分数裂项计算
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分数乘法和分数裂项法
分数乘法与分数裂项法
【专题解读】
我们知道,分数乘法的运算是这样的:分数乘分数,应该分子乘分子,分母乘分母(当然能约分的最好先约分在计算)。
分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧,它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法,达到计算正确而迅速的目的。
1、运用运算定律:这里主要指乘法分配律的应用。对于乘法算式中有因数可以凑整时,一定要仔细分析另一个因数的特点,尽量进行变换拆分,从而使用乘法分配律进行简便计算。
2、充分约分:除了把公因数约简外,对于分子、分母中含有的公因式,也可直接约简为1。
进行分数的乘法运算时,要认真审题,仔细观察运算符号和数字特点,合理进行简算。需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质,当变成符合运算定律的形式时,才能使计算既对又快。
【典型例题】——乘法分配律的妙用
4467例1.计算:(1)×37 (2)2004×
4520034444分析与解:观察这两道题的数字特点,第(1)题中的与1只相差1个分数单位,如果把写成(1-
454544)的差与37相乘,再运用乘法分配律可以使计算简便。同样,第(2)题中可以把整数2004写成(2003+1)4567的和与相乘,再运用乘法分配律计算比较简便。
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计算(裂项、换元与通项归纳)
计算(裂项、换元与通项归纳)
第一部分 裂项
11111+2+3+4+……+20 26122042011111 =(1+2+3+……+20)+(++++……+)
26122042011111 =210+(++++……+)
1?22?33?44?520?21111111111 =210+(1-+-+-+-- )
223344520211 =210+(1- )
2120 =210
21【1】 计算 1
【2】
123-15-17-19-111-113-1111111 =+++++
6?88?1010?1212?142?44?61111111111111 =(-+-+-+-+-+-)×
244668810101212142111 =(-)×
2142613 =× =
14214+
12+
1
2
+
1
2
+
12+
12
365791113【3】计算 ++++++
57612204230361111111111 =++(+)+(+)+(+) +(+)+(+
计算(裂项、换元与通项归纳)
计算(裂项、换元与通项归纳)
第一部分 裂项
11111+2+3+4+……+20 26122042011111 =(1+2+3+……+20)+(++++……+)
26122042011111 =210+(++++……+)
1?22?33?44?520?21111111111 =210+(1-+-+-+-- )
223344520211 =210+(1- )
2120 =210
21【1】 计算 1
【2】
123-15-17-19-111-113-1111111 =+++++
6?88?1010?1212?142?44?61111111111111 =(-+-+-+-+-+-)×
244668810101212142111 =(-)×
2142613 =× =
14214+
12+
1
2
+
1
2
+
12+
12
365791113【3】计算 ++++++
57612204230361111111111 =++(+)+(+)+(+) +(+)+(+
裂项相消法
裂项相消法
数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消,于是前n项的和变成首尾若干少数项之和,这一求和
?c?方法称为裂项相消法。适用于类似?(其中?an?是各项不为零的等差数列,?aa?nn?1?c为常数)的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和,需要掌握一些常见的
裂项方法: (1)
11111?11?k?1,特别地当时, ??????n?n?1?nn?1n?n?k?k?nn?k?11?n?k?nk(2)?n?k?n,特别地当k?1时?1?n?1?n
n?1?n例1、数列?an?的通项公式为an?解:Sn?a1?a2?a3???an?1?an ?1,求它的前n项和Sn
n(n?1)111????1?22?33?411 ??n?n1nn?????11??11??1??11??11??1 =?1????????????????????
22334n?1nnn?1??????????1n? n?1n?1小结:裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差,且这两项是同一数列的相邻两项,即这两项的结构应一致,并且消项时前后所剩的项数相同.
?1?针对训练、求数列1111
数列裂项求和汇编
山东学大信息技术有限公司—分教管部制
Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.
数列裂项求和
一.裂项求和基本问题
1.求和:)
1(1541431321211+++?+?+?+?=n n S n 1
111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 。 2.求和:)12)(12(1971751531311+-++?+?+?+?=
n n S n 1
2)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n 3.求和:)13)(23(11071741411+-++?+?+?=
n n S n 。 )1
31231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 1
3)1311(31+=+-=n n n 。 4.求和:)2(1641531421311+++?+?+?+?=
n n S n 。 )1
111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-
小六奥数第13讲:分数裂项与分拆(学生版)
第十三讲分数裂项与分拆
1. “裂差”型运算
2. 裂差型裂项的三大关键特征:
3.复杂整数裂项型运算
4. “裂和”型运算
1.复杂整数裂项的特点及灵活运用
2.分子隐蔽的裂和型运算。
例1:
11111123423453456678978910+++???++???????????????
例2:计算:
57191232348910+++=??????.
例3:12349223234234523410+++++?????????
例4:111111212312100+
+++++++++
例5:22222211111131517191111131
+++++=------.
例6:111
3199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223
231999
+++++?++?+??+
A
1.333 (1234234517181920)
+++?????????
2.计算:5717191155234345891091011?++++????????(
)
3.计算:
3451212452356346710111314
++++????????????
