高数第12章知识点

第十二章 无穷级数

§ 1 常数项级数的概念和性质

?3n1、 设级数?n，则其和为（ ）

n?053515 A B C D

53222、 若liman?0，则级数?an（ ）

n???

n?1

A 收敛且和为0 B 收敛但和不一定为0

C 发散 D 可能收敛也可能发散 3 、若级数?un收敛于S，则级数?(un?un?1)（ ）

n?1n?1?? A 收敛于2S B收敛于2S+u1 C收敛于2S-u1 D发散

?114、若limbn???，bn?0,求 ?(?)的值

n??bbn?1nn?1解： Sn?((1111111111?)?(?)?(?)?......(?)??

微分方程 1、可分离变量微分方程： 例1 设

??x0f?t?dt?11f?x??且f?0??1，求f?x? 22[解]：?x011f?t?dt?f?x??，?22??x01??1?1f?t?dt??f?x????f?x??f??x?

2?2?2?? 即y?11y???dy??2dx?lny?2x?c，由f?0??1?c?0?lny?2x 2y 所求的f?x??e2x。

22222例2 求xydx?xy?x?y?1dy?0 的通解

??y2?1x2[解]：xydx??xy?x?y?1?dy?0??dy?2dx

yx?122222y2?1x2y2 ??dy??2dx???lny?x?arctxa?nc

yx?122、一阶线性微分方程：y??p?x?y?q?x? 或

x??p?y?x?q?y?

?p?x?dx??p?x?dxdx?c?或 其通解为：y?e??q?x?e?????p?y?dy??p?y?dydy?c?。 qye x?e????????例1、求?y?lnx?dx?xdy?0的通

第一章 函数与极限

第一节 映射与函数

一、 集合

1、集合概念

（1） 通常用大写拉丁字母A、B、C……表示集合（简称集），用小写拉丁字母a、

b、c……表示元素（简称元）。

（2） 含有有限个元素的集合为有限集，不是有限集的集合成为无限集。 （3） 表示集合的方法通常有列举法和描述法。

（4） 习惯上，全体非负整数即自然数的集合记作N，全体正整数的集合为N?，全体整数的集合记作Z，全体有理数的集合记作Q，全体实数的集合记作R。

（5） 设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B

的子集，记作A?B或B?A。如果A?B且B?A，则称集合A与集合B 相等，记作A?B。 （6） 若A?B且A?B，则称A是B的真子集，记作A?B （7） 不含任何元素的集合成为空集。 2、集合的运算

（1） 集合的基本运算有并、交、差。

A?B={x/x?A或x?b}

A?B={x/x?A且x?B} A\\B={x/x?A且x?B}

（2） 若集合I为全集或基本集，称I/A为A的余集或补集，记作AC （3） 集合的并、交、余运算满足交换律、结合律、分配律、对偶律。 3、区间和邻域

（1） 开区间、

1 函数、极限与连续

§1--1 初等函数

基本初等函数

我们把幂函数y =x α(α∈R )、指数函数y =a x (a >0且a ≠1)、对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)、三角函数y =sin x , y =cos x , y =tan x , y =cot x , y =sec x , y =csc x 和反三角函数y =arcsin x , y =arccos x , y =arctan x , y =arccot x 统称为基本初等函数．很多时候也把多项式函数y =a n x n +a n-1x n-1+...+a 1x +a 0看作基本初等函数．

复合函数

定义1 如果y 是u 的函数y =f (u )，而u 又是x 的函数u =?(x )，且?(x )的值域与y =f (u )的定义域的交非空，那么，y 通过中间变量u 的联系成为x 的函数，我们把这个函数称为是由函数y =f (u )与u =?(x )复合而成的复合函数，记作y =f [?(x )]．

例1 已知y =ln u , u =x 2，试把y 表示为x 的函数．

解 y =ln u =ln x 2, x ∈(-∞,0)?(0,+∞)．

例2 设y

1 函数、极限与连续

§1--1 初等函数

基本初等函数

我们把幂函数y =x α(α∈R )、指数函数y =a x (a >0且a ≠1)、对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)、三角函数y =sin x , y =cos x , y =tan x , y =cot x , y =sec x , y =csc x 和反三角函数y =arcsin x , y =arccos x , y =arctan x , y =arccot x 统称为基本初等函数．很多时候也把多项式函数y =a n x n +a n-1x n-1+...+a 1x +a 0看作基本初等函数．

复合函数

定义1 如果y 是u 的函数y =f (u )，而u 又是x 的函数u =?(x )，且?(x )的值域与y =f (u )的定义域的交非空，那么，y 通过中间变量u 的联系成为x 的函数，我们把这个函数称为是由函数y =f (u )与u =?(x )复合而成的复合函数，记作y =f [?(x )]．

