高等数学数列的极限证明

第二节 数列的极限 一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四、数列极限的性质 五、小结

一、概念的引入1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽播放

正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2

R

正 6 2 n 1形的面积 An

A1 , A2 , A3 , , An ,

S

2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为 X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和为 X 2 2 ; 2 2

1 1 1 第n天截下的杖长总和为 X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2

二、数列的定义定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数

x1 , x 2 , , x n ,

(1)

称为无穷数列, 简称数列. 其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n } .例如

2,4,8, ,2 n , ;1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2

{2 } 1 { n} 2

n

1, 1,1, , ( 1)

n 1

, ;

{( 1)

n 1

}

1

目 录

一、函数与极限 ················································································································2

1、集合的概念 ···········································································································2

2、常量与变量 ···········································································································3 2、函数 ·····················································································································4 3、函数的简单性态 ································

x2sin设limf(x)?A，求证：limf(x)?A． 求极限limx?0sinxx?x0x?x01求极限limx1?sin． 求极限lim?cosln(1?x)?coslnx? x?0xx???1x 111arctan． 求极限lim 求极限limarctanx?arcsin 2x??x??x(1?ex)xx??x1?x2x?1求极限lim． 1x?0求数列的极限lim(sinn?1?sinn) n??2?2x求极限lim 2x设lim?(x)?u0，且?(x)?u0，又limf(u)?Ax?x0u?u0试证：limf??(x)??Ax?x0 设f(x)?x?1lnx试确定实数a，b之值，使得： 当x?a时，f(x)为无穷小；当x?b时，f(x)为无穷大。x设f(x)?，问：当x趋于何值时，f(x)为无穷小。 xtan2 若limf(x)?A，limg(x)?B，且B?Ax?x0x?x0证明：存在点x0的某去心邻域，使得在该邻域内　g(x)?f(x)． 设limf(x)?A，试证明：x?x0对任意给定的??0，必存在正数?，使得对适含不等式0?x1?x0??；0?x2?x0??的一切x1、x2，都有f(x2)?f(x1)??成立。已

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

两个重要极限

第一个重要极限：lim

推论：lim

第二个重要极限：lim(1 )x e

x

sinx

1

x 0x

tanxarcsinxarctanx 1，lim 1，lim 1

x 0x 0x 0xxx

1

x

1其他形式：lim(1 n e,n n

推论：lim

lim 1 x e

x 0

1x

loga(1 x)1ln(1 x)

lim 1

x 0x 0xlnax

ax 1ex 1lim lna lim 1 x 0x 0xx

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

等价无穷小

当x 1时，lnx x 1（这个等价无穷小很有用。） 证明：lnx ln[1 (x 1)] x 1（ x 1 0）

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

导 数

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

高阶导数

函数f(x)在点x0注 如果函数f(x)在点x0处的二阶可导，则函数f(x)在点x0的某个邻域内必须有连续的导数

f (x)。

两个函数乘积的高阶导数（莱布尼茨公式）：

uv

n

k n k k

Cnuv k 0

n

或

(uv)

(n)

n(n 1)...(n k 1)(n k)(k)

v

k!k 0

n

高等数学中有关极限、无穷小和导数的公式

求导法则和方法

经济数学

前言 一、“高等数学”的学科定位

“高等数学”，是以极限论为工具研究变 量和变量关系的学科，又称为微积分，在数学专业课中又称为“数学分析”。

研究的对象是函数，基础是实数域，运用分析的工具是极限。

以下我们根据课程的特点和内容从不同角度对其进行说明。

1、高等数学 初等数学，

2、高等数学又称为“微积分”，其主要内容是微分学和积分学两部分。而它们的基础是函数与极限，我们再根据其对象是一元函数和多元函数将其分为一元微积分和多元微积分。

3、同样是微积分，还有层次的高低问题。 4、在内容的系统上，其主线是运用极限论

工具对函数的各特性进行讨论。这里在内容体系展开上就有一个认识上的矛盾。因为极限论从认识的角度看要比函数的微积分难得多。若一开始就深入的徘徊在极限理论之中，必然偏离我们高数的学习目的。为了解决这个矛盾，我们尽量地简化了极限论的分析，只是罗列了一些要用的必需结论（这也是与数学分析的主要区别之一）。但是对它的简单化将使我们在运用极限这个工具时，感到有点把握不住，这是很正常的。希望大家一定要正确对待这一难关。我们的处理是在后继内容的一些具体问题中去逐步地完善对极限的认识，可能到后面的总结时，才能较好地体会和归纳出它的实

第一章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

y??f(x)x?D2.分段函数:

?1?g(x)x?D2

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1

(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1

)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f

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第一章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

y??f(x)x?D12.分段函数:

??g(x)x?D2

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1

(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1

)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D

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第一章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容 ㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

y??f(x)x?D12.分段函数:

??g(x)x?D2

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1

(y)

y=f-1

(x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1

)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D

高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

1、函数

f x x2

x3 1

x 1与函数g x x 1相同．

错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴

f x x2

x3 1

x 1与g x 函数关系相同，但定义域不同，所以f x 与g x

x 1

是不同的函数。

2、如果f x M（M为一个常数），则f x 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．

错误 如：数列xn 1 是有界数列，但极限不存在

n

4、n

liman a，liman a．

n

n

n

n

错误 如：数列an 1 ，lim( 1)

x

1，但lim( 1)n不存在。

n

5、如果limf x A，则f x A （当x 时， 为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果 ～ ，则 o ．

1，是

∴lim lim 1 0，即 是 的高阶无穷小量。

2

7、当x 0时，1 cosx与x是同阶无穷小．

2

xx 2sin2sin

1 cosx1 1 lim lim2 正确 ∵limx 0x 0x 04

高等数学第一章函数与极限

一、选择题（共 191 小题）

1、A

下列函数中为奇函数的是(A)y?x2tan(sinx)；　(B)y?x2cos(x??4)；

(C)y?cos(arctanx)；　(D)y?2x?2?x　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）2、A

下列函数中（其中?x?表示不超过x的最大整数），非周期函数的是(A)y?sinx?cos?x；　　(B)y?sin22x；(C)y?a?cosbx；　　　(D)y?x??x?　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）3、D

1关于函数y??的单调性的正确判断是x1(A)当x?0时，y??单调增；x1(B)当x?0时，y??单调减；x11(C)当x?0时，y??单调减；当x?0时，y??单调增；xx11(D)当x?0时，y??单调增；当x?0时，y??单调增。xx　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）4、C

下列函数中为非奇函数的是

2x?1(A)y?x；　　 (B)y?lg(x?1?x2)；2?1

x(C)y?xarccos； (D)y?x2?3x?7?x2?3x?721?x