函数不动点定理

不动点定理及其应用

摘 要 不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给

出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理.

关键词 不动点;不动点定理;Banach空间

Fixed Point Theorems and Its Applications

Abstract The fixed point theorem is one of important tools in

studying the existence and uniqueness of solution to functional equation .In this paper,the fixed theorem in linear functional analysis and its applications are introduced and the corresponding examples are given.Meanwhile,the Brouwer and Leray-Schauder fixed point

摘 要

本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.

关键词 ：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性.

Abstract

This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing

摘 要

本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.

关键词 ：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性.

Abstract

This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing

第一章 度量空间

1.5 Banach不动点定理及应用

巴拿赫不动点定理(Banach Fixed Point Theorem)，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，它是用泛函分析方法统一处理许多关于解的存在性和唯一性问题(如微分方程、代数方程组、积分方程等)的一个重要定理．许多方程求解问题往往可以转化为求某映射的不动点，而压缩映射原理描述了映射不动点的存在性和唯一性的充分条件，并提供了一个迭代程序，按此程序逐次逼近可求不动点的近似值和误差，这是代数方程，微分方程，积分方程，泛函方程以及计算数学中的一个很重要的方法．

1.5.1 Banach不动点定理及推论

定义 1.5.1 不动点(Fixed points)

设X是一个非空集合，A:X?X为映射，如果存在x??X满足A(x?)?x?，则称x?为映射A的不动点．

例如(1)从R到R上的映射f:x?x2有两个不动点，即x?0和x?1．(2)从R2到R2上的映射f:(x,y)?(y,x)有无穷多个不动点，即直线y?x上的所有点均是不动点．

设f是空间X到自身的映射，方程f(x)?0的求解可转化为求映射

T:x??f(x)?x

的不动点，其中常数??0(显然当Tx??x?时，即?f(x?)?

一、函数、极限、连续重要概念公式定理

（一）数列极限的定义与收敛数列的性质

数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞=.若{}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散.

收敛数列的性质：

(1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞

=,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞

=,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞

=,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或.

(4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A .

（二）函数极限的定义

（三）函数极限存在判别法 (了解记忆)

1．海涅定理：()0lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠=L ,都有 ()lim n n f x A →∞

=． 2.充要条件：(1)()()000lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=?==;

(2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A

一．解答题（共30小题）

1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4

．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）P（2，n），Q（2，﹣n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点． ①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；

②当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由．

2．已知椭圆

的离心率为，且经过点

．

（1）求椭圆C的方程； （2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=m（定值m≠0），求直线l的斜率．

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

的焦距为2，且过点

．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．

（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；

（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

4．已知F1，F2分别是椭圆足

（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=﹣

与x轴的交点为N，满

，设A、B是上半

齐齐哈尔大学毕业设计（论文）

摘 要

隐函数定理是数学分析和高等数学中的一个重要定理，它不仅是数学分析和高等代数中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如泛函分析、常微分方程、微分几何等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理有着十分广泛的应用，在经济学、优化理论、条件极值等中均有重要作用. 对本课题的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.

本文简略地论述了隐函数的概念、隐函数定理的内容及证明方法、以及隐函数定理在各个方面的应用. 本文从隐函数定理出发，给出了推论隐函数组定理和反函数组定理以及他们的证明过程. 这些推论使隐函数定理的应用更加广泛. 并针对隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、以及优化理论这几个方面的应用做了系统的论述.

关键词：隐函数定理；应用；优化理论 ；证明

- I -

齐齐哈尔大学毕业设计（论文）

Abstract

Implicit function theorem of mathematical analysis and higher mathematics is one of the important theorem, it is not only the mathematical

第十八章 隐函数定理及其应用

一、证明题

1.证明:设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数,则当 时,有 2.设u?y?y,v?.证明:当0?x?,y>0时,u,v可以用来作为曲线坐标;解出x,y作为

sinx2tgxu,v的函数;画出xy平面上u=1,v=2所对应的坐标曲线;计算数.

??u,v???x,y?和并验证它们互为倒

??x,y???u,v?3.将以下式子中的(x,y,z)变换成球面从标?r,?,??的形式:

??u???u???u??1u???????y?????z?, ?x??????222?2u?2u?2u?2u?2?2?2.

?x?y?z4.证明对任意常数ρ,?,球面x?y?z??与锥面x?y?tg??z是正交的. 5.试证明:函数F?x,y?在点P0?x0,y0?的梯度恰好是F的等值线在点P0的法向量(设F有连续一阶偏导数).

6.证明:在n个正数的和为定值条件 x1+x2+x3+…+xn=a

22222222an下,这n个正数的乘积x1x2x3…xn的最大值为n.并由此结果推出n个正数的几何中值不大

h于算术中值.

nx1?x2???xn?x1?x2?????xn

n

二、计算题

1．方程 能否在原点的

微分中值定理证明中辅助函数的构造

第29卷 第2期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 29 No.2 2009年 3 月 Journal of Science of Teachers′College and University Mar. 2009 文章编号：1007-9831（2009）02-0010-04

微分中值定理证明中辅助函数的构造

宋振云，陈少元，涂琼霞

（湖北职业技术学院 信息技术学院，湖北 孝感 432000）

摘要：由复数x+yi与直角坐标平面上的点(x, y)(x, y∈R)的一一对应关系，将复平面与直角坐标平面看成是一致的，通过复数乘法运算构造出一系列拉格朗日中值定理证明中满足罗尔中值定理条件的辅助函数，并明确指出了柯西中值定理证明中辅助函数的构造方法．

关键词：微分中值定理；复数乘法；辅助函数

中图分类号：O172.1 文献标识码：A

在微积分学里，关于拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明，除教科书上给出的方法外，不少文献

隐函数定理及其在几何上的应用

【摘要】 隐函数(组)是函数关系的另一种表现形式。讨论隐函数(组)的存在性、连续性与可微性，是深刻了解这类函数本身的需要。同时在求以隐函数(组)的形式为方程出现的曲线和曲面的切线或切平面时，都要用到隐函数(组)的微分法。 【关键词】隐函数存在惟一性定理、隐函数可微性定理 、隐函数组定理、隐函数定理在几何上的应用 1 定理及证明

隐函数存在惟一性定理

设方程 F?x,y??0 中的函数F?x,y?满足以下四个条件： (i) 在以 (ii)

为内点的某一区域D ; (初始条件 );

;

上连续 ;

(iii) 在D内存在连续的偏导数(iv)

.

则在点P0的某邻域U?P0??D内 , 方程F?x,y?＝0唯一地确定一个定义 在某区间x??x0??,x0???内的隐函数y?f?x?，使得 ⑴ 当f?x0??y0 ，x??x0??,x0??? 时， 有?x,f?x???U?P0?且F?x,f?x???0 ；

⑵ 函数f?x?在区间x??x0??,x0???内连续。 证 首先证明隐函数的存在与惟一性． 证明过程归结起来有以下四个步骤

(a) “一点正, 一片正