例1 已知y =ln u , u =x 2，试把y 表示为x 的函数．

解 y =ln u =ln x 2, x ∈(-∞,0)?(0,+∞)．

例2 设y

第12章整式的乘除知识点总结

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第12章整式的乘除

§12.1幂的运算

一、同底数幂的乘法

1、法则：a m·a n·a p·……=a m+n+p+……（m、n、p……均为正整数）

文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：π2·π3·π4=π2+3+4=π9；

(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；

(2)3·(2)4=(2)3+4=(2)7；

(a+b)3·(a+b)4·(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8

（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。

（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。

二、幂的乘方

1、法则:(a m)n=a mn（m、n均为正整数）。推广：｛[(a m)n]p｝s=a mn p s

文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

2、注意事项：

（1）a可以是实数，也可以是代数式等。

如：(π2)3=π2×3=π6；

[(2)3]4=(2)3×4=(2)12；

[(a-b)2]4= (a-b)2×4=(a-b)8

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（2）运用时注意符号的变化。

（3）注意该法则的逆应用，即：a mn= (a m)n，

如：a

资料来源：中国教育在线 http://www.eol.cn/ 2013年考研[微博]数学真题高数还是强调了数学考试的目的就是对基本概念、基本性质、基本原理的考察，这类考试性质没有变。具体来说，从整体试卷来看，理工类(数学一、数学二)比经济类(数学三)的难度略微高一点，从近几年真题来看，偏题怪题没有出现，没有考生所说的“变态题”。但部分考题包括一些选择题，如果平常复习仅仅是死记硬背，对于知识点不能灵活掌握运用，这种题做起来会有困难，因此跨考教育[微博]数学教研室刘老师详细列举了高数的考点，方便大家查漏补缺

作为考生来说，复习肯定要扎扎实实的，押题的话，我们正好改成重点，尤其是到了冲刺阶段，有所侧重的做题型复习也是有必要的，我们经常说要“抓重点”，抓住重点就可以提高复习的效率，要是侧重掌握某些题型、加深印象，这与全面复习掌握基础是不矛盾的。我们认为押题和有所侧重是在打好基础的情况下侧重，这样才不会走偏，如果一个考生就想押题，让老师告诉你几道题就得高分，这样是不正确的，往往不会成功。 第一章 函数、极限与连续 1、函数的有界性

2、极限的定义(数列、函数) 3、极限的性质(有界性、保号性)

2016考研高数微积分重要知识点

我们都知道在各个科目的学习中，对重要知识点进行归纳总结可以有效地帮助我们的学习，在考研高数中当然也不例外。针对考研高数的学习，我们为大家带来了2016考研高数微积分重要知识点，希望可以更好地帮助同学们对于复习考研高数。

一、微积分中三大主要函数

微积分处理的对象有三大主要函数，第一是初等函数，这是最基础的东西。在初等函数的基础上对分段函数，在微积分的概念里都有分段函数，处理的一般方法应该掌握。还有就是研究生考试最常见的是变限积分函数。这是我们经常遇到的三大基本函数。

二、微积分复习方法

微积分复习内容很多，题型也多，灵活度也大。怎么办呢?这其中有一个调理办法，首先要看看辅导书、听辅导课，老师给你提供帮助，会给你一个比较系统的总结。老师总结的东西，比如说我在跨考网课程中总结了很多的点，每一个点要掌握重点，要举一反三搞清楚。从具体大的题目来讲，基本运算是考试的重要内容。应用方面，无非是在工科强调物理应用，比如说旋转体的面积、体积等等。在经济里面的经济运用，弹性概念、边际是经济学的重要概念，包括经济的函数。还有一个更应该掌握的，比如集合、旋转体积应用面等等，大的题目都是在经济基础上延伸出的问题，只有数学化了之后，才能处理数学

2016考研高数微积分重要知识点

我们都知道在各个科目的学习中，对重要知识点进行归纳总结可以有效地帮助我们的学习，在考研高数中当然也不例外。针对考研高数的学习，我们为大家带来了2016考研高数微积分重要知识点，希望可以更好地帮助同学们对于复习考研高数。

一、微积分中三大主要函数

微积分处理的对象有三大主要函数，第一是初等函数，这是最基础的东西。在初等函数的基础上对分段函数，在微积分的概念里都有分段函数，处理的一般方法应该掌握。还有就是研究生考试最常见的是变限积分函数。这是我们经常遇到的三大基本函数。

二、微积分复习方法

微积分复习内容很多，题型也多，灵活度也大。怎么办呢?这其中有一个调理办法，首先要看看辅导书、听辅导课，老师给你提供帮助，会给你一个比较系统的总结。老师总结的东西，比如说我在跨考网课程中总结了很多的点，每一个点要掌握重点，要举一反三搞清楚。从具体大的题目来讲，基本运算是考试的重要内容。应用方面，无非是在工科强调物理应用，比如说旋转体的面积、体积等等。在经济里面的经济运用，弹性概念、边际是经济学的重要概念，包括经济的函数。还有一个更应该掌握的，比如集合、旋转体积应用面等等，大的题目都是在经济基础上延伸出的问题，只有数学化了之后，才能处理数学

y ( x y ) ln(1 ) x dxdy， 计算二重积分I 1 x y D 其中D ( x, y ) | x y 1，x 0，y 0 .

区域D的图形知，可用极坐标计算该二重积分。 解法1：由

x r cos 2 令 ，其中0 r 1， . 0 2 2 y r sin x x cos 2 2r cos sin r 由于J (r , ) 2 y y sin 2r sin cos r 2r sin cos r sin 2 .

r ln(1 tan ) 原式= 2 J (r , )drd 0 0 1 r

1 2

2 0

r ln(1 tan ) r sin 2 drd 0 1 r

1 2 2 1 0

ln(1 tan ) sin 2 d

2 0

r dr. 1 r

2

于是分别只需计算

2 0

ln(1 tan ) sin 2 d 和

2

1

0

r dr即可. 1 r

2

2 0

ln(1 tan )