4.234501(12)
(1
2)(123)(123)(1234)
(12349)(12350)++++?++?++++?+++++++?+
数列中裂项相消的常见策略
数列中裂项相消的常见策略
化娟 (甘肃省临泽一中 734000)
裂项相消是数列中常见的求解策略,裂项的本质是把数列中的乘积形式变成2项差的形式.近几年的数学高考试题频频用到此法,本文就解决这类问题的策略结合常见的试题给予概括总结,以供参考.
1 利用分式的通分进行裂项
通分在小学和初中阶段都是常见的内容,而裂项主要是逆用通分,把乘积式转化为2式的差.例如可以利用
1111?(?)进行裂项.
n(n?k)knn?k111?????_ 1?21?2?31?2?3???n例1 求和1+
分析 因为
121??1??2???,
1?2?3???nn(n?2)nn?1??1111111?2n ??????????22334nn?1?n?1所以 原式=2?1?例2
??已知等差数列?an?满足: a3=7,a5+a7=26, ?an?的前n项和为Sn
(1) 求a4及Sn (2) 令bn?1?(n?N),求数列?bn?的前n项和为Tn. 2an?1分析 (1)略.
2(2)由an?2n?1,得an?1?4n(n?1),
从而 bn?1111?(?),
4n(n?1)4nn?111111111n(1???????)=(1?)=.
奥数专题 - 裂项法(一)(含答案)
奥数专题——裂项法(一)
同学们知道:在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算。
(一)阅读思考 例如
111??,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的乘积,3412把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用的等式:
11n?1n???nn?1n(n?1)n(n?1)
n?1?n1??n(n?1)n(n?1) 即
111?? nn?1n(n?1)111??
n(n?1)nn?1 或
下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】
例1. 计算:
1111???……?
1985?19861986?19871987?19881994?1995111??? 1995?19961996?19971997 分析与解答:
111??1985?198619851986111??1986?198719861987111 ??1987?198819871988……111??1994?199519941995- 1 -
111??1995?199619951996
111??1996?199719961997 上面12个式子的右
大体积砼的抗裂计算
一、大体积砼的抗裂计算
考虑到理论计算与实际计算的差异,为确保质量,初步定分二层浇筑(分块施工难度大,工期不允许),但设计不同意,
最后决定一次浇筑。如下计算:
(一)配合比的确定
大体积砼配合比需满足低水化热值和砼强度等级C40要求。为此,做了以下几点调整:
1.经设计同意后,选用砼的60天强度值替代28天强度值,从而降低水泥用量;
2.采用高效减水剂降低砼中水的用量;
3.采用石家庄产UEA(微膨胀剂)增强砼的抗裂性能;
4.采用二级以上粉煤灰替代部分水泥来增强砼的和易性。
经过3月-6月近4个月的反复试配,大体积砼的配合比为:
单位:Kg
大同(P,0525)水泥 322 水 185 砂 745 石 1118 减水剂 6.63 UEA 40 粉煤灰 40 砼的塌落度为18±3cm,缓凝12h。
(二)砼的抗裂计算
1.砼的将温系数
2.8米厚大体积砼底板,保温为120mm厚,两层塑料布。h'-砼虚厚度,h'=(Kλ)/β
λ-砼导热系数:2.33w/(mk)
K-计算折减系数,K=0.666
β=1/[(δ/K1λ1)+(1/βq)]
δ-保温材料的厚度,δ=0.88
λ1-保温材料导热系数,λ1=0.28
βq-空气层传热系数,取2
深孔预裂爆破计算计算书
深孔预裂爆破计算计算书
阳江项目工程 ;工程建设地点:;属于结构;地上0层;地下0层;建筑高度:0m;标准层层高:0m ;总建筑面积:0平方米;总工期:0天。
本工程由投资建设,设计,地质勘察,监理,组织施工;由担任项目经理,担任技术负责人。
一、计算参数
1.岩土参数
岩土类别:五类土;爆破处自由面系数m:1;岩石硬度调整系数D:0.5;岩石极限抗压强度[σ]:50MPa;
2.普通破碎孔参数
台阶高度H:6m;台阶坡面角а:60°;台阶高度影响系数η:1;钻机至坡顶线最小安全距离B:1.2m;钻孔直径d:75mm;底盘抵抗线Wd:6.12m;孔距a:8m;排距b:6m;超钻深度h:0.5m;受前排爆岩阻力作用的药量增加系数p:1.15;
3.周边预裂孔参数
炮孔直径dk:70mm;孔距ak:0.5m;不偶合系数Dr:4; 4.炸药相关参数
炸药类型:岩石硝铵2号;堵塞系数u:1;深孔预裂爆破单耗q:0.035Kg/m3;换算系数e:1;装药密度Δ:0.9g/cm3;最佳装药系数τ:0.4;
5.示意图
二、普通破碎孔炸药用量计算
Wd=HDηd/150,且Wd≥Hctgα+B Wd=6.12m
1.前排炮孔的单孔药量计算
Q前=eumq