数学建模拟合例题

曲线拟合

某年美国旧车价格的调查资料如下表所示，其中下xi表示轿车的使用年数，

yi表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并计算使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？

xi yi 1 2 3 4 5 6 538 7 484 8 290 9 226 10 204 2615 1943 1494 1087 765 （1）画粗糙曲线 运行程序

x1=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];

y1=[2615,1943,1494,1087,765,538,484,290,226,204]; plot(x1,y1,'o') 运行结果

假设曲线方程y=a*e?kx方程两边取对数lny=lna-kx

令t=lny,m=-k,n=lna,拟和曲线t=n+mx 执行以下程序拟和求得参数 x1=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];

y1=[2615,1943,1494,1087,765,538,484,290,226,204]; t=log(y1); aa=polyfit(x1,t,1) 运行结果 aa =

-0.2969 8.1591 即得y1=e^(-0.2969*x+8.1591) 运行程序得到精确曲线 x

插值与拟合方法

数学建模社团活动

主讲人：赵振刚

第一章 插值与拟合方法一般插值方法； 样条函数与样条插值方法； 磨光法与B样条函数； 最小二乘拟合方法； 应用案例分析与应用练习.

2

2013年11月24日

一、一般插值方法1.一般问题的提出实际中不知道函数 y f (x) 的具体表达式， 由实验 测量对于 x xi 有值 y yi (i 0,1,2, , n) ,寻求另一 函数 (x) 使满足： ( x i ) yi f ( xi ) 。此问题称为插值问题， 并称 (x) 为 f (x) 的插值 函数； x 0 , x1 , x2 , , xn 称为插值节点；

( x i ) yi (i 0,1,2, , n) 称 为 插 值 条 件 ， 即 ( x i ) yi f ( xi ) ,且 ( x) f ( x) 。3 2013年11月24日

一、一般插值方法2. Lagrange插值公式设函数 y f (x) 在 n 1 个相异点 x 0 , x1 , x2 , , xn 上的值为 y 0 , y1 , y 2 , , yn ,要求一个次数

. . . . .

插值和拟合

实验目的：了解数值分析建模的方法，掌握用Matlab进行曲线拟合的方法，理解用插值法建模的思想，运用Matlab一些命令及编程实现插值建模。

实验要求：理解曲线拟合和插值方法的思想，熟悉Matlab相关的命令，完成相应的练习，并将操作过程、程序及结果记录下来。

实验内容：

一、插值

1．插值的基本思想

·已知有n +1个节点（xj,yj），j = 0,1,…, n，其中xj互不相同，节点(xj, yj)可看成由某个函数y= f （x）产生；

·构造一个相对简单的函数y=P(x)；

·使P通过全部节点，即P (xk) = yk，k=0,1,…, n ；

·用P (x)作为函数f ( x )的近似。

2．用MA TLAB作一维插值计算

yi=interp1(x，y，xi，'method')

注：yi—xi处的插值结果；x，y—插值节点；xi—被插值点；method—插值方法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：立方插值；缺省时：线性插值）。注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。

练习1：机床加工问题

x 0 3 5 7 9 11 12

一、人体重变化

某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克? 天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、 问题分析

人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。

二、 模型假设

1、 以脂肪形式贮存的热量100%有效

2、 当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、 假设体重的变化是一个连续函数 4、 初始体重为W0

三、 模型建立

假设在△t时间内：

体重的变化量为W（t+△t）-W(t)；

身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；

转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt；

四、 模型求解

d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得：

(-69t/41686)

5429-69

数学建模插值与拟合实验题

1. 处理2007年大学生数学建模竞赛A题：“中国人口增长预测”附件中的数据，得到以下几个问题的拟合结果，并绘制图形

（1）对1994-2005年出生婴儿的性别比进行拟合，并以此预测2006-2015年间的性别比。

（2）生育率随年龄的变化而变化，试以生育年龄为自变量，生育率为因变量，对各年的育龄妇女生育率进行拟合；

（3）按时间分布对城、镇、乡生育率进行分析，以时间为自变量，生育率为因变量，对城、镇、乡的生育率进行拟合，并预测2006-2015年间的生育率。

（4）将某年的城镇化水平PU(t)定义为当年的城镇人口数与总人口数之

比,Karmeshu(1992年)研究发现20世纪50年代以来发达国家随着经济发展水平的提高，城镇人口的增长相对农村要快一些，但是随着城镇化水平的提高，并趋向100%时，速度会减缓，城镇化水平的增长曲线大致表现为一条拉伸的“S”型Logistic曲线[4]，对附录2中所给出2001年—2005年中国人口1%调查数据进行曲线拟合，求得该曲线，并绘制2001-2050年的城镇化水平的曲线图。

2. 处理2011年大学生数学建模竞赛A题：“城市表层土壤重金属污染分析”附件中的数据，完成下列问题

（1

逻辑分析,构建数学模型,适合非专业学生

题目：体检时间安排的合理性讨论

某高校教职工（现教职工1604人）每二年到医院体检中心体检。体检时间早晨7：00——8：30，单位安排见体检安排表。体检项目：内科、外科、眼科、五官科、血压、血常规、胸片、心电图、腹部B超等，体检各项所需时间（不含等待时间，下同）：内科1-2分钟、外科1-2分钟、眼科1-3分钟、五官科1-3分钟、血压2-3分钟、血常规（抽血）1-2分钟、胸片1-2分钟、心电图1-3分钟、腹部B超2-5分钟。用于体检的医生（设备）数量：内科2个、外科1个、眼科1个、五官科1个、血压1个、血常规（抽血）2个、胸片2个、心电图2个、腹部B超3个。 体检程序：体检者体检当天在体检中心取体检表（所需时间1-2分钟，有两个窗口），再按规定的体检项目自行前往体检各科室进行相应检查（体检项目无先后顺序），体检结束后将体检表交体检中心服务台。

