化率.

解析 对于作变速直线运动的质点，若位移变量s与时间变量t之间的函数关系为

s?s(t)，当t从t变化到t??t时，在间隔?t内的平均速度为

s(t??t)?s(t)，此式只反

?t映了在t点附近速度变化的快慢程度，即为t时刻速度的近似代替量，欲使其过渡到精确值，必须使?t?0，即t时刻瞬时速度为v(t)?lims(t??t)?s(t)，也即瞬时速度反映函数

?t?0?ts?s(t)在t时刻函数的变化率（导数），所以导数的实际意义表示函数在此点变化的快慢程

度．

常见的变化率：

⑴ 曲线y?f(x)的切线斜率意义；

dy是纵坐标y对横坐标x的变化率，这是导数的几何 dxd

第三章 数学规划模型

§3.1 引言

优化是我们在工程技术、经济管理等诸多领域中最常遇到的问题之一。结构设计要在满足强度要求的条件下时所用的总重量最轻；编制生产计划要在人力、设备等条件限制下时产品的总利润最高；安排运输方案要在满足物资要求和不超过供应能力条件下时运输总费用最少；确定某种产品如橡胶的原料配方药是它的强度、硬度、变形等多种指标都达到最优。

人们解决这种问题的手段大致有以下几种：一是依靠过去的经验，这看来似乎切实可行，且不担风险，但会融入决策者过多的主观因素从而难以确定所给决策的优越性；二是作大量的实验，这固然真实可靠，却常要耗费太多的资金和人力；三是建立数学模型，求解最优决策。虽然因建模时要作适当的简化可能使结果不一定可行或达到实际上的最优，但是它基于客观的数据，又不需要太大的费用，具有前两种手段无可比拟的优点。如果在数学建模的基础上再辅以适当的经验和实验，就可以得到实际问题的一个比较圆满地解答。在决策科学化、定量化的呼声日渐高涨的今天，这一方法的推广应用无疑是符合时代潮流和形势发展需要的。

一项工程由m个市供电，已知每个施工点对某种材料的需求为r I（单位：吨），施工点的位置坐标为（ai,