差分方程的阶数

第四章

第四节 一阶常系数线性差分方程一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解

机动

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一阶常系数线性差分方程的一般形式为

y x 1 ay x f ( x )

⑴

其中 a 0 为常数，f ( x ) 为已知函数。

当 f ( x ) 0时，称方程

y x 1 ay x 0

⑵

为一阶常系数齐次线性差分方程； 当 f ( x ) 0 时，方程⑴称为一阶常系数非齐次

线性差分方程。机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解y x 1 ay x 0⑵

1. 迭代法 若 y0 已知，则由方程⑵依次可得出：

y1 ay0 2 y2 ay1 a y0

y3 ay2 a y0 y x a x y0 , 于是3

y 得齐次方程的通解： x Ca .( C 为任意常数)x机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.特征根法 由于方程 yx 1 ayx 0 等同于 yx (1 a) yx 0, 设 yx ( 0) 代入方程得x

x 1 a x 0即

a 0

(3)

称方程(3)为齐次方程

幻灯片1

第七章 差分方程模型

7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 减肥计划——节食与运动 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长

幻灯片2

7.1 市场经济中的蛛网模型

供大于求

价格下降

减少产量

现 象

数量与价格在振荡

供不应求

增加产量

价格上涨

描述商品数量与价格的变化规律 问 题

商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定

幻灯片3

蛛 网 模 型

xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格

消费者的需求关系

yk?f(xk) 减函数

需求函数

供应函数

生产者的供应关系

增函数

xk?1?h(yk)

yk?g(xk?1)

y

f 0

x

g

f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点

y0

P0

x0

一旦xk=x0，则yk=y0,

xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0

幻灯片4

yk?g(xk?1)

yk?f(xk)

蛛 网 模 型

设x1偏离x0

xk?1?h(yk)

x1?y1?x2?y2?x3??

xk?x0,yk?y0

xk?x0,yk?y0

幻灯片1

第七章 差分方程模型

7.1 市场经济中的蛛网模型 7.2 减肥计划——节食与运动 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长

幻灯片2

7.1 市场经济中的蛛网模型

供大于求

价格下降

减少产量

现 象

数量与价格在振荡

供不应求

增加产量

价格上涨

描述商品数量与价格的变化规律 问 题

商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定

幻灯片3

蛛 网 模 型

xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格

消费者的需求关系

yk?f(xk) 减函数

需求函数

供应函数

生产者的供应关系

增函数

xk?1?h(yk)

yk?g(xk?1)

y

f 0

x

g

f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点

y0

P0

x0

一旦xk=x0，则yk=y0,

xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0

幻灯片4

yk?g(xk?1)

yk?f(xk)

蛛 网 模 型

设x1偏离x0

xk?1?h(yk)

x1?y1?x2?y2?x3??

xk?x0,yk?y0

xk?x0,yk?y0

模型1 蛛网模型

经济背景与问题：在自 由市场经济中，有些商品的生产、销售呈现明显的周

期性。农业产品往往如此，在工业生产中，许多商品的生产销售是有周期性的，表现在：商品的投资、销售价格、产量、销售量在一定时期内是稳定的，因而整个某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式。在这些因素中，我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这两个指标，它们是整个经营过程中的核心因素，要想搞好经营，取得良好的经济效益，就必须把握好这两个因素的规律，作好计划。试分析市场经济中经营者根据市场经济的规律，如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的。 模型假设与模型建立

将市场演变模式划分为若干段，用自然数n来表示； 设第n个时段商品的数量为

，价格为

，n=1,2….;

由于价格与产量紧密相关，因此可以用一个确定的关系来表现：即设有

（3. 3）

这就是需求函数，f 是单调减少的对应关系; 又假设下一期的产量

是决策者根据这期的价格决定的，即：设

，

h是单调增加的对应关系， 从而，有关系：

（3.4）

g 也是单调增加的对应关系. 因此可以建立差分方程：

（3.5） （3.6）

这就是两个差分方程。属

差分方程及高等数学在经济学中的应用

前面我们所研究的变量基本上是属于连续变化的类型，但在经济管理或其它实际问题中，大多数变量是以数列形式变化的，如银行中的定期存款按所设定的时间等间隔计息，国家财政预算按年制定等。通常称这类变量为离散型变量。对这类变量，我们可以得到在不同取值点上的各离散变量之间的关系，如递推关系等。描述各离散变量之间关系的数学模型称为离散型模型。求解这类模型就可以得到离散型变量的变化规律。本章将介绍在经济学和管理科学中最常见的一种离散型数学模型——差分方程。