假定教职工一般在7：00——8：00到中心体检，且每个人当天做完所有（或部分）检查，不会改天再来；因有课、有事不能按照单位安排时间内体检的，则在学校体检时间范围内自行选择体检时间；每个机关处室人数大约8-12人，后勤管理处、后勤服务总公司大约120人。

请你建立模型分析在规

逻辑分析,构建数学模型,适合非专业学生

题目：体检时间安排的合理性讨论

某高校教职工（现教职工1604人）每二年到医院体检中心体检。体检时间早晨7：00——8：30，单位安排见体检安排表。体检项目：内科、外科、眼科、五官科、血压、血常规、胸片、心电图、腹部B超等，体检各项所需时间（不含等待时间，下同）：内科1-2分钟、外科1-2分钟、眼科1-3分钟、五官科1-3分钟、血压2-3分钟、血常规（抽血）1-2分钟、胸片1-2分钟、心电图1-3分钟、腹部B超2-5分钟。用于体检的医生（设备）数量：内科2个、外科1个、眼科1个、五官科1个、血压1个、血常规（抽血）2个、胸片2个、心电图2个、腹部B超3个。 体检程序：体检者体检当天在体检中心取体检表（所需时间1-2分钟，有两个窗口），再按规定的体检项目自行前往体检各科室进行相应检查（体检项目无先后顺序），体检结束后将体检表交体检中心服务台。

假定教职工一般在7：00——8：00到中心体检，且每个人当天做完所有（或部分）检查，不会改天再来；因有课、有事不能按照单位安排时间内体检的，则在学校体检时间范围内自行选择体检时间；每个机关处室人数大约8-12人，后勤管理处、后勤服务总公司大约120人。

请你建立模型分析在规

试题1：

汶川大地震的反思

汶川大地震造成令人震惊的人员伤亡和财产损失。

我校宿舍楼H型，7层楼面，于是我们面临一个无法回避的现实问题：一旦遇有意外事件（例如火灾）发生，宿舍楼内的学生是否能够有组织地、尽快地通过走廊和楼梯疏散撤离出去。学校想进行一次紧急疏散人员的演习，演习之前需要考虑许多方面，如宿舍楼内的设施、人员的分布情况、撤离路线的设计、撤离的步骤等等，这是一个的系统工程问题。

我们做以下三个方面的研究：

1.实地考察宿舍楼的布局，绘制出平面简图；

2.建立数学模型针对不同时间段内给出学生的疏散路线和计算出全部人员撤离完毕所用的时间；

3.就我们所得到的结论建议给学校领导、后勤保卫部门。

试题2：

最低生活保障问题

温家宝总理在十届人大三次会议所作的《政府工作报告》中指出，要贯彻落实科学发展观，着力解决与人民群众切身利益相关的突出问题，高度重视解决城乡困难群众基本生活问题，维护社会稳定，努力构建社会主义和谐社会。

1999年国务院颁布《城市居民最低生活保障条例》，规定对持有非农业户口的城市居民，凡共同生活的家庭成员人均收入低于当地城市居民最低生活标准的，均可从当地政府获得基本生活物质帮助。据民政部统计，截至2004年12月底，

《数学建模》09秋模拟试题2

一、填空题（每题5分，满分20分）：

1．若银行的年利率是x%，则需要时间 ，存入的钱才可翻番． 2．马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 ． 3．假设S?C1Y,Y?C2x,则S与x的数学关系式为 ，其中C1,C2是常数．

4．设某种物资有两个产地A1,A2，其产量分别为10、20，两个销地B1,B2的销量相等均为15．如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为a,则最优运输方案与运价具有 两个特点．

二、分析判断题（每题15分，满分30分）：

1．有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。为尽量多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种．

2．假设某个数学模型建成为如下形式： P(x)?试在适当的假设下将这个模型进行简化．

Mx[1?(1?xa221)2]ex2.

三、计算题（每题25分，满分50分）：

1．有某种物资从三个产地运往四个销地，各产地的产量及各销地的销量如表所示. 但其中间各数据为利润值，希望在完成运输任务的同时，使总利润达到最大．试给出最优运输方案.（提示：求初始方案用最大元素法，

湖南农业大学课程论文

学 院： 班 级： 姓 名： 学 号： 课程论文题目：数学建模 课程名称：数学建模 评阅成绩： 评阅意见：

成绩评定教师签名： 日期： 年 月

日

数学建模

学生：

(X学院，学号)

摘要： 本文要解决的问题小孩沿着曲线行走，玩具的运动轨迹以及产量关于温度的线性

回归方程。 首先，对问题进行重述明确题目的中心思想，做出合理的假设，对于玩具轨迹画图表明，并对符号做简要的说明。 然后，对问题进行分析，根据图示假设设立方程。最后使用MATLAB软件求解上述模型。

关键词：玩具轨迹 线性回归 预测区间 建立模型

一、 问题的重述

（一）玩具轨迹问题

一个小孩借助长度为a的硬棒，拉或推某玩具.此小孩沿某曲线行走，计算并画出玩具的轨迹。

（二）线性回归问题

考察温度x对产量y的影响，测得下列10组数据：

温度（℃）20产量（kg）13.22515.13016.43517.14017.94518.75019.65521.26022.56524.3求y关于x的线性回归方