用数学方法解决实际问题,首先要构建该问题的数学模型,即找出该问题的函数关系。然后再用数学方法结合经济意义进行求解，解释经济意义，以期对经济运行进行分析干预。本章我们还将通过介绍几种常用的经济函数的建立及求解，以期引导学生掌握分析解决具体经济问题的思想方法。

§1 差分方程及其在经济学中的应用

本节主要介绍差分方程的概念、性质及求解。重点掌握一阶差分方程的求解。 一、差分的概念与性质

一般地，在连续变化的时间范围内，变量y关于时间t的变化率是用dy来刻画的；对离散型的变量y，

dt我们常取在规定的时间区间上的差商?y来刻画变量y的变化率。如果选择?t?1，则

第七章 常微分方程与差分方程

常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。

【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler）方程；微分方程的简单应用。

【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可

第七章 常微分方程与差分方程

常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。

【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler）方程；微分方程的简单应用。

【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可

市场需求函数由下式给出：

qtD=A+Bpt

其中，qtD为t时刻的需求量，pt是t时刻的市场主导价格

我们假定供给决策是在产品上市的前一期做出的。因此，t时期市场的共给量是在t－1时期以供应商预期的未来市场价格为基础决定的。令Et?1(pt)表示预期价格，那么时期t的供应量由下式给出：

qtS=F+GEt?1(pt)

为了使模型更加的完整，我们需要指定预期价格的形成方式。在基本的蛛网模型中，我们假定

Et?1(pt)=pt?1

这意味着，供应商预期下一期的市场价格等于当前的市场价格。

假定在每一期价格都会调整到市场出清水平，那么每一期的供给和需求都相等。这意味着

A+Bpt= F+GEt?1(pt) 重新整理，可以求得pt：

pt=

GF?Apt?1? （18.8） BB该式说明，价格的时间路径服从一个一阶线性自治差分方程（以t和t-1，而不是t和t+1的项表示）。稳态价格p可以通过令pt=pt?1=p求得。

按照上述做法，我们求得

p=

A?F G?B注意，稳态价格也是使供给和需求相等时的价格。

比较等式（18.8）和等式（18.1），我们知道

差分方程在数学模型中的应用

皇甫慧 20101104821

数学科学学院 数学与应用数学专业 10级2班

指导老师 李伟军

摘要：差分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要的数学模型。在科学

研究和生产实际中，经常碰到处理对象涉及的变量是连续的，但从建模的目的考虑，把连续变量离散化处理，从而将连续模型（微分方程）化为离散型（差分方程）问题。

关键字：差分、变量、模型

1.种群生态学中的虫口模型:

在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。

模型假设与模型建立：假设第n年的虫口数目为Pn，每年一个成虫平均产

Pn?1?cPn，卵c个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：

这是一种简单模型；如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为而有:

2Pn?1?cPn?bPn

112pn(pn?1)?pn，故减少数应当与它成正比，从22这个

:xn?1??xn(1?xn)一阶非线性差分方程。这个模型

差分方程在数学模型中的应用

皇甫慧 20101104821

数学科学学院 数学与应用数学专业 10级2班

指导老师 李伟军

摘要：差分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要的数学模型。在科学

研究和生产实际中，经常碰到处理对象涉及的变量是连续的，但从建模的目的考虑，把连续变量离散化处理，从而将连续模型（微分方程）化为离散型（差分方程）问题。

关键字：差分、变量、模型

1.种群生态学中的虫口模型:

在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。

模型假设与模型建立：假设第n年的虫口数目为Pn，每年一个成虫平均产

Pn?1?cPn，卵c个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：

这是一种简单模型；如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为而有:

2Pn?1?cPn?bPn

112pn(pn?1)?pn，故减少数应当与它成正比，从22这个

:xn?1??xn(1?xn)一阶非线性差分方程。这